函数概念及其表示、基本性质经典试题

【考点导读】

1.在体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型的基础上，通过集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．

2.准确理解函数的概念，能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数．

【基础练习】

1．设有函数组：①，；②，；③，；④，；⑤，．其中表示同一个函数的有_____． 

2.设集合，，从到有四种对应如图所示：

其中能表示为到的函数关系的有          ． 

3.写出下列函数定义域：

(1) 的定义域为___________；(2) 的定义域为______________；

(3) 的定义域为______________； (4) 的定义域为_________________．

4．已知三个函数:(1)； (2)； (3)．写出使各函数式有意义时，，的约束条件： (1)______________________； (2)______________________；  (3)______________________________．

5.写出下列函数值域：

(1) ，；值域是               ．

(2) ； 值域是             ．

(3) ，．  值域是            ．

【范例解析】例1.设有函数组：①，；②，；③，；④，．其中表示同一个函数的有③④．

分析：判断两个函数是否为同一函数，关键看函数的三要素是否相同．

例2.求下列函数的定义域：① ；    ② ；

例3.求下列函数的值域：

（1），；

（2）；

（3）．

分析：运用配方法，逆求法，换元法等方法求函数值域．

点评：二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法；逆求法利用函数有界性求函数的值域；用换元法求函数的值域应注意新元的取值范围．

【反馈演练】

1．函数f(x)＝的定义域是___________．

2．函数的定义域为_________________．

3. 函数的值域为________________．

4. 函数的值域为_____________．

5．函数的定义域为_____________________．

6.记函数f(x)=的定义域为A，g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1) 的定义域为B．

(1) 求A；

(2) 若BA，求实数a的取值范围．(－∞,－2]∪[,1)

第2课  函数的表示方法

【考点导读】

1.会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法，列表法，解析法）表示函数．

2.求解析式一般有四种情况：（1）根据某个实际问题须建立一种函数关系式；（2）给出函数特征，利用待定系数法求解析式；（3）换元法求解析式；（4）解方程组法求解析式．

【基础练习】

1.设函数，，则_________；__________．

2.设函数，,则______； 

           ；            ．

3.已知函数是一次函数，且，,则__   ___．

4.设f(x)＝，则f[f()]＝_____________．

5.如图所示的图象所表示的函数解析式为__________________________．

【范例解析】函数解析式的求法:

1.设是一次函数，且，求

2.已知 ，求的解析式

3.已知，求

4.设求

5.设为偶函数，为奇函数，又试求的解析式

6.已知：，对于任意实数x、y，有恒成立，求

赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

7..甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离

与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家．如图，

表示甲从出发到乙家为止经过的路程y（km）与时间x（分）

的关系．试写出的函数解析式．

分析：理解题意，根据图像待定系数法求解析式．

点评：建立函数的解析式是解决实际问题的关键，把题中文字语言描述的数学关系用数学符号语言表达．要注意求出解析式后，一定要写出其定义域．

【反馈演练】

1．设函数则实数的取值范围是            。

2．已知，且，则m等于________．

3.若y=f(x)在x∈［0，+∞)上的表达式为y=x(1－x)，且f(x)为奇函数，则x∈(－∞，0］时f(x)等于

A.－x(1－x)             B.x(1+x)      C.－x(1+x)               D.x(x－1)

4.已知函数，若,则          。

5.若函数，则=            

6.已知，那么等于（    ）

A．   B．   C．    D． 

第3课  函数的单调性

【考点导读】

1.理解函数单调性，最大（小）值及其几何意义；

2.会运用单调性的定义判断或证明一些函数的增减性．

一些重要函数的单调性：

1、一次函数的图象y=kx+b的单调性：

（1）当k>0时，函数在R上是增函数   （2）当k<0时，函数在R上是减函数

2、反比例函数的图象的单调性：

（1）当k>0时，函数在上是减函数        同加，单调性不变

（2）当k<0时，函数在上是增函数            同增异减

3、二次函数的图象的单调性

（1）当a>0时，函数在上是减函数, 在上是增函数

（2）当a<0时，函数在上是增函数,在上是减函数

【基础练习】

1.下列函数中： 

①；     ②；    ③；     ④．

其中，在区间(0，2)上是递增函数的序号有           ．

2.函数的递增区间是___  __．

3.函数的递减区间是__________．

4.已知函数在定义域R上是单调减函数，且，则实数a的取值范围__________．

5.已知下列命题：

①定义在上的函数满足，则函数是上的增函数；

②定义在上的函数满足，则函数在上不是减函数；

③定义在上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在上是增函数；

④定义在上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在上是增函数．其中正确命题的序号有__________．

【范例解析】

例 . 求证：（1）函数在区间上是单调递增函数；

（2）函数在区间和上都是单调递增函数．

分析：利用单调性的定义证明函数的单调性，注意符号的确定．

证明：（1）对于区间内的任意两个值，，且，

因为

，又，则，，得，故，即，即．所以，函数在区间上是单调增函数．

点评：利用单调性定义证明函数的单调性，一般分三步骤：（1）在给定区间内任意取两值，；（2）作差，化成因式的乘积并判断符号，一般方法因式分解；配方；分母有理化；（3）给出结论．

例2.确定函数的单调性．

分析：运用有理化可以对含根号的式子进行符号的确定．

【反馈演练】

1．已知函数，则该函数在上单调递      ，（填“增”“减”）值域为_________．

2．已知函数在上是减函数，在上是增函数，则        .

3.若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ）

A．   B． 

C．   D． 

4.函数在上是增函数，则实数的范围是            .改为在是减函数、单调函数、不是单调函数，又如何？

5.函数的单调递增区间为                 .

6.对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．

7.函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”的是(　　)

A．f(x)＝　　 B．f(x)＝(x－1)2      C．f(x)＝ex    D．f(x)＝ln(x＋1)

8.求证：函数在R上是增函数。

9.已知函数在有最小值，记作．

求的表达式；

第4课  函数的奇偶性

【考点导读】

1.了解函数奇偶性的含义，能利用定义判断一些简单函数的奇偶性；

2.定义域对奇偶性的影响：定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要但不充分条件；不具备上述对称性的，既不是奇函数，也不是偶函数．

【基础练习】

1.给出4个函数：①；②；③；

④．其中奇函数的有___    _；偶函数的有____   __；既不是奇函数也不是偶函数的有           ．

2. 设函数为奇函数，则实数        ． 

3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（   ）

A.   B.    C.    D.

【范例解析】

例1.判断下列函数的奇偶性：

（1）； （2）； （3）；                （4）；   （5）；  （6）

点评：判断函数的奇偶性，应首先注意其定义域是否关于原点对称；其次，利用定义即或判断，注意定义的等价形式或．

例2. 已知定义在上的函数是奇函数，且当时，，求函数的解析式，并指出它的单调区间．

点评：（1）求解析式时的情况不能漏；（2）两个单调区间之间一般不用“”连接；（3）利用奇偶性求解析式一般是通过“”实现转化；（4）根据图像写单调区间． 

【反馈演练】

1．已知定义域为R的函数在区间上为减函数，且函数为偶函数，则（   ）A．     B．     C．        D．

2. 在上定义的函数是偶函数，且，若在区间是减函数，则函数（    ）

A.在区间上是增函数，区间上是增函数

B.在区间上是增函数，区间上是减函数

C.在区间上是减函数，区间上是增函数

D.在区间上是减函数，区间上是减函数

3. 若f(x)是偶函数，当x∈［0，+∞)时，f(x)=x－1，求f(x－1)＜0的解集

4．设函数为奇函数，则________．

5．若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的x的取值范围是             ．

6.已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，且定义域为［a－1，2a］，则a=_____________，b=____________.

7.已知f(x)＝x5+ax3-bx-8，f(-2)＝10，求f(2)

8.已知是奇函数，在区间上单调递增，且有，求实数的取值范围。