高等数学-11章无穷级数

教学目的： 

1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。

2．掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。

3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。

4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。

5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。

6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。

9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10．掌握，和的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。

教学重点 ：

 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。

      2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别；

      3、交错级数的莱布尼茨判别法；

      4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；

      5、，和的麦克劳林展开式；

      6、傅里叶级数。

教学难点：

1、比较判别法的极限形式；

2、莱布尼茨判别法；

3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛；

4、函数项级数的收敛域及和函数；

5、泰勒级数；

6、傅里叶级数的狄利克雷定理。

§11 1 常数项级数的概念和性质

    一、常数项级数的概念

    常数项级数 给定一个数列 

        u1 u2 u3    un    

则由这数列构成的表达式

        u1  u2  u3     un    

叫做常数项)无穷级数 简称常数项)级数 记为 即

其中第n项u n 叫做级数的一般项 

    级数的部分和 作级数的前n项和

称为级数的部分和 

    级数敛散性定义 如果级数的部分和数列有极限s 即 

则称无穷级数收敛 这时极限s叫做这级数的和 

并写成

如果没有极限 则称无穷级数发散 

    余项 当级数收敛时 其部分和s n是级数的和s的近似值 它们之间的差值

        rnssnun1un2   

叫做级数的余项 

    例1 讨论等比级数(几何级数)

的敛散性 其中a0 q叫做级数的公比  

    例1 讨论等比级数(a0)的敛散性  

    解 如果q1 则部分和

    当|q|1时 因为 所以此时级数收敛 其和为 

    当|q|>1时 因为 所以此时级数发散 

    如果|q|1 则当q1时 sn na 因此级数发散 

    当q1时 级数成为

        aaaa    

    时|q|1时 因为sn 随着n为奇数或偶数而等于a或零 

所以sn的极限不存在 从而这时级数也发散 

    综上所述 如果|q|1 则级数收敛 其和为 如果|q|1 则级数发散 

    仅当|q|1时 几何级数a0)收敛 其和为 

    例2 证明级数

        123  n  

是发散的  

    证 此级数的部分和为

显然  因此所给级数是发散的 

    例3 判别无穷级数

的收敛性 

    解 由于

因此

从而

所以这级数收敛 它的和是1 

    例3 判别无穷级数的收敛性 

    解 因为

从而

所以这级数收敛 它的和是1 

提示  

    二、收敛级数的基本性质

    性质1 如果级数收敛于和s 则它的各项同乘以一个常数k所得的级数也收敛 且其和为ks 

    性质1 如果级数收敛于和s 则级数也收敛 且其和为ks 

    性质1 如果 则 

    这是因为 设与的部分和分别为sn与n 则

这表明级数收敛 且和为ks 

    性质2 如果级数、分别收敛于和s、 则级数也收敛 且其和为s 

    性质2 如果、 则

    这是因为 如果、、的部分和分别为sn、n、n 则

    性质3  在级数中去掉、加上或改变有限项 不会改变级数的收敛性 

    比如 级数是收敛的 

级数也是收敛的 

级数也是收敛的 

    性质4 如果级数收敛 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛 且其和不变  

    应注意的问题 如果加括号后所成的级数收敛 则不能断定去括号后原来的级数也收敛  例如 级数

         11)+11) +  收敛于零 但级数1111  却是发散的  

    推论 如果加括号后所成的级数发散 则原来级数也发散  

    级数收敛的必要条件 

    性质5 如果收敛 则它的一般项un 趋于零 即 

    性质5 如果收敛 则

    证  设级数的部分和为sn 且 则

    应注意的问题 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件  

    例4  证明调和级数

        是发散的  

    例4 证明调和级数是发散的  

    证 假若级数收敛且其和为s sn是它的部分和 

显然有及 于是 

    但另一方面  

故 矛盾 这矛盾说明级数必定发散 

    §11 2 常数项级数的审敛法

    一、正项级数及其审敛法

    正项级数 各项都是正数或零的级数称为正项级数 

    定理1 正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列{sn}有界  

    定理2(比较审敛法)设和都是正项级数 且unvn (n1 2    ) 若级数收敛 则级数收敛 反之 若级数发散 则级数发散 

    定理2(比较审敛法)

    设和都是正项级数 且unvn(k0 nN) 

    若收敛 则收敛 若发散 则发散 

    设un和vn都是正项级数 且unkvn(k0 nN) 若级数vn收敛 则级数un收敛 反之 若级数un发散 则级数vn发散 

    证  设级数收敛于和 则级数的部分和

        snu1u2    unv1 v2    vn (n1, 2,   ) 

即部分和数列{sn}有界 由定理1知级数收敛 

    反之 设级数发散 则级数必发散 因为若级数

收敛 由上已证明的结论 将有级数也收敛 与假设矛盾 

    证  仅就unvn (n1 2    )情形证明 设级数vn收敛 其和为 则级数un的部分和

        snu1 u2     unv1v2    vn (n1, 2,   ) 

即部分和数列{sn}有界 因此级数un收敛 

    反之 设级数un发散 则级数vn必发散 因为若级数

vn收敛 由上已证明的结论 级数un也收敛 与假设矛盾 

    推论 设和都是正项级数 如果级数收敛 且存在自然数N 使当nN时有unkvn(k0)成立 则级数收敛 如果级数发散 且当nN时有unkvn(k0)成立 则级数发散  

    例1 讨论p级数

的收敛性 其中常数p0  

    例1 讨论p级数的收敛性  

    解 设p1 这时 而调和级数发散 由比较审敛法知 当p1时级数发散 

    设p1 此时有

         (n2, 3,   ) 

对于级数 其部分和

因为 

所以级数收敛 从而根据比较审敛法的推论1可知 级数当p1时收敛 

    综上所述 p级数当p1时收敛 当p1时发散 

    解 当p1时  而调和级数发散 由比较审敛法知 

当p1时级数发散 

    当p1时 

         (n2, 3,   ) 

而级数是收敛的 根据比较审敛法的推论可知 

级数当p1时收敛

提示 

级数的部分和为

因为 

所以级数收敛 

    p级数的收敛性  p级数当p1时收敛 当p1时发散 

    例2 证明级数是发散的  

    证 因为 

而级数是发散的 

根据比较审敛法可知所给级数也是发散的 

    定理3(比较审敛法的极限形式)

    设和都是正项级数 如果(0l) 

则级数和级数同时收敛或同时发散  

    定理3(比较审敛法的极限形式)

    设和都是正项级数 

    (1)如果(0l) 且级数收敛 则级数收敛 

    (2)如果 且级数发散 则级数发散  

    定理3(比较审敛法的极限形式)

    设un和vn都是正项级数 

    (1)如果lim(un/vn)l(0l) 且vn收敛 则un收敛

    (2)如果lim(un/vn)l(0l) 且vn发散 则un发散 

    证明 由极限的定义可知 对 存在自然数N 当nN时 有不等式

          即  

再根据比较审敛法的推论1 即得所要证的结论 

    例3 判别级数的收敛性  

    解 因为 而级数发散 

根据比较审敛法的极限形式 级数发散 

    例4 判别级数的收敛性  

    解 因为 而级数收敛  

根据比较审敛法的极限形式 级数收敛 

    定理4(比值审敛法 达朗贝尔判别法)

    若正项级数的后项与前项之比值的极限等于 

则当1时级数收敛 当1(或)时级数发散 当 1时级数可能收敛也可能发散  

    定理4(比值审敛法 达朗贝尔判别法)

    若正项级数满足 则当1时级数收敛 

当1(或)时级数发散 当 1时级数可能收敛也可能发散  

    定理4(比值审敛法 达朗贝尔判别法)设为正项级数 如果

则当1时级数收敛 当1(或)时级数发散 当 1时级数可能收敛也可能发散  

    例5 证明级数

是收敛的 

    解 因为 

根据比值审敛法可知所给级数收敛 

    例6 判别级数的收敛性 

    解 因为 

根据比值审敛法可知所给级数发散 

    例7 判别级数的收敛性  

    解  

这时1 比值审敛法失效 必须用其它方法来判别级数的收敛性 

    因为 而级数收敛 因此由比较审敛法可知所给级数收敛 

    解 因为 而级数收敛 因此由比较审敛法可知所给级数收敛 

    提示  比值审敛法失效 

    因为 而级数收敛 因此由比较审敛法可知所给级数收敛 

    定理5(根值审敛法 柯西判别法)

    设是正项级数 如果它的一般项un的n次根的极限等于 

则当1时级数收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可能发散  

    定理5(根值审敛法 柯西判别法)

    若正项级数满足 则当1时级数收敛 

当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可能发散  

    定理5(根值审敛法 柯西判别法)

    设为正项级数 如果

则当1时级数收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可能发散  

    例8 证明级数是收敛的  

并估计以级数的部分和sn近似代替和s所产生的误差  

    解 因为 

所以根据根值审敛法可知所给级数收敛 

    以这级数的部分和sn 近似代替和s所产生的误差为

    例6判定级数的收敛性 

    解 因为

所以 根据根值审敛法知所给级数收敛 

    定理6(极限审敛法) 

    设为正项级数 

    (1)如果 则级数发散 

    (2)如果p1 而 则级数收敛 

    例7 判定级数的收敛性 

    解 因为 故

根据极限审敛法 知所给级数收敛 

    例8 判定级数的收敛性

    解 因为 

根据极限审敛法 知所给级数收敛 

    二、交错级数及其审敛法

    交错级数 交错级数是这样的级数 它的各项是正负交错的  

    交错级数的一般形式为 其中 

    例如是交错级数 但不是交错级数 

    定理6（莱布尼茨定理） 

    如果交错级数满足条件 

    (1)unun1 (n1 2 3   )  (2)  

则级数收敛 且其和su1 其余项rn的绝对值|rn|un1 

    定理6（莱布尼茨定理） 

    如果交错级数满足 (1)  (2)  

则级数收敛 且其和su1 其余项rn的绝对值|rn|un1 

    简要证明 设前n项部分和为sn

    由s2n(u1u2)(u3u4)    (u2n 1u2n)   及

       s2nu1(u2u3)(u4u5)    (u2n2u2n1)u2n 

看出数列{s2n}单调增加且有界(s2nu1) 所以收敛 

    设s2ns(n) 则也有s2n1s2nu2n1s(n) 所以sns(n) 从而级数是收敛的 且snu1 

     因为 |rn|un1un2  也是收敛的交错级数 所以|rn|un1 

    例9 证明级数收敛 并估计和及余项 

    证  这是一个交错级数 因为此级数满足

     (1) (n1, 2,  )  (2)  

由莱布尼茨定理 级数是收敛的 且其和su11 余项 

    三、绝对收敛与条件收敛  

    绝对收敛与条件收敛 

    若级数收敛 则称级数绝对收敛 若级数

收敛 而级数发散 则称级条件收敛 

    例10  级数是绝对收敛的 而级数是条件收敛的  

    定理7 如果级数绝对收敛 则级数必定收敛  

    值得注意的问题 

    如果级数发散 我们不能断定级数也发散  

    但是 如果我们用比值法或根值法判定级数发散 

则我们可以断定级数必定发散  

这是因为 此时|un|不趋向于零 从而un也不趋向于零 因此级数也是发散的  

    例11 判别级数的收敛性  

    解 因为| 而级数是收敛的 

所以级数也收敛 从而级数绝对收敛 

    例12 判别级数的收敛性  

    解 由 有 

可知 因此级数发散 

§ 11 3  幂级数

    一、函数项级数的概念

    函数项级数 给定一个定义在区间I 上的函数列{un(x)} 由这函数列构成的表达式

                 u1(x)u2(x)u3(x)    un(x)   

称为定义在区间I上的(函数项)级数  记为  

    收敛点与发散点 

    对于区间I内的一定点x0 若常数项级数收敛 则称

点x0是级数的收敛点  若常数项级数发散 则称

点x0是级数的发散点  

    收敛域与发散域 

    函数项级数的所有收敛点的全体称为它的收敛域 所

有发散点的全体称为它的发散域  

    和函数 

    在收敛域上 函数项级数的和是x的函数s(x) 

s(x)称为函数项级数的和函数 并写成  

    ∑un(x)是的简便记法 以下不再重述 

    在收敛域上 函数项级数∑un(x)的和是x的函数s(x) 

s(x)称为函数项级数∑un(x)的和函数 并写成s(x)∑un(x)  

    这函数的定义就是级数的收敛域 

    部分和 

    函数项级数的前n项的部分和记作sn(x) 

    函数项级数∑un(x)的前n项的部分和记作sn(x) 即

        sn(x) u1(x)u2(x)u3(x)    un(x) 

    在收敛域上有或sn(x)s(x)(n)  

    余项 

    函数项级数的和函数s(x)与部分和sn(x)的差 

    rn (x)s(x)sn(x)叫做函数项级数的余项  

    函数项级数∑un(x)的余项记为rn (x) 它是和函数s(x)与部分和sn(x)的差 rn (x)s(x)sn(x) 

    在收敛域上有 

    二、幂级数及其收敛性

    幂级数 

    函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数

项级数 这种形式的级数称为幂级数 它的形式是

                   a0a1xa2x2    anxn     

其中常数a0 a1 a2     an    叫做幂级数的系数  

    幂级数的例子 

      1xx2x3    xn      

    注 幂级数的一般形式是

        a0a1(xx0)a2(xx0)2    an(xx0)n     

经变换txx0就得a0a1ta2t2    antn    

    幂级数

        1xx2x3    xn     

可以看成是公比为x的几何级数 当|x|1时它是收敛的 当|x|1时 它是发散的 因此它的收敛

域为(1 1) 在收敛域内有

    定理1 (阿贝尔定理) 如果级数当xx0 (x00)时收敛 则适合不等式

|x||x0|的一切x使这幂级数绝对收敛 反之 如果级数当

xx0时发散 则适合不等式|x||x0|的一切x使这幂级数发散  

    定理1 (阿贝尔定理) 如果级数∑anxn当xx0 (x00)时收敛 则适合不等式

|x||x0|的一切x使这幂级数绝对收敛  反之 如果级数∑anxn当

xx0时发散 则适合不等式|x||x0|的一切x使这幂级数发散  

提示 ∑anxn是的简记形式 

    证  先设x0是幂级数的收敛点 即级数收敛 根据级数收敛的必要条件 有 于是存在一个常数M 使

| anx0n |M(n0, 1, 2,   ) 

这样级数的的一般项的绝对值

因为当|x||x0|时 等比级数收敛 所以级数收敛 也就是级数绝对收敛            

    简要证明  设∑anxn在点x0收敛 则有anx0n0(n)  于是数列{anx0n}有界 即存在一个常数M 使| anx0n |M(n0, 1, 2,   ) 

    因为   

而当时 等比级数收敛 所以级数∑|anxn|收敛 也就是级数∑anxn绝对收敛 

    定理的第二部分可用反证法证明 倘若幂级数当xx0时发散而有一点x1适合|x1|>|x0|使级数收敛 则根据本定理的第一部分 级数当xx0时应收敛 这与所设矛盾 定理得证 

    推论  如果级数不是仅在点x0一点收敛 也不是在整个数轴上都收敛 则必有一个完全确定的正数R存在 使得

    当|x|R时 幂级数绝对收敛 

    当|x|R时 幂级数发散 

    当xR与xR时 幂级数可能收敛也可能发散  

    收敛半径与收敛区间 正数通常叫做幂级数的收敛半径 开区间(R R)叫做幂级数的收敛区间 再由幂级数在xR处的收敛性就可以决定它的收敛域 幂级数的收敛域是(R, R)(或[R, R)、(R, R]、[R, R]之一  

    规定 若幂级数只在x0收敛 则规定收敛半径R0  若幂级数对一切x都收敛 则规定收敛半径R 这时收敛域为(, )  

    定理2 

    如果 其中an、an1是幂级数的相邻两项的系数 则这幂级数的收敛半径

    定理2 

    如果幂级数系数满足 则这幂级数的收敛半径

    定理2 

    如果 则幂级数的收敛半径R为 

当0时 当0时R 当时R0 

    简要证明  

    (1)如果0 则只当|x|1时幂级数收敛 故 

    (2)如果0 则幂级数总是收敛的 故R 

    (3)如果 则只当x0时幂级数收敛 故R0 

    例1  求幂级数

的收敛半径与收敛域  

    例1 求幂级数的收敛半径与收敛域            

    解  因为 

所以收敛半径为 

    当x1时 幂级数成为 是收敛的 

    当x1时 幂级数成为 是发散的 因此 收敛域为(1, 1] 

    例2  求幂级数

的收敛域  

    例2 求幂级数的收敛域

    解  因为 

所以收敛半径为R 从而收敛域为(, ) 

    例3 求幂级数的收敛半径  

    解 因为

所以收敛半径为R0 即级数仅在x0处收敛 

    例4 求幂级数的收敛半径  

    解 级数缺少奇次幂的项 定理2不能应用 可根据比值审敛法来求收敛半径 

    幂级数的一般项记为 

    因为  

当4|x|21即时级数收敛 当4|x|21即时级数发散 所以收敛半径为

提示    

    例5 求幂级数的收敛域  

    解 令tx1 上述级数变为 

    因为  

所以收敛半径R2 

    当t2时 级数成为 此级数发散 当t2时 级数成为 此级数收敛 因此级数的收敛域为2t2 因为2x12 即1x3 所以原级数的收敛域为[1, 3) 

    三、幂级数的运算

    设幂级数及分别在区间(R, R)及(R, R)内收敛 则在(R, R)与(R, R)中较小的区间内有

加法  

减法  

    设幂级数∑anxn及∑bnxn分别在区间(R, R)及(R, R)内收敛 则在(R, R)与(R, R)中较小的区间内有

加法 ∑anxn∑bnxn ∑(anbn)xn  

减法 ∑anxn∑bnxn ∑(anbn)xn  

乘法 a0b0(a0b1a1b0)x(a0b2a1b1a2b0)x2     

    (a0bna1bn1    anb0)xn   

    性质1 幂级数的和函数s(x)在其收敛域I上连续  

    如果幂级数在xR (或xR)也收敛 则和函数s(x)在(R, R](或[R, R))连续  

    性质2 幂级数的和函数s(x)在其收敛域I上可积 并且有逐项积分公式

         (xI ) 

逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径 

    性质3 幂级数的和函数s(x)在其收敛区间(R R)内可导 并且有逐项求导公式

         (|x|R) 

逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径  

    性质1 幂级数∑anxn的和函数s(x)在其收敛域I上连续  

    性质2 幂级数∑anxn的和函数s(x)在其收敛域I上可积 并且有逐项积分公式

         (xI ) 

逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径 

    性质3 幂级数∑anxn的和函数s(x)在其收敛区间(R R)内可导 并且有逐项求导公式

         (|x|R) 

逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径  

    例6 求幂级数的和函数  

    解 求得幂级数的收敛域为[1 1) 

    设和函数为s(x) 即 x[1 1) 显然s(0)1 

    在的两边求导得

对上式从0到x积分 得

于是 当x 0时 有 从而 

    因为

所以 当x0时 有 

从而  

    例6 求幂级数的和函数  

    解 求得幂级数的收敛域为[1 1) 

    设幂级数的和函数为s(x) 即 x[1 1) 

    显然S(0)1 因为

所以 当时 有 

从而  

    由和函数在收敛域上的连续性  

    综合起来得

提示 应用公式 即 

     例7  求级数的和 

    解  考虑幂级数 此级数在[1, 1)上收敛 设其和

函数为s(x) 则 

    在例6中已得到xs(x)ln(1x) 于是s(1)ln2  即 

§11 4  函数展开成幂级数

    一、泰勒级数

    要解决的问题 给定函数f(x) 要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数” 就是说 是否能找到这样一个幂级数 它在某区间内收敛 且其和恰好就是给定的函数f(x)  如果能找到这样的幂级数 我们就说 函数f(x)在该区间内能展开成幂级数 或简单地说函数f(x)能展开成幂级数 而该级数在收敛区间内就表达了函数f(x)  

    泰勒多项式 如果f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数 则在该邻域内f(x)近似等于

其中(介于x与x0之间) 

    泰勒级数 如果f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数f(x) f(x)     

f (n)(x)     则当n时 f(x)在点x0的泰勒多项式

成为幂级数

这一幂级数称为函数f(x)的泰勒级数  显然 当xx0时 f(x)的泰勒级数收敛于f(x0)  

    需回答的问题 除了xx0外 f(x)的泰勒级数是否收敛? 如果收敛 它是否一定收敛于f(x)? 

    定理  设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数 则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中的余项Rn(x)当n0时的极限为零 即 

    证明  先证必要性 设f(x)在U(x0)内能展开为泰勒级数 即

又设sn1(x)是f(x)的泰勒级数的前n1项的和 则在U(x0)内sn1(x) f(x)(n) 

而f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x)sn1(x)Rn(x) 于是R n(x)f(x)sn1(x)0(n) 

    再证充分性 设Rn(x)0(n)对一切xU(x0)成立 

    因为f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x)sn1(x)R n(x) 于是sn1(x)f(x)R n(x)f(x) 

即f(x)的泰勒级数在U(x0)内收敛 并且收敛于f(x) 

    麦克劳林级数 在泰勒级数中取x00 得

此级数称为f(x)的麦克劳林级数  

    展开式的唯一性 如果f(x)能展开成x的幂级数 那么这种展式是唯一的 它一定与f(x)的麦克劳林级数一致  这是因为 如果f(x)在点x00的某邻域(R R)内能展开成x的幂级数 即

        f(x)a0a1xa2x2    anxn      

那么根据幂级数在收敛区间内可以逐项求导 有

f (x)a12a2x3a3x2   nanxn1     

f (x)2!a232a3x     n(n1)anxn2      

f (x)3!a3   n(n1)(n2)anxn3      

f (n)(x)n!an(n1)n(n1)    2an1x       

于是得

        a0f(0) a1f (0)        

   应注意的问题 如果f(x)能展开成x的幂级数 那么这个幂级数就是f(x)的麦克劳林级数 但是 反过来如果f(x)的麦克劳林级数在点x00的某邻域内收敛 它却不一定收敛于f(x) 因此 如果f(x)在点x00处具有各阶导数 则f(x)的麦克劳林级数虽然能作出来 但这个级数是否在某个区间内收敛 以及是否收敛于f(x)却需要进一步考察  

    二、函数展开成幂级数

    展开步骤 

第一步  求出f (x)的各阶导数 f (x) f (x)     f (n)(x)     

第二步  求函数及其各阶导数在x0 处的值 

        f(0) f (0) f (0)     f (n)( 0)     

第三步  写出幂级数

并求出收敛半径R 

第四步  考察在区间(R R)内时是否Rn(x)0(n) 

是否为零 如果Rn(x)0(n) 则f(x)在(R R)内有展开式

         (RxR) 

    例1 将函数f(x)ex展开成x的幂级数  

    解 所给函数的各阶导数为f (n)(x)ex(n1 2   ) 因此f (n)(0)1(n1 2   ) 于是得级数

它的收敛半径R 

    对于任何有限的数x、 (介于0与x之间) 有

而 所以 从而有展开式

    例2 将函数f(x)sin x 展开成x的幂级数 

    解 因为(n1 2    ) 

所以f (n)(0)顺序循环地取0 1 0 1    ((n0 1 2 3   ) 于是得级数

它的收敛半径为R 

    对于任何有限的数x、 (介于0与x之间) 有

 0 (n ) 

因此得展开式

    例3 将函数f(x)(1 x)m展开成x的幂级数 其中m为任意常数  

    解 f(x)的各阶导数为

    f (x)m(1x)m1 

    f (x)m(m1)(1x)m2 

    f (n)(x)m(m1)(m2)  (mn1)(1x)mn 

所以    f(0)1 f (0)m f (0)m(m1)    f (n)(0)m(m1)(m2)  (mn1)   

于是得幂级数

可以证明

    间接展开法 

    例4 将函数f(x)cos x展开成x的幂级数 

    解  已知

         (x) 

对上式两边求导得

    例5 将函数展开成x的幂级数 

    解 因为 

把x换成x2 得

         (1x1)

注 收敛半径的确定 由1x21得1x1 

    例6 将函数f(x)ln(1x) 展开成x的幂级数 

    解  因为 

而是收敛的等比级数(1x1)的和函数 

所以将上式从0到x逐项积分 得

    解  f(x)ln(1x) 

            (1x1) 

    上述展开式对x1也成立 这是因为上式右端的幂级数当x1时收敛 而ln(1x)在x1处有定义且连续 

    例7 将函数f(x)sin x展开成的幂级数 

    解  因为

并且有

所以     

    例8 将函数展开成(x1)的幂级数     

    解 因为 

提示     

收敛域的确定 由和得 

展开式小结 

§11 5  函数的幂级数展开式的应用

一、近似计算

    例1 计算的近似值 要求误差不超过00001  

    例1 计算的近似值(误差不超过104) 

    解  因为 

所以在二项展开式中取  即得

这个级数收敛很快 取前两项的和作为的近似值 其误差(也叫做截断误差)为

于是取近似式为 

为了使“四舍五入”引起的误差(叫做舍入误差)与截断误差之和不超过104 计算时应取五位小数 然后四舍五入 因此最后得

    例2 计算ln 2的近似值 要求误差不超过00001 

    例2 计算ln 2的近似值(误差不超过104) 

    解  在上节例5中 令 x1可得

        .

  如果取这级数前n项和作为ln2的近似值 其误差为

        .

为了保证误差不超过 就需要取级数的前10000项进行计算. 这样做计算量太大了 我们必需用收敛较快的级数来代替它.

把展开式

中的x换成x  得

两式相减 得到不含有偶次幂的展开式

令 解出 以代入最后一个展开式 得

如果取前四项作为ln2的近似值 则误差为

           .

于是取  

同样地 考虑到舍入误差 计算时应取五位小数

因此得  ln 206931 

    例3 利用 求sin9的近似值 并估计误差 

解  首先把角度化成弧度

         (弧度) (弧度)

从而    

其次 估计这个近似值的精确度 在sin x 的幂级数展开式中令 得

等式右端是一个收敛的交错级数 且各项的绝对值单调减少 取它的前两项之和作为的近似值 起误差为

因此取   

于是得  sin90153

这时误差不超过105

    例4 计算定积分

的近似值 要求误差不超过00001（取） 

    例4 求积分的近似值(误差不超过104) 

    解 将ex的幂级数展开式中的x换成x2 得到被积函数的幂级数展开式

          .

于是 根据幂级数在收敛区间内逐项可积 得 

        .

前四项的和作为近似值 其误差为

所以

    例5 计算积分

的近似值 要求误差不超过00001 

    例5 计算的近似值(误差不超过104)

    解 由于 因此所给积分不是反常积分 如果定义被积函数在x0处的值为1 则它在积分区间[0 1]上连续.

    展开被积函数 有

在区间[0 1]上逐项积分 得

因为第四项

所以取前三项的和作为积分的近似值 

    二、欧拉公式

    复数项级数 设有复数项级数

        (u1iv1)(u2iv2)   (univn)   

其中un  vn (n1 2 3   )为实常数或实函数 如果实部所成的级数

        u1u2     un   

收敛于和u 并且虚部所成的级数 

        v1v2    vn   

收敛于和v 就说复数项级数收敛且和为uiv 

    绝对收敛 

    如果级的各项的模所构成的级数收敛 

则称级数绝对收敛 

    复变量指数函数 考察复数项级数

可以证明此级数在复平面上是绝对收敛的 在x轴上它表示指数函数ex  在复平面上我们用它来定义复变量指数函数 记为ez  即

    欧拉公式 当x0时 ziy  于是

          cos yisin y 

把y定成x得

        eixcos xi sin x 

这就是欧拉公式 

    复数的指数形式 复数z可以表示为

        zr(cos isin)rei  

其中r|z|是z的模  arg z是z的辐角 

三角函数与复变量指数函数之间的联系 

因为eixcos xi sin x eixcos xi sin x 所以

        eix+eix2cos x  exeix2isin x

这两个式子也叫做欧拉公式 

    复变量指数函数的性质 

特殊地 有exiy ex ei y ex (cos y isin y) 

§11.7  傅里叶级数

    一、三角级数  三角函数系的正交性

    三角级数 级数

称为三角级数 其中a0 an bn (n  1 2   )都是常数 

    三角函数系 

       1 cos x sin x cos 2x sin 2x    cos nx sin nx   

    三角函数系的正交性 三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在区间[ ]上的积分等于零 即

               (n1 2   ) 

               (n1 2   ) 

               (k n1 2   ) 

               (k n1 2    kn) 

               (k n1 2    kn) 

三角函数系中任何两个相同的函数的乘积在区间[]上的积分不等于零 即

               (n 1 2   ) 

               (n 1 2   ) 

    二、函数展开成傅里叶级数

    问题 设f(x)是周期为2的周期函数 且能展开成三角级数 

那么系数a0 a1 b1    与函数f(x)之间存在着怎样的关系? 

假定三角级数可逐项积分 则

类似地 

    傅里叶系数 

         (n 1 2   ) 

         (n 1 2   ) 

系数a0 a1 b1    叫做函数f(x)的傅里叶系数 

    傅里叶级数 三角级数

称为傅里叶级数 其中a0 a1 b1   是傅里叶系数 

    问题 一个定义在( )上周期为2的函数f(x) 如果它在一个周期上可积 则一定可以作出f(x)的傅里叶级数 然而 函数f(x)的傅里叶级数是否一定收敛? 如果它收敛 它是否一定收敛于函数f(x)? 一般来说 这两个问题的答案都不是肯定的 

    定理(收敛定理 狄利克雷充分条件)  设f(x)是周期为2的周期函数 如果它满足 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 在一个周期内至多只有有限个极值点 则f(x)的傅里叶级数收敛 并且

    当x是f(x)的连续点时 级数收敛于f(x) 

    当x是f(x)的间断点时 级数收敛于 

    例1 设f(x)是周期为2的周期函数 它在[ )上的表达式为

将f(x)展开成傅里叶级数 

    解 所给函数满足收敛定理的条件 它在点xk (k0 1 2    )处不连续 在其它点处连续 从而由收敛定理知道f(x)的傅里叶级数收敛 并且当xk时收敛于

当xk时级数收敛于f(x) 

    傅里叶系数计算如下 

       (n 0 1 2   ) 

           [1(1)n ] 

于是f(x)的傅里叶级数展开式为

                                            (x x 0  2   ) 

    例2 设f(x)是周期为2的周期函数 它在[)上的表达式为

将f(x)展开成傅里叶级数.

    解 所给函数满足收敛定理的条件 它在点x(2k1) (k0 1 2    )处不连续 因此 f(x)的傅里叶级数在x(2k1) 处收敛于

在连续点x (x(2k1))处级数收敛于f(x) 

    傅里叶系数计算如下 

           (n 1 2   ) 

f(x)的傅里叶级数展开式为

             (x  x  3    )

    周期延拓 设f(x)只在[]上有定义 我们可以在[ )或( ]外补充函数f(x)的定义 使它拓广成周期为2的周期函数F(x) 在( )内 F(x)f(x).

    例3 将函数

展开成傅里叶级数 

    解 所给函数在区间[ ]上满足收敛定理的条件 并且拓广为周期函数时 它在每一点x处都连续 因此拓广的周期函数的傅里叶级数在[ ]上收敛于f(x) 

    傅里叶系数为 

         (n 1 2   ) 

于是f(x)的傅里叶级数展开式为

          (x) 

    三、正弦级数和余弦级数

    当f(x)为奇函数时 f(x)cos nx是奇函数 f(x)sin nx是偶函数 故傅里叶系数为

        an0 (n0 1 2   ) 

         (n1 2 3   ) 

因此奇数函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数

    当f(x)为偶函数时 f(x)cos nx是偶函数 f(x)sin nx是奇函数 故傅里叶系数为

         (n0 1 2 3   )

        bn0 (n1 2   ) 

因此偶数函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数

    例4 设f(x)是周期为2的周期函数 它在[ )上的表达式为f(x)x 将f(x)展开成傅里叶级数 

    解 首先 所给函数满足收敛定理的条件 它在点x(2k1)(k0 1 2   )不连续 因此f(x)的傅里叶级数在函数的连续点x(2k1)收敛于f(x) 在点x(2k1)(k0 1 2   )收敛于

    其次 若不计x(2k1)(k0 1 2   ) 则f(x)是周期为2的奇函数 于是

an0(n0 1 2   ) 而

           (n1 2 3   )  

f(x)的傅里叶级数展开式为

                                             (x  x 3     ) 

    例5 将周期函数展开成傅里叶级数 其中E是正的常数 

    解 所给函数满足收敛定理的条件 它在整个数轴上连续 因此u(t)的傅里叶级数处处收敛于u(t) 

    因为u(t)是周期为2的偶函数 所以bn0(n1 2   ) 而

            (n0 1 2   ) 

所以u(t)的傅里叶级数展开式为

         (t) 

    奇延拓与偶延拓 设函数f(x)定义在区间[0 ]上并且满足收敛定理的条件 我们在开区间( 0)内补充函数f(x)的定义 得到定义在( ]上的函数F(x) 使它在( )上成为奇函数(偶函数) 按这种方式拓广函数定义域的过程称为奇延拓(偶延拓) 在(0 ]上 有F(x)f(x) 

    例6 将函数f(x)x1(0x)分别展开成正弦级数和余弦级数 

    解  先求正弦级数 为此对函数f(x)进行奇延拓 

函数的正弦级数展开式为

         (0x) 

在端点x0及x处 级数的和显然为零 它不代表原来函数f(x)的值 

    再求余弦级数 为此对f(x)进行偶延拓 

函数的余弦级数展开式为

         (0x) 

§11 8 周期为2l的周期函数的傅里叶级数

   我们所讨论的周期函数都是以2为周期的 但是实际问题中所遇到的周期函数 它的周期不一定是2 怎样把周期为2l的周期函数f(x)展开成三角级数呢？ 

    问题 我们希望能把周期为2l的周期函数f(x)展开成三角级数 为此我们先把周期为2l的周期函数f(x)变换为周期为2的周期函数 

    令及 则F(t)是以2为周期的函数 

这是因为 

于是当F(t) 满足收敛定理的条件时 F(t)可展开成傅里叶级数 

其中

 (n0 1 2   )  (n1 2   ) 

从而有如下定理 

    定理 设周期为2l的周期函数f(x)满足收敛定理的条件 则它的傅里叶级数展开式为

其中系数an  bn 为

         (n0 1 2   ) 

         (n1 2   ) 

    当f(x)为奇函数时 

其中(n  1 2   ) 

    当f(x)为偶函数时 

其中(n  0 1 2   ) 

    例1 设f(x)是周期为4的周期函数 它在[2 2)上的表达式为

              (常数k0) 

将f(x)展开成傅里叶级数 

    解  这里l2 

         (n0) 

于是

(x x0 2 4     在x0 2 4    收敛于) 

    例2  将函数展开成正弦级数 

    解  对M(x)进行奇延拓 则

        an0(n0 1 2 3   ) 

对上式右边的第二项 令tlx 则

当n2 4 6   时 bn0 当n1 3 5   时 

于是得

         (0xl)