高一数学,函数的奇偶性,(教师版)讲解

1、兴趣导入（Topic-in）:

小明数学不好被父母转学到一间教会学校。半年后数学成绩全A。妈妈问：“是修女教得好？是教材好？是祷告？...”“都不是，”小明说，“进学校的第一天，我看见一个人被钉死在加号上面，我就知道...他们是玩真的。”

二、学前测试(Testing):

 1、判断下列函数的奇偶性

（1）。        （2）。 

  解：（1）、函数的定义域为R，   所以为奇函数

     （2）、函数的定义域为，定义域关于原点不对称，所以为非奇非偶函数 

3、知识讲解(Teaching)：

1函数奇偶性的几个性质：

（1）奇偶函数的定义域关于原点对称；

（2）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；

（3）是偶函数，是奇函数；

（4）,    ；  

（5）奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；

（6）根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。

（7）设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶

偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇．

2函数奇偶性证明的步骤：

（1）考察函数的定义域是否关于“0”对称；

（2）计算的解析式，并考察其与的解析式的关系  ；

(3)下结论        .

4、强化练习(Training)

例1、 已知，求f(2)。

评析：判断函数的奇偶性时先要判断的定义域是否关于原点对称，然后用定义来判断。

2. 

评析：挖掘f(x)隐含条件，构造奇函数g(x)，从整体着手，利用奇函数的性质解决问题.

．

例2：已知函数是定义域为的奇函数，求的值．

【解】

∵是定义域为的奇函数，∴对任意实数都成立，

把代入得     ，   ∴．    

例3. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时f(x)= ,求f(x)的解析式

例4．已知函数对一切，都有，

（1）求证：是奇函数；（2）若，用表示．

解：（1）显然的定义域是，它关于原点对称．在中，

令，得，令，得，∴，

∴，即， ∴是奇函数．

（2）由，及是奇函数，

得．

例5．设定义在［－2，2］上的偶函数f（x）在区间［0，2］上单调递减，若f（1－m）＜f（m），求实数m的取值范围．

答案： 

例6．已知函数f（x）满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2f（x）·f（y）（xR，yR），且f（0）≠0，

试证f（x）是偶函数．

证明：令x＝y＝0，有f（0）＋f（0）＝2f（0）·f（0），又f（0）≠0，∴可证f（0）＝1．令x＝0，

　　∴f（y）＋f（－y）＝2f（0）·f（y）f（－y）＝f（y），故f（x）为偶函数．

例7.已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3＋2x2—1，求f（x）在R上的表达式．

解析：本题主要是培养学生理解概念的能力．

　　f（x）＝x3＋2x2－1．因f（x）为奇函数，∴f（0）＝0．

　　当x＜0时，－x＞0，f（－x）＝（－x）3＋2（－x）2－1＝－x3＋2x2－1，

　　∴f（x）＝x3－2x2＋1．

　　因此， 

　　点评：本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力．

例8.f（x）是定义在（－∞，－5］［5，＋∞）上的奇函数，且f（x）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f（x）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．

解析：任取x1＜x2≤－5，则－x1＞－x2≥－5．

　　因f（x）在［5，＋∞］上单调递减，所以f（－x1）＜f（－x2）f（x1）＜－f（x2）f（x1）＞f（x2），即单调减函数．

　　点评：此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性，并及时转化．

例9.设函数y＝f（x）（xR且x≠0）对任意非零实数x1、x2满足f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2），

求证f（x）是偶函数．

解析：由x1，x2R且不为0的任意性，令x1＝x2＝1代入可证，

　　f（1）＝2f（1），∴f（1）＝0．

　　又令x1＝x2＝－1，

　　∴f［－1×（－1）］＝2f（1）＝0，

　　∴（－1）＝0．又令x1＝－1，x2＝x，

　　∴f（－x）＝f（－1）＋f（x）＝0＋f（x）＝f（x），即f（x）为偶函数．

点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如，x1＝x2＝1，x1＝x2＝－1或x1＝x2＝0等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可．

5、训练辅导(Tutor):

1．下列函数中是偶函数的为                                         （    D       ）

    A．f(x) = x2|x|（x∈（-1，1]）    B．f(x) = 

    C．f(x) = lg               D．f(x) = 

2．给出下列四个函数：①f(x)=1-x2；②f(x)= -3x+1；③f(x)=；④f(x)=．

    其中既是奇函数又是定义域上的减函数的函数个数是                （      B    ）

    A．0           B．1               C．2        D．3

3、已知函数是奇函数，则实数的值为    （  B ）

A．  B．1   C．   D． 

4、是定义域为R的奇函数，方程的解集为M，且M中有有限个元素，则M                                         （    C ）

A．可能是          B．中元素个数是偶数

C．中元素个数是奇数   D．中元素个数可以是偶数，也可以是奇数

5、已知y= f(x)是偶函数，且图像与x轴有四个交点，则方程f(x)=0的 所有实根之和是（     D    ）

A    4                B  3             C   2            D   0

6、对于定义域为R的偶函数，下列不等式恒成立的是                              （    B      ）

  A．f(x)+f(-x)＞0     B．f(x)-f(-x)＝0      C．f(x)f(-x)＞0             D．f(x)f(-x)≤0

7、函数f(x)的图象关于原点对称，且当x≥0时，f(x)=x2-2x，则当x∈R时，函数f(x)的表达式为                                                       （    ）

A．x(x-2)            B．x(|x|-2)       C．|x|(x-2)       D．|x| (|x|-2)

8. 给定四个函数；；；；其中是奇函数的个数是(B)

１个　　    ２个　    　  ３个　      　４个

9、函数y=-|x|     (    B      )

  A  是奇函数   B  是偶函数    C  既是奇函数又是偶函数  D  既不奇函数又不偶函数

10、如果奇函数f(x)在区间上是增函数且最小值为5 ，那么f(x)在区间上是（ B  ）

  A、增函数且最小值为-5       B增函数且最大值为-5

  C、减函数且最小值为-5       D减函数且最大值为-5

二、填空题

11、已知f(x)= ax4+bx2+2x-8，且f(-1)=10，则f(1)=           14 ．

12、若函数y=(x+1) (x-a)为偶函数，则a=__________________1

13．函数的奇偶性为________（填奇函数或偶函数）　．

14．若y＝（m－1）x2＋2mx＋3是偶函数，则m＝_________．

15．已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，若，则f（x）的解析式为_______．

16．已知函数f（x）为偶函数，且其图象与x轴有四个交点，则方程f（x）＝0的所有实根之和为________．

13．答案：奇函数

14．答案：0解析：因为函数y＝（m－1）x2＋2mx＋3为偶函数，

　　∴f（－x）＝f（x），即（m－1）（－x）2＋2m（－x）＋3＝（m—1）x2＋2mx＋3，整理，得m＝0．

15．解析：由f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，

　　可得，联立，∴．

答案：      

16．答案：0    

6、反思总结(Thinking)：

              堂堂清落地训练

 （5-10分钟的测试卷，坚持堂堂清，学习很爽心）

1．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）＝ax3＋bx2＋cx（　　）

　　A．奇函数　　　　B．偶函数　　　C．既奇又偶函数　　　　D．非奇非偶函数

2．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则（　　）　

　　A．，b＝0　　　　B．a＝－1，b＝0  　　C．a＝1，b＝0　　　　　D．a＝3，b＝0

3．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2－2x，则f（x）在R上的表达式是（　　）

　　　A．y＝x（x－2）　　　B．y ＝x（｜x｜－1）　C．y ＝｜x｜（x－2）　　D．y＝x（｜x｜－2）

4．已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8，且f（－2）＝10，那么f（2）等于（　　）

　　A．－26　　　　B．－18　　　　C．－10　　　　D．10

5．函数是（　　）

　　A．偶函数　　　B．奇函数　　　　C．非奇非偶函数　　　　D．既是奇函数又是偶函数

6．若，g（x）都是奇函数，在（0，＋∞）上有最大值5，

则f（x）在（－∞，0）上有（　　）

　　　　A．最小值－5　　　　B．最大值－5　　　C．最小值－1　　　　　　D．最大值－3

1．　解析：f（x）＝ax2＋bx＋c为偶函数，为奇函数，

　　∴g（x）＝ax3＋bx2＋cx＝f（x）·满足奇函数的条件．　　答案：A

　2．解析：由f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，得b＝0．

　　又定义域为［a－1，2a］，∴a－1＝2a，∴．故选A．

3．解析：由x≥0时，f（x）＝x2－2x，f（x）为奇函数，

　　∴当x＜0时，f（x）＝－f（－x）＝－（x2＋2x）＝－x2－2x＝x（－x－2）．

　　∴即f（x）＝x（|x|－2）

　　答案：D

4．解析：f（x）＋8＝x5＋ax3＋bx为奇函数，

　　f（－2）＋8＝18，∴f（2）＋8＝－18，∴f（2）＝－26．　　答案：A

5．解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f（－x）＋f（x）＝0．　　答案：B

6．解析：、g（x）为奇函数，∴为奇函数．

　　又f（x）在（0，＋∞）上有最大值5，　　∴f（x）－2有最大值3．

　　∴f（x）－2在（－∞，0）上有最小值－3，　∴f（x）在（－∞，0）上有最小值－1．　　答案：C