柯西收敛准则的3种不同证法

方法一:用定理2证明柯西收敛准则

证明：必要性:易知，当{ an }有极限时(设极限为a)，{ an }一定是一个柯西数列。因为对任意的ε>0，总存在N(N为正整数)。使得当n ，m>N时，有| an -a|< ε， | am -a|<ε

∴| an - am || an -a|+| am -a|<ε ，即{ an }是一个柯西数列。

充分性:先证明柯西数列{ an }是有界的。不妨取ε=1，因{ an }是柯西数列，所以存在某个正整数N0，当n > N0 时有| an –aNo+1 |<1，亦即当n ，N> N0 时| an || aNo+1 |+1即{ an }有界。不妨设{ an } [a ，b]，即aanb，我们可用如下方法取得{ an }的一个单调子列{ ank }：

(1)取{ ank }{ an }使[a，ank ]或[ank ，b]中含有无穷多的{ an }的项；

(2)在[a，ank ]或[ank，b]中取得ank+1{ an }且满足条件(1)并使nk+1>nk；

(3)取项时方向一致，即要么由a→b要么由b→a。

由数列{ an }的性质可知以下三点可以做到，这样取出一个数列{ ank }{ an }且{ ank }是一个单调有界数列，必有极限设为a，下面我们证明{ an}收敛于a。因为ank =a,则对ε>0， 正整数K，当k >K时| ank -a|< 。另一方面由于{ ank }是柯西数列，所以存在正整数N，使得当n ，m>N时有| an – am |<，取n0=max(k+1，N+1)，有n0nN+1>N以及 > k+1 >k。所以当n >N时| an -a|| an – am |+| am -a|<ε 。

∴{ an }收敛于a。

方法二:用定理3证明柯西收敛准证

证明：必要性显然。下证充分性。

设{ xn }是柯西数列，即对任意的ε>0，存在N >0，使得当n ， m > N时，有| xn – xm | <ε    (1)

令yn =sup{ xn+p | p =1，2，…}

zn =inf { xn+p | p =1，2，…}

显然，yn是单调递减数列，zn是单调递增数列。取M =max{ x1，x2 ，… ，xN, xN +1}。由(1)，不难知xnM， n =1，2，…。于是，yn和zn都是有界数列。根据单调有界原理，yn和zn都是收敛数列。不妨设

 yn→a　　　 zn →b　　　n→∞   (2)

由yn和zn的构造以及(1)，我们有

znxnyn 　　　n =1，2，…   (3)

yn-zn <ε　　　n > N (4)

于是由(4)，有a-bε，而ε是任意正数，因此a = b      (5)

最后，根据(2)，(3)和(5)，我们有xn→a (n→∞)。

这就完成了证明。

方法三:用定理4证明柯西收敛准则

证明：必要性是显然的。

下面只证充分性。根据条件，对ε=1，存在n0，当n ，m> n0时，有| xn – xm | <1。于是| xn || xn – xn0+1 |+| xn0+1 |<1+| xn0+1|。令M=max{| x1|，x2,…，| xn0 |，1+| xn0+1|}，则| xn|M(n=1，2，…)，故{ xn }有界。因此存在收敛子列{ xnk }，设xnk =C，于是由下列不等式| xn -C|| xn - xnk |+| xnk -C|可知xn =C。