河北省滦南一中2012-2013学年高二下学期期末考试数学文试题

说明：

一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分．

二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．

三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案．

四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四

个选项中，有且只有一项符合题目要求．

（1）设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，U(A∪B)＝{1，3}, A∩U B＝{2，4},则集合B＝

（A）{1，2，3，4} （B）{1，2，3，4，5}

（C）{5，6，7，8，9} （D）{7，8，9}

（2）复数表示复平面内的点位于

（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）

第四象限

（4）已知命题p：x0∈R，x＋2x0＋1≤0，则p为

（A）x0∈R，x＋2x0＋1＞0 （B）x0∈R，x＋2x0＋1＜0

（C）x0∈R，x＋2x0＋1≤0 （D）x0∈R，x＋2x0＋1＞0

（5）已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离为c（c为双曲线的半焦距长），则该双曲线的离心率为

（A）2 （B）（C）（D）

（6） 已知倾斜角为α的直线l与直线x＋2y＋2＝0平行,则tan2α的值为（A）（B）－（C）（D）－（7）已知数列{a n}是等比数列，且a2＝2，a5＝,

开始

否

S≤－7？

是

结束

S＝S＋log2

S＝0

n＝n＋1

n＝0

输出n

则a1a2＋ a2a3＋… a n a n＋1＝

（A）16(1－4－n) （B）16(1－2－n)

（C） (1－4－n) （D）(1－2－n)

（8）执行右边的程序框图，输出的结果是

（A）127 （B）128

（C）255 （D）256

（9）函数y＝x sin x在[－，]上的图象是

（10）已知函数f(x)＝若函数y＝|f(x)|＋k有三个不同的零点，则实数k 的取值范围是

（A）(－∞，2] （B）[－1，0]

（C）[－2，－1] （D）(－∞，－2]

（11）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据

图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为

（A）10＋4＋4 （B）10＋2＋4 （C）14＋2＋4 （D）14＋4＋

4

已知直线l的倾斜角为，它与抛物线y2＝2px（p＞0）相交于A，B两点，F 为抛物线的焦点，若＝λ，则λ的值为

（A）2 （B）3 （C）或2 （D）或3

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中

横线上．

已知||＝1，||＝6，·(－)＝2，则向量与的夹角为______.

（14）已知实数x，y满足约束条件则z＝x＋y的最小值等于 .

（15）若直三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在球O的球面上，AA1＝2，AB＝1，AC＝2，∠ABC＝90°，则球O的表面积为______.

（16）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C所对的边长，且a cos B－b cos A ＝c．则的值为 .

三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，

（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明

过程或演算步骤．17）（本小题满分12分）

已知等差数列{a n}的首项a1＝3，公差d≠0,其前n项和为S n，

且a1，a4，a13成等

比数列.

（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式;

（Ⅱ）证明：＋＋…＜

（18）（本小题满分12分）

为了解某地区观众对大型综艺活动《中国好声音》的收视情况，随

机抽取了100名

观众进行调查,其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众收看该节目的场数与所对应的人数表：

场数91011121314

人数10182225205将收看该节目场次不低于13场的观众称为“歌迷”,已知“歌迷”中

有10名女性.

（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表,并据此资料我们能否

有95%的把握认

为“歌迷”与性别有关?

非歌迷歌迷合计

男

女

合计

（Ⅱ）将收看该节目所有场次（14场）的观众称为“超级歌迷”,

已知“超级歌迷”

中有2名女性，若从“超级歌迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率.

附：K2＝

P(K2≥k)0.050.01

k 3.841 6.635（19）（本小题满分12分）

（21）（本小题满分12分）

已知两定点E(－，0) ，F(，0)，动点P满足·＝0，由点P向x轴作垂线PQ,垂足为Q，点M满足＝，点M的轨迹为C.

（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）若直线l交曲线C于A、B两点，且坐标原点O到直线l的距离为，求|AB|的最大值.

请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一

点，BM的延长线交⊙O于点N过N点的切线交CA的延长

线于点P.（Ⅰ）求证： PM2＝PA·PC；（Ⅱ）若⊙O的半

径为2，OA＝OM，求MN长．

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知圆C的圆心C(，)，半径r＝．

(Ⅰ)求圆C的极坐标方程；(Ⅱ)若α∈[0，)，直线l的参数方程为（为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)＝|x＋a|．(Ⅰ)当a＝－1时，求不等式f(x)≥|x＋1|＋1的解集；

(Ⅱ)若不等式f(x)＋f(－x)＜2存在实数解，求实数a的取值范围．滦南一中2012—2013学年度高二年级第二学期期末考试

文科数学参

1、选择题：

CABDB DCABD BD

二、填空题：

（13）（14）－1 （15）16 （16）

三、解答题：

（18）解：

（Ⅰ）由统计表可知，在抽取的100人中，“歌迷”有25人，从而完

成2×2列联表如下：

非歌迷歌迷合计

男301545

女451055

合计7525100

………………………………………

3分

将2×2列联表中的数据代入公式计算，得：

K2＝＝≈3.030

因为3.030＜3.841，所以我们没有95%的把握认为“歌迷”与性别有关．………6分

（Ⅱ）由统计表可知，“超级歌迷”有5人，从而一切可能结果所组

成的基本事件空间为Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}其中a i表示男性，i＝1，2，3，b i表示女性，i＝1，2．

Ω由10个等可能的基本事件组成. …………………………………………9分用A表示“任选2人中，至少有1个是女性”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2) }，事件A由7个基本事件组成．

∴P(A)＝ (12)

（Ⅱ）∵M为EF的中点，

∴EM＝AB＝2，又∵AB//EF ∴四边形ABEM是平行四边形.

∴AM＝BE＝2，又∵AF＝2，MF＝2，

∴△FAM为直角三角形且∠FAM＝90°．

∴AM⊥FA．

又DA⊥面ABEF， AM面ABEF，

∴AM⊥DA，又DA∩FA＝A，

∴AM⊥平面ADF．

∴V M-ADF＝S△ADF•AM＝×1×2＝．

故三棱锥M-ADF的体积为． …………………………………………12分

(Ⅱ) 当a＝时，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

f'(x)＝(1＋)－＝

∴x∈(0，2－)时，f'(x)＞0，此时函数f(x)单调递增；

x∈(2－，2＋)时，f'(x)＜0，此时函数f(x)单调递减；

x∈(2＋，＋∞)时，f'(x)＞0，此时函数f(x)单调递增；

又f(2－)＝－－2ln(2－)＝－＋2ln(2＋)，f(2＋)＝－2ln(2＋)．

故函数f(x)在区间(0，2－)，(2＋，＋∞)上单调递增，在区间(2－，2＋

上单调递减；

x＝2－时，函数f(x)取得极大值－＋2ln(2＋)，x＝2＋时，函数f(x)

取得

极小值－2ln(2＋)． …………………………………………12分

（Ⅱ）①若直线l垂直于x轴，此时|AB|＝． (5)

分

②若直线l不垂直于x轴，设直线l的方程为y＝kx＋m，

则原点O到直线l的距离为＝，整理可得2m2＝1＋k2．

…………………………………………6分由消去y可得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可得△＞0，

则x1＋x2＝－，x1x2＝．

∴|AB|＝·＝2·

………………………………………

8分

∵2m2＝1＋k2，

∴2 (1＋k2)(1＋2k2－m2)＝(1＋k2)(2＋4k2－2m2)＝(1＋k2)(1＋3k2) ≤(1＋2k2) 2，

等号当且仅当1＋k2＝1＋3k2，即k＝0时成立．

即2·≤2．

所以k＝0时，|AB|取得最大值2. …………………………………………12分（22）解：

（Ⅰ）连结ON，

∵PN切⊙O于N，∴∠ONP＝90°，

∴∠ONB＋∠BNP＝90°．

∵OB＝ON，∴∠OBN＝∠ONB．

∵OB垂直于AC于O，∴∠OBN＋∠BMO＝90°，

∴∠BNP＝∠BMO＝∠NPM，∴PM＝PN．

∴PM2＝PN2＝PA·PC．

…………………………………………

5分

（Ⅱ）OM＝2，BO＝2，BM＝4．

∵BM·MN＝CM·MA ＝(2＋2)(2－2)＝8，

∴MN＝2． …………………………………………10分

（24）解：

(Ⅰ)当a＝－1时，不等式f(x)≥|x＋1|＋1可化为|x－1|－|x＋1|≥1．化简可得或或

解得x≤－1，或－1＜x≤－，

即所求解集为{x|x≤－}． …………………………………………5分

(Ⅱ)令g(x)＝f(x)＋f(－x)，则g(x)＝|x＋a|＋|x－a|≥2|a|．

∴g(x)的最小值为2|a|．依题意可得2＞2|a|，即－1＜a＜1．

故实数a的取值范围是(－1，

1)． …………………………………………10分