对数函数及其性质专题复习

一、对数函数的概念

一般地，函数叫做对数函数。其中。

注意：当时，在轴上方，底数越大，图象越靠近轴；当时，在轴下方，底数越大，图象越远离轴。

二、反函数

     (1)反函数的定义：设A，B分别为函数的定义域和值域，如果由函数解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作。由于习惯，我们将它改写成的形式。

     由定义可以看出，原函数的定义域恰好是其反函数的值域，原函数的值域恰好是其反函数的定义域。

（2）反函数的性质：

互为反函数的两个函数的图象关于直线对称；

若函数的图象上有一点，则必在其反函数的图象上；反之，若点在反函数的图象上，则必在原函数的图象上。

三、对数函数定义域和值域的求解：真数大于零、底数大于零且不等于1.

四、对数值大小的比较：

（1）如果同底，可直接利用单调性求解。如果底数为字母，那么要分类讨论。

（2）如果不同底，一种方法是化为同底的，另一种方法是寻找中间量。

（3）如果不同底同真数，可利用图象的高低与底数的大小的关系解决或利用换底公式化为同底的再进行比较。

（4）若底数、真数都不相同，则常借助中间量1,0，-1等进行比较。

考查点1：有关对数函数定义域的问题

一、求一般函数的定义域

1 求下列函数的定义域。

（1）；

（2）；

（3）。

二、求抽象函数的定义域

2（1）已知的定义域为，求函数的定义域；

（2）已知，求的定义域； 

（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域。

（4）．函数y＝＋的定义域是(　　)

A．(0，＋∞)                          B．(1，＋∞)

C．(0,1)                              D．{1}

三、已知函数的定义域求参数范围

3 已知函数。

（1）若的定义域为R，求实数的取值范围；

（2）若的值域为R，求实数的取值范围。

练：已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.

考查点2：有关对数函数的值域问题

4 （1）求的值域

（2）给出函数f(x)＝，则f(log23)＝(    )

A．－      B.

C.          D.

（3）已知集合A＝{y|y＝log2x，x>1}，B＝{y|y＝()x，x>1}，则A∪B＝(　)

A．{y|00}

C．∅           D．R

（4）设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上最大值与最小值之差为，则a＝_______.

（5）loga，则a的取值范围是（   ）

（A）（0，）（1，+）         

（B）（，+）

C  （）                       

（D）（0，）（，+）

(6) 若函数y＝log(a2－1)x在区间(0,1)内的函数值恒为正数，则a的取值范围是(　　)

A．|a|>1                             B．|a|>

C．|a|<                              D．1<|a|<

考查点3：有关对数函数单调性的问题

一、判断单调性

5 （1）求函数的值域和单调区间。

(2)下列函数中，在（0，2）上为增函数的是（ ）

（A）y=log(x+1)

（B）y=log2

（C）y=log2

（D）y=log(x2-4x+5)

(3)已知函数y=loga(2-ax)在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是（  ）

（A）（0，1）       （B）（1，2）     

（C）（0，2）       （D）[2，+)

(4)函数f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上是减函数，那么f(x)在(1，＋∞)上(    )

A．递增且无最大值                      B．递减且无最小值

C．递增且有最大值       D．递减且有最小值

(5) 函数f(x)＝log(3x2－ax＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围．

二、利用函数单调性比较大小

6 (1)已知，，，则的大小关系为    （       ）

A、    B、

C、    D、

(2)设a＝，b＝，c＝，则(　　)

A．a＜c＜b　　　B．b＜c＜a  

 C．a＜b＜c  D．b＜a＜c

(3)三个数60.7,0.76，log0.76的大小顺序是(　)

A．0.76C．log0.76<60.7<0.76                      D．log0.76<0.76<60.7

(4)方程2x＋x＝2，log2x＋x＝2,2x＝log2(－x)的根分别为a、b、c，则a、b、c的大小关系为________．

(5)设0①2x<2y  ②x③logx2logy

A．①②                              B．②③

C．①③                              D．②④

三、解有关对数的不等式

   7解不等式。

考查点四：对数函数图象的问题

8 (1)函数y＝log2|x|的大致图象是(　　)

(2)已知a>0且a≠1，则函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是(　　)

(3)  f(x)＝log2的图象关于原点对称，则实数a的值为________．

(4) 已知函数f(x)＝loga(x－k)的图象过点(4,0)，而且其反函数y＝f－1(x)的图象过点(1,7)，则f(x)是(　　)

A．增函数                              B．减函数

C．先增后减                          D．先减后增

(5)方程a－x＝logax(a>0且a≠1)的解的个数为____．

考查点5：有关对数函数的综合应用题

9(1)函数f(x)=lg()是         （奇、偶）函数。

(2)  设。

（1）试判断函数的单调性;

（2）若的反函数为，试证明有唯一解；

（3）解关于的不等式。