2010年浙江省高等数学竞赛试题与答案(共4份)

2010浙江省大学生高等数学

（微积分）竞赛试题

（数学类）

一、计算题（每小题14分，满分70分）

1．求极限

2．计算．  其中

3．请用描述圆  落在椭圆  内的充分必要条件，并求此时椭圆的最小面积。

4．已知分段光滑的简单闭曲线（约当曲线）落在平面：上，设在上围成的面积为A,求其中的方向成右手系。

5．设连续，满足且,求的值。

二、（满分20）定义数列如下： ，求。

三、（满分20分）设函数，且，，证明：。

四、（满分20分）设非负函数f在［0，1］上满足且，证明：（1）         （2）

五、（满分20分）设全体正整数集合为，若集合对加法封闭（即），且G内所有元素的最大公约数为1，证明：存在正整数N，当正整数n>N时， 

（工科类）

一、计算题（每小题14分，满分70分）

1．求极限

2．计算

3．设为锐角三角形,求的最大值和最小值。

4．已知分段光滑的简单闭曲线（约当曲线）落在平面：上，设在上围成的面积为A,求,其中的方向成右手系。

5．设连续，满足,求的值。二、（满分20分）定义数列如下： ，求。

三、（满分20分）设有圆盘随着时间t 的变化，圆盘中心沿曲线向空间移动，且圆盘面的法向与L的切向一致。若圆盘半径r (t) 随时间改变，有，求在时间段内圆盘所扫过的空间体积。

四、（满分20）证明：当， 

五、（满分20分）证明： 

（经管类）

一、计算题（每小题14分，满分70分）

1．求极限

2．求不定积分

3．设为锐角三角形,求的最大值和最小值。

4．设为小于等于的最大整数，，求

5．设连续，满足,求。

二、（满分20分）设有一个等边三角形，内部放满n排半径相同的圆，

彼此相切（如图为n = 4的情形），记A为等边三角

形的面积，为n排圆的面积之和，求.

三、（满分20分）设，其中P ( x ) 为

5次多项式，证明：（1）f (x) 必有极值点；

（2）f (x) 必有奇数个极值点。

四、（满分20分）证明：当， 

五、（满分20分）定义数列如下： ，求。

（文专类）

一计算题：（每小题14分，满分70分）

1．已知，求。

2．求不定积分。

3．请用描述圆  落在椭圆  内的充分必要条件。

4．求曲线与直线所围成的平面区域绕轴旋转一周所得的旋转体体积Ｖ。

5．设连续，满足,求。

二、（满分20分）设有一个等边三角形，内部放满n排

半径相同的圆，彼此相切（如图为n = 4的情形），记

A为等边三角形的面积，为n排圆的面积之和，

求。

三、（满分20分）计算。

四、（满分20）定义数列如下： ，求.

五、（满分20分）设，证明：

（1）f (x) 必有极值点；    （2）f (x) 必有奇数个极值点。

试题答案共三套：数学类、工科类、经管类

2010浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题评析

（数学类）

一、计算题：

1．解：原极限=

2．解：令,　

原积分

3．解： 落在椭圆  内的充分必要条件即为到的距离。而      

要求最小值, 只需 讨论, 可得

充分必要条件为    

此时椭圆面积

  记

即易得为

椭圆的最小面积为。

4．解：原积分=－

5．解： 

而   

二、解：即单调增且

设则即有界。

可知收敛记其极限为,有

三、证明： 

且  可取得

即有

当时

四、证明：（1）　　

（２）

五、证明：由条件  存在中有限个数,不妨设为,其最大公约数为1。

本题即要证：存在正整数N，当正整数n>N时，方程有非负整数解。

先证明：若的最大公约数为1，　有非负整数解。

易知被除的余数都不相同，则必与某一，被除的余数相同，即

被整除，有非负整数解．

若最大公约数为　　则　有非负整数解。

　有非负整数解。（最大公约数为）

一般的有　有非负整数解。对充分大的。

（工科类）

一、计算题：

1．（解答见数学类第一题第1小题）

2．解： 

3．解：记 

4．（解答见数学类第一题第4小题）

5．解： 

二、（解答见数学类第二题）

三、解： 

四、证明： 

五、证明：  

易知        

（经管类）

一、计算题

1．解原极限=

2．解：原积分

3．（解答见工科类第一题第3小题）

4．解： 

5．解： 

二、解： 设圆的半径为，三角形边长为，则有

三、证明：  

若是重零点  则

若

若

(2) 

四、（解答见工科类第四题） 

五、（解答见数学类第二题）