十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题09立体几何与空间向量选择填空题理(含解析)

题型年份考点试题位置

单选题2019 表面积与体积2019年新课标1理科12 单选题2018 几何体的结构特征2018年新课标1理科07 单选题2018 表面积与体积2018年新课标1理科12 单选题2017 三视图与直观图2017年新课标1理科07 单选题2016 三视图与直观图2016年新课标1理科06

单选题2016 空间向量在立体几何中的应

用2016年新课标1理科11

单选题2015 表面积与体积2015年新课标1理科06

单选题2015 三视图与直观图2015年新课标1理科11

单选题2014 三视图与直观图2014年新课标1理科12

单选题2013 表面积与体积2013年新课标1理科06

单选题2013 三视图与直观图2013年新课标1理科08

单选题2012 三视图与直观图2012年新课标1理科07

单选题2012 表面积与体积2012年新课标1理科11

单选题2011 三视图与直观图2011年新课标1理科06

单选题2010 表面积与体积2010年新课标1理科10

填空题2017 表面积与体积2017年新课标1理科16

填空题2011 表面积与体积2011年新课标1理科15

填空题2010 三视图与直观图2010年新课标1理科14

历年高考真题汇编

1．【2019年新课标1理科12】已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（）

A．8πB．4πC．2πD．π

【解答】解：如图，

由PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，可知三棱锥P﹣ABC为正三棱锥，

则顶点P在底面的射影O为底面三角形的中心，连接BO并延长，交AC于G，

则AC⊥BG，又PO⊥AC，PO∩BG＝O，可得AC⊥平面PBG，则PB⊥AC，

∵E，F分别是PA，AB的中点，∴EF∥PB，

又∠CEF＝90°，即EF⊥CE，∴PB⊥CE，得PB⊥平面PAC，

∴正三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两互相垂直，

把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，

其直径为D．

半径为，则球O的体积为．

故选：D．

2．【2018年新课标1理科07】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）

A．2B．2C．3 D．2

【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2，

直观图以及侧面展开图如图：

圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度：2．

故选：B．3．【2018年新课标1理科12】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）

A．B．C．D．

【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，α截此正方体所得截面面积的最大，

此时正六边形的边长，

α截此正方体所得截面最大值为：6．

故选：A．

4．【2017年新课标1理科07】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）

A．10 B．12 C．14 D．16

【解答】解：由三视图可画出直观图，

该立体图中只有两个相同的梯形的面，

S梯形2×（2+4）＝6，

∴这些梯形的面积之和为6×2＝12，

故选：B．

5．【2016年新课标1理科06】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）

A．17πB．18πC．20πD．28π

【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：

可得：，R＝2．

它的表面积是：4π•2217π．

故选：A．

6．【2016年新课标1理科11】平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD ＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m、n所成角的正弦值为（）

A．B．C．D．

【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABA1B1＝n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1＝60°．

则m、n所成角的正弦值为：．

故选：A．

7．【2015年新课标1理科06】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）

A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛

【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则r＝8，

解得r，

故米堆的体积为π×（）2×5，

∵1斛米的体积约为1.62立方，

∴ 1.62≈22，

故选：B．8．【2015年新课标1理科11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r＝（）

A．1 B．2 C．4 D．8

【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，

截圆柱的平面过圆柱的轴线，

该几何体是一个半球拼接半个圆柱，

∴其表面积为：4πr2πr22r×2πr+2r×2rπr2＝5πr2+4r2，

又∵该几何体的表面积为16+20π，

∴5πr2+4r2＝16+20π，解得r＝2，

故选：B．

9．【2014年新课标1理科12】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）

A．6B．6 C．4D．4

【解答】解：几何体的直观图如图：AB＝4，BD＝4，C到BD的中点的距离为：4，

∴．AC6，AD＝4，

显然AC最长．长为6．

故选：B．

10．【2013年新课标1理科06】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）

A．B．C．D．

【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，

则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，

而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2＝（R﹣2）2+42，

解出R＝5，

∴根据球的体积公式，该球的体积V．

故选：A．

11．【2013年新课标1理科08】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π

【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4．

∴长方体的体积＝4×2×2＝16，

半个圆柱的体积22×π×4＝8π

所以这个几何体的体积是16+8π；

故选：A．

12．【2012年新课标1理科07】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）

A．6 B．9 C．12 D．18

【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；

底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，

此几何体的体积为V6×3×3＝9．

故选：B．

13．【2012年新课标1理科11】已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此三棱锥的体积为（）

A．B．C．D．

【解答】解：根据题意作出图形：

设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，

延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．

∵CO1，∴OO1，

∴高SD＝2OO1，

∵△ABC是边长为1的正三角形，

∴S△ABC，

∴V三棱锥S﹣ABC．

故选：C．

14．【2011年新课标1理科06】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）

A．B．C．D．

【解答】解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，

是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，

∴侧视图是一个中间有分界线的三角形，

故选：D．

15．【2010年新课标1理科10】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πa2B．C．D．5πa2

【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为，

球的表面积为，

故选：B．

16．【2017年新课标1理科16】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为．

【解答】解法一：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG BC，

即OG的长度与BC的长度成正比，

设OG＝x，则BC＝2x，DG＝5﹣x，

三棱锥的高h，

3，

则V，

令f（x）＝25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）＝100x3﹣50x4，

令f′（x）≥0，即x4﹣2x3≤0，解得x≤2，

则f（x）≤f（2）＝80，

∴V4cm3，∴体积最大值为4cm3．

故答案为：4cm3．

解法二：如图，设正三角形的边长为x，则OG，∴FG＝SG＝5，

SO＝h，

∴三棱锥的体积V

，

令b（x）＝5x4，则，

令b′（x）＝0，则4x30，解得x＝4，

∴（cm3）．

故答案为：4cm3．

17．【2011年新课标1理科15】已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝6，BC＝2，则棱锥O﹣ABCD的体积为．

【解答】解：矩形的对角线的长为：，所以球心到矩形的距离为：2，

所以棱锥O﹣ABCD的体积为：8．

故答案为：8

18．【2010年新课标1理科14】正视图为一个三角形的几何体可以是（写出三种）

【解答】解：正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱（放倒的情形）、圆锥、四棱锥等等．

故答案为：三棱锥、圆锥、三棱柱．

考题分析与复习建议

本专题考查的知识点为：空间几何体的结构、三视图和直观图，空间几何体的表面积与体积，空间点、直线、平面之间的位置关系，直线、平面平行、垂直的判定与性质，空间向量及其运算，立体几何中的向量方法（证明平行与垂直、求空间角和距离）等.历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：空间几何体的结构、三视图和直观图，空间几何体的表面积与体积，空间点、直线、平面之间的位置关系，直线、平面平行、垂直的判定与性质等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点空间几何体的结构、三视图和直观图，空间几何体的表面积与体积，空间点、直线、平面之间的位置关系，直线、平面平行、垂直的判定与性质等为重点较佳.

最新高考模拟试题

-中，所有侧棱都为426的正方形，O是P在平面ABCD内1．在四棱锥P ABCD

的射影，M是PC的中点，则异面直线OP与BM所成角为（）

A．30o B．45o C．60o D．90o

【答案】C

【解析】

由题可知O是正方形ABCD的中心，

P，

取N为OC的中点，所以OP MN

∠是异面直线OP与BM所成的角.

则BMN

因为OP⊥平面ABCD，

所以MN⊥平面ABCD，

-中，所有侧棱都为426的正方形，

因为在四棱锥P ABCD

所以23OC =，所以321225OP =-=，因此5MN =，

又在PBC ∆中，2223232245cos 22328

PB PC BC BPC PB PC +-+-∠===•⨯， 所以22252cos 32824222208

BM PB PM PB PM BPC =+-••∠=+-⨯⨯⨯=， 即25BM =，

所以1cos 2

MN BMN MB ∠==， 则异面直线OP 与BM 所成的角为60o .

故选C

2．已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，下列命题正确的是（ ）

A ．若m αP ，m βP ，n α∥，n β∥，则αβP

B ．若m n ∥，m α⊥，n β⊥，则αβP

C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥

D ．若m n ⊥，m αP ，n β⊥，则αβ⊥

【答案】B

【解析】

A 选项，若m αP ，m βP ，n α∥，n β∥，则αβP 或α与β相交；故A 错；

B 选项，若m n ∥，m α⊥，则n α⊥，又n β⊥，,αβ是两个不重合的平面，则αβP ，故B 正确；

C 选项，若m n ⊥，m α⊂，则n α⊂或n α∥或n 与α相交，又n β⊂，,αβ是两个不重合的平面，则αβ

P 或α与β相交；故C 错；

D 选项，若m n ⊥，m αP ，则n α⊂或n α∥或n 与α相交，又n β⊥，,αβ是两个不重合的平面，则αβ

P 或α与β相交；故D 错；

故选B

3．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，在对角线1A D 上取点M ，在1CD 上取点N ，使得线段MN

平行于对角面11A ACC ，则

||MN 的最小值为（ ） A ．1

B ．2

C ．22

D ．3 【答案】D

【解析】

作1MM AD ⊥，垂足为1M ，作1NN CD ⊥，垂足为1N ，如下图所示：

在正方体1111ABCD A B C D -中，根据面面垂直的性质定理，可得11,MM NN ,都垂直于平面ABCD ，由线面垂直的性质，可知11MM NN P ，易知：1111//M M A N N ACC 平面，由面面平行的性质定理可知：//11M N AC ，设11DM DN x ==，

在直角梯形11MM N N 中，

222211(2)(12)633MN x x x ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭，当13x =时，||MN 3 故本题选D.

4．如图，某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）

A ．3

B ．23

C ．3

D ．3

【答案】A

【解析】

解：根据几何体得三视图转换为几何体为：

故：V 113

21332=⨯⨯⨯=

故选：A ．

5．已知正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，2PA AB ==，则球O 的表面积为（

）

A ．2π

B ．4π

C ．8π

D ．16π

【答案】C

【解析】

解：∵正四棱锥P ﹣ABCD 的所有顶点都在球O 的球面上，PA ＝AB ＝2，

∴连结AC ，BD ，交于点O ，连结PO ，

则PO ⊥面ABCD ，OA ＝OB ＝OC ＝OD 22

1122222AC ==+= OP 22422PB OB -=-=

∴O 是球心，球O 的半径r 2=

∴球O 的表面积为S ＝4πr 2＝8π．

故选：C ．

6．已知长方体全部棱长的和为36，表面积为52，则其体对角线的长为（ ）

A ．4

B ．29

C ．223

D ．417

【答案】B

【解析】

设长方体的三条棱的长分别为：,,x y z ， 则2()524()36xy yz zx x y z ++=⎧⎨++=⎩

， 可得对角线的长为22222()2()95229x y z x y z xy yz zx ++=++-++=-=

．

故选：B ．

7．如图所示，边长为a 的空间四边形ABCD 中，∠BCD＝90°，平面ABD⊥平面BCD ，则异面直线AD 与BC 所成角的大小为（ ）

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．90°

【答案】C

【解析】 由题意得BC ＝CD ＝a ，∠BCD＝90°，

2a ，∴∠BAD＝90°，

∴AO⊥BD，CO⊥BD，且AO＝BO＝OD＝OC＝2

2

a

，

又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊥BD，

∴AO⊥平面BCD，

延长CO至点E，使CO＝OE，连结ED，EA，EB，

则四边形BCDE为正方形，即有BC∥DE，

∴∠ADE（或其补角）即为异面直线AD与BC所成角，

由题意得AE＝a，ED＝a，

∴△AED为正三角形，∴∠ADE＝60°，

∴异面直线AD与BC所成角的大小为60°．

故选：C．

8．鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作. 下图是经典的六柱鲁班锁及六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图，则此构件的体积为

A ．334000mm

B ．3

33000mm C ．332000mm

D ．330000mm 【答案】C

【解析】

由三视图得鲁班锁的其中一个零件是： 长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长体的一个几何体， 如图，

∴该零件的体积：

V ＝100×20×20﹣40×20×10＝32000（mm 3）．

故选：C ．

9．在正方体1111ABCD A B C D -中，动点E 在棱1BB 上，动点F 在线段11A C 上，O 为底面ABCD 的中心，若1,BE x A F y ==，则四面体O AEF -的体积( )

A ．与,x y 都有关

B ．与,x y 都无关

C ．与x 有关，与y 无关

D ．与y 有关，与x 无关

【答案】B

【解析】

因为V O －AEF ＝V E －OAF ， 所以，考察△AOF 的面积和点E 到平面AOF 的距离的值，

因为BB 1∥平面ACC 1A 1，

所以，点E 到平面AOE 的距离为定值，

又AO∥A 1C 1，

所以，OA 为定值，点F 到直线AO 的距离也为定值，

即△AOF 的面积是定值，

所以，四面体O AEF -的体积与,x y 都无关，选B 。

10．在三棱锥A BCD -中，平面ABC ⊥平面BCD ，V ABC 是边长为2的正三角形，若4BDC π∠=，三棱锥的各个顶点均在球O 上，则球O 的表面积为（ ）

A ．523π

B ．3π

C ．4π

D ．283

π 【答案】D

【解析】

记BCD V 外接圆圆心为E ，V ABC 外接圆圆心为F ，

连结OE ，OF ，则OE ⊥平面BCD ，OF ⊥平面ABC ；

取BC 中点N ，连结,AN EN ，

因为V ABC 是边长为2的正三角形，所以AN 过点F ，且222333AF FN AN ==

= 在BCD V 中，4BDC π

∠=，2BC =，设BCD V 外接圆为r ， 则222sin 2

2

BC r BDC ===∠，所以2r =2BE EC r === 所以有222BE EC BC +=，

因为N 为BC 中点，所以EN BC ⊥，且112

EN BC =

=； 又平面ABC ⊥平面BCD ，所以EN ⊥平面ABC ，OE P 平面ABC ； 因此EN OF P 且1EN OF ==.

-外接球半径为R，

则

22

7

3

R OA OF AF

==+=，

因此，球O的表面积为2

28

4

3

S R

ππ

==.

故选D

11．在棱长为2的正方体1111

ABCD A B C D

-中，P是

1

BDC

∆内（不含边界）的一个动点，若

11

A P BC

⊥，则线段1A P的长的取值范围为（）

A．

43

(2,]

3

B．

43

[,6)

3

C．

43

[,22)D．(6,22)

【答案】C

【解析】

由正方体的性质可知，

11

A BDC

-是正四面体，

且正四面体的棱长为1

2

x

x，

P Q 在1BDC ∆内，

1A P ∴的最大值为111122AC A B A D ===， 1A P 的最小值是1A 到平面1BDC 的距离，

设1A 在平面1BDC 的射影为H ,

则H 为正三角形1BDC 的中心，26BH =， 2211848333

A H A

B BH =-=-

=， 1A P ∴的最小值为433， 又因为P 不在三角形1BDC 的边上，

所以1A P 的范围是43,223⎡⎫⎪⎢⎣⎭

，故选C. 12．已知如图正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1CC 上异于其中点的动点，Q 为棱1AA 的中点，设直线m 为平面BDP 与平面11B D P 的交线，以下关系中正确的是（ ）

A ．1//m D Q

B ．1m Q B ⊥

C ．//m 平面11B

D Q

D ．m ⊥平面11ABB A

【答案】C

【解析】 因为在正方体1111ABCD A B C D -中，11//D B BD ，且11D B ⊄平面BDP ，BD ⊂平面BDP ，

所以11//D B 平面BDP ，因为11D B ⊂平面11B D P ，且平面11B D P I 平面BDP m =， 所以有11//m D B ，而1111D Q D B D =I ，则m 与1D Q 不平行，故选项A 不正确；

若1m Q B ⊥，则111B Q D B ⊥，显然1B Q 与11D B 不垂直，矛盾，故选项B 不正确； 若m ⊥平面11ABB A ，则11D B ⊥平面11ABB A ，显然与正方体的性质矛盾，故C 不正确； 而因为11D B ⊂平面11B D P ，m ⊄平面11B D P ，

所以有//m 平面11B D P ，所以选项C 正确，.

13．一个圆锥的母线长为2，圆锥的母线与底面的夹角为4π，则圆锥的内切球的表面积为( ) A ．8π B ．24(22)π-

C ．24(22)π+

D ．2

32(22)49π-

【答案】B

【解析】

由题意，作出圆锥截面图，如图所示，

因为母线长为2，圆锥的母线与底面的夹角为4π

，所以圆锥底面半径与高均为2，

设内切球的半径为r ，则利用圆锥的轴截面，

根据等面积法，可得1

1

222(2222)22r ⨯⨯=⨯++，解得22r =-，

所以该圆锥内切球的表面积为224(22)4(22)ππ⨯-=-，故选B.

14．如图是某几何体的三视图，则过该几何体顶点的所有截面中，最大截面的面积是（ ）

A ．2

B 3

C 3

D ．1

【答案】A

【解析】 由三视图可知其对应的几何体是一个半圆锥，且圆锥的底面半径为3r =1h =，

故俯视图是一个腰长为2，顶角为120o 的等腰三角形， 易知过该几何体顶点的所有截面均为等腰三角形，且腰长为2，顶角的范围为(0,120⎤⎦o o ， 设顶角为θ，则截面的面积：122sin 2sin 2

S θθ=⨯⨯⨯=， 当90θ=o 时，面积取得最大值2.

故选：A .

15．已知平面αI 平面β=直线l ，点A 、C α∈，点B 、D β∈，且A 、B 、C 、D l ∉，点M 、N 分别是线段AB 、CD 的中点，则下列说法正确的是（ ）

A ．当2CD A

B =时，M 、N 不可能重合

B ．M 、N 可能重合，但此时直线A

C 与l 不可能相交

C ．当直线AB 、C

D 相交，且//AC l 时，BD 可与l 相交

D ．当直线AB 、CD 异面时，MN 可能与l 平行

【答案】B

【解析】

A 选项：当2CD A

B =时，若,,,A B

C

D 四点共面且//AC BD 时，则

,M N 两点能重合，可知A 错误；

B 选项：若,M N 可能重合，则//A

C B

D ，故//AC l ，此时直线AC 与直线l 不可能相交，可知B 正确；

C 选项：当AB 与C

D 相交，直线//AC l 时，直线BD 与l 平行，可知C 错误；

D 选项：当AB 与CD 是异面直线时，MN 不可能与l 平行，可知D 错误.

本题正确选项：B

16．阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体，在阳马

P ABCD -中，PC 为阳马P ABCD -中最长的棱，1,2,3AB AD PC ===，

若在阳马P ABCD -的外接球内部随机取一点，则该点位阳马内的概率为（ ）

A ．127π

B ．427π

C ．827π

D ．49π

【答案】C

【解析】

根据题意，PC 的长等于其外接球的直径，因为222PC PA AB AD =

++，∴2314PA =++，∴2PA =，又PA ⊥平面ABCD ，所以314431223332P ABCD V V π-⎛⎫=⨯⨯⨯==⨯ ⎪⎝⎭

球， ∴34

83274332P ππ==⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭

. 17．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球半径为（ ）

A 2

B 3

C 5

D ．22

【答案】C

【解析】

由三视图可知三棱锥的直观图如图：

由三视图可知底面三角形是边长为2，顶角120︒的三角形，所以外接圆半径可由正弦定理得；224sin30r ==︒

， 由侧面为两等腰直角三角形，可确定出外接圆圆心，利用球的几何性质可确定出球心，且球心到底面的距离1d =，所以球半径225R d r =+=，故选C.

18．已知正四面体P ABC -的棱长为2，D 为PA 的中点，,E F 分别是线段AB ，PC （含端点）边上的动点，则DE DF +的最小值为（ ）

A ．2

B ．3

C ．2

D ．22

【答案】B

【解析】

解：过D 作DG AB ⊥垂足为G ，过D 作DH PC ⊥，垂足为H ，

∴131********

DE DG AB ≥=⨯=⨯=， 13133222DF DH PC ≥===，

故DE DF DG DH +≥+=

+= 故选：B ． 19．设O 是正四面体P ABC -底面ABC 的中心，过O 的动平面与PC 交于,S 与,PA PB 的延长线分别交于,,Q R 则111||||||

PQ PR PS ++( ) A ．有最大值而无最小值

B ．有最小值而无最大值

C ．既有最大值又有最小值，且两者不相等

D ．是一个与平面QRS 无关的常数

【答案】D

【解析】

设正三棱锥P ABC -中,各侧棱两两夹角为α, PC 与面PAB 所成角为β, 则111sin sin 332S PQR PQR S h PQ PR S V P αβ-⎛⎫=⋅=⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭

V . 另一方面,记O 到各面的距离为d ,则S PQR O PQR O PRS O PQS V V V V ----=++, 即11113333

PQR PQR PRS PQS S d S d S d S d ⋅=⋅+⋅+⋅V V V V 111sin sin sin 323232

d d d PQ PR PS PR PQ PS ααα=⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅⋅, 故有: sin ()PQ PR PS d PQ PR PR PS PQ PS β⋅⋅⋅=⋅+⋅+⋅, 即111sin PQ PR PS d

β++==常数，故选D. 20．已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为1，点M 在线段BC 上（点M 异于B 、C 两点），点N 为线段1CC 的中点，若平面AMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为五边形，则线段BM 的取值范围是（ ）

A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦

B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭

C ．1,13⎡⎫

⎪⎢⎣⎭ D ．11,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦

【答案】B

【解析】

∵正方体1111ABCD A B C D -的体积为1，

所以正方体的棱长为1，

点M 在线段BC 上（点M 异于,B C 两点），

当点M 为线段BC 的中点时，1//MN AD

1,,,A M N D 共面，截面为四边形1AMND ，如图，

即12BM =，不合题意，排除选项,,A C D ;

当1

2BM >时，截面为五边形，如图，符合题意，

即平面AMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为五边形，

线段BM 的取值范围为1

,12⎛⎫ ⎪⎝⎭．

故选B ．

21．给出下列四个命题：

①如果平面α外一条直线a 与平面α内一条直线b 平行，那么a P α；

②过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；

③如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直；

④若两个相交平面都垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面．

其中真命题的序号为______．

【答案】①②④

【解析】

命题①是线面平行的判定定理，正确；

命题②因为垂直同一平面的两条直线平行，所以空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直，故正确； 命题③平面内无数条直线均平行时，不能得出直线与这个平面垂直，故不正确；

命题④因为两个相交平面都垂直于第三个平面，所以在两个相交平面内各取一条直线垂直于第三个平面，可得这两条直线平行，则其中一条直线平行于另一条直线所在的平面，可得这条直线平行于这两个相交平面的交线，从而交线垂直于第三个平面，故正确.

因此，答案为①②④

22． “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．”用现在的数学语言表述是：“如图所示，一圆柱形埋在墙壁中，1AB =尺，D 为AB 的中点，AB CD ⊥，1CD =寸，则圆柱底面的直径长是_________寸”．（注：l 尺=10寸）

【答案】26

【解析】

解：∵AB CD ⊥，AD BD =，

∵ 10AB =寸，

∴ 5AD =寸，

在Rt AOD ∆中，∵222OA OD AD =+，

∴ ()2

2215OA OA =-+，

∴ 13OA =寸，

∴ 圆柱底面的直径长是226AO =寸．

故答案为：26．

23．表面积为43_____．

【答案】6π 【解析】 如图所示，将正四面体补形成一个正方体，∵表面积为43的正四面体， 正四面体棱长为a ，234434

a ⨯=，解得2a =，∴正方体的棱长是2， 又∵球的直径是正方体的对角线，设球半径是R ，∴26R =，

∴62

R =，∴球的体积为3

46632ππ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭． 故答案为：6π．

24．已知圆锥的轴截面是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为____．

【答案】22π

【解析】

依题意，设圆锥的底面半径为r ，已知圆锥的轴截面是直角边长为2的等腰直角三角形，

如图所示，所以2222222r =+=，即2r =，又因为圆锥的母线长为2l =，

所以该圆锥的侧面积为rl π=22π．

故答案为：22π．

25．如图．网络纸上小正方形的边长为1．粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为______．

【答案】83π+

【解析】 根据三视图知，该几何体是三棱柱与半圆锥的组合体，如图所示；

结合图中数据，计算它的体积为

21112241282233

V V V ππ=+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+三棱柱半圆锥． 故答案为：83π

+．

26．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是1BDC ∆内（不含边界）的一个动点，若11A P BC ⊥，则线段1A P 的长的取值范围为_____. 【答案】432) 【解析】 考虑过1A 且垂直于1BC 的平面与平面1BDC 的交线，如图，

由正方体1111ABCD A B C D -可以得到11BC B C ⊥，111A B BC ⊥，因1111A B B C B =I ，所以1BC ⊥平面11A B CD ，而平面11A B CD I 平面11BDC D E =，故考虑1A 到线段DE 的距离的取值范围.

在图（2）的矩形11A DCB 中，122

A D =，2DC =，建立如图所示的平面直角坐标系，

则(10,22A ，()0,0D ，(2E ，()2,0A ，

所以2sin(2)3x π

=+，:20DE x -=，1A 到直线DE 433=， 因P 是1BDC ∆内，故1A P 的取值范围为43[

2).

27．已知三棱锥A SBC -的体积为23，各顶点均在以SC 为直径球面上，2,2AB AC BC ===，则这个球的表面积为_____________。

【答案】16π

【解析】 由题意，设球的直径2,,SC R A B =是该球面上的两点，如图所示， 因为2,2AB AC BC ===，所以ABC ∆为直角三角形，

设三棱锥S ABC -的高为h ，则112322323

h ⨯⨯⨯=，解得23h =， 取BC 的中点M ，连接OM ，根据球的性质，可得OM ⊥平面ABC ，

所以3=OM ,

在直角OMC ∆中，2222(3)12OC OM MC =+=+=,

即球的半径为2R =，

所以球的表面积为2244216S R πππ==⨯=.

28．已知四面体ABCD 中，5,8AB AD BC DC BD AC ======，则四面体ABCD 的体积为_____

【答案】10113

【解析】

取BD 中点O ，AC 中点E ，连结,,AO CO OE ，

∵四面体ABCD 中，5,8AB AD BC DC BD AC ======，

∴AO BD ⊥，CO BD ⊥，25532542AO CO ==-=， ∵AO CO O ⋂=，∴BD ⊥平面AOC ，

又OE AC ⊥，∴175********

AOC S ∆=⨯⨯-=， 15101122211323

A BCD

B AO

C V V --==⨯⨯⨯=， 故答案为：10113

．

29．如图，在四面体ABCD 中，3,34AB CD AD BD AC BC ======，用平行于,AB CD 的平面截此四面体，得到截面四边形EFGH ，则该四边形EFGH 面积的最大值为______

【答案】94

【解析】

因为直线AB//平面EFGH ，且平面ABC 交平面EFGH 于HG ,所以HG//AB ，同理//EF AB ，

//,//GF CD EH CD ，

所以四边形EFGH 为平行四边形

又34AD BD AC BC ====，可证明AB CD ⊥

所以四边形EFGH 为矩形.

设:::,(01)BF BD BG BC FG CD x x ===≤≤，

3,3(1)FG x HG x ==-

2119(1)9[()]24EFGH S FG HG x x x =⨯=-=--+ ，当12x =时，有最大值94

. 故填94

.

30．已知矩形ABCD ，1AB =，BC =ADC V 沿对角线AC 进行翻折，得到四棱锥D ABC -，则在翻折的过程中有下列结论：

①四棱锥D ABC -的体积最大值为14

； ②四棱锥D ABC -的外接球体积不变；

③异面直线AB 与CD 所成角的最大值为90o ．

其中正确的是____．（填写所有正确结论的编号）

【答案】①②③

【解析】

解：矩形ABCD ，1AB =，BC =2AC =，

在翻折的过程中，当面ACD ⊥面ACB 时，

D 到底面的距离最大，且为直角三角形ACD 斜边AC

可得四棱锥D ABC -的体积最大值为1111324⋅

⋅=，故①正确； 取AC 的中点O ，连接OB ，OD ，

可得OA OB OC OD ===，即O 为四棱锥D ABC -的外接球 的球心，且半径为1，体积为4

3π，故②正确；

若AB CD ⊥，又AB BC ⊥，可得AB ⊥平面BCD ，即有AB BD ⊥， 由1AB =及3AD = 可得2BD =，

将ADC V 沿对角线AC 翻折得过程中，存在某个位置使得2BD =成立，故③正确． 故答案为：①②③．