泛函分析习题

一名词解释：

1.范数与线性赋范空间

2.无处稠密子集与第一纲集

3.紧集与相对紧集

4.开映射

5.共轭算子

6. 内点、内部：

7. 线性算子、线性范函：

8. 自然嵌入算子

9. 共轭算子

10. 内积与内积空间：

11. 弱有界集：

12. 紧算子：

13. 凸集

14. 有界集

15. 距离

16. 可分

17. Cauchy列

18.自反空间

二、定理叙述

1、压缩映射原理

2. 共鸣定理

3.逆算子定理

4. 闭图像定理

5.实空间上的Hahn-Banach延拓定理

6、Baire纲定理

7、开映射定理

8、Riesz表现定理

三证明题：

1.若是度量空间，则也使成为度量空间。

证明： 

   显然有 （1），当且仅当。

           （2）

          （3）由，关于单调递增，得

故也是上的度量。

2， 设是内积空间，，则当时，，即内积关于两变元连续。

证明： 

已知，即。

故有 

即。

3.考虑上的非线性积分方程

其中是上的连续函数，满足

证明当足够小时，此方程存在唯一解。

证明：令

则T是的算子。并且

所以。

故当足够小时，T为到的压缩算子，由压缩映射原理，存在唯一的，使得，也即此方程存在唯一解

4.若函数族在紧集上等度连续并且点点收敛，则在A上一致收敛。

证明：由在紧集A上等度连续，有

令上式两端令得，。

因为为紧集，存在的有限网，对存在，s.t.

有     

故

此即在A上一致收敛。

5.设若是从的算子，计算若是从的算子再求。

解：（1）当是从的算子。

所以。

取，则

所以。

故有  

（2）当T是从的算子时

所以  

取，则。

又  

所以  

故有     

6.若是上的另一完备范数(原范数记为),并且当时必有, ,则与等价.

证明: 定义, 

因为与完备,显然是一一的到上的线性算子,故只须证明是连续算子.

由已知时,必有,.

,即一致收敛到.由收敛的唯一性知 .

所以为闭算子,又与完备, 由闭算子定理得,是连续算子.

7.若并且，则。

证，令

，。

则。由，知

，

即         

故有。

8．应用Höder不等式证明，若是上定义的非负可测函数，

，则  

.

证 令，

此题得证。

9.设，有界且满足阶Lipschitz条件

则是中的相对紧集。

   证，取，则有

故为等度连续函数。

又为有界，故由Arzela-Ascoli定理知是相对紧集。

四论述题：

1、证明完备，并叙述证明空间完备的一般步骤。

2、论述紧集、相对紧集、完全有界集、有界集的关系。

3、证明为上范数，并论述证明范数的一般步骤。