2018年高考数学总复习 函数的定义域与值域

考纲解读 会求―些简单函数的定义域和值域 

命题趋势探究 考查重点是求解函数的定义域和值域

知识点精讲

一、函数的定义域

求解函数的定义域应注意：

（1）分式的分母不为零；

（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：

（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；

（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；

（5）三角函数中的正切的定义域是且；

（6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；

（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再，从而得到实际问题函数的定义域.

二、函数的值域

求解函数值域主要有以下十种方法：

（1）观察法；（2）配方法；（3）图像法；（4）基本不等式法，（5）换元法；（6）分离常数法；（7）判别式法；（8）单调性法，（9）有界性法；（10）导数法.

需要指出的是，定义域或值域的结果必须写成区间或集合的形式. 

题型归纳及思路提示

题型13 函数定义域的求解

思路提示 

对求函数定义域问题的思路是：

（1）先列出使式子有意义的不等式或不等式组；

（2）解不等式组；（3）将解集写成集合或区间的形式. 

二、给出函数解析式求解定义域

例2.10 函数的定义域为（    ）．

A.(-4,-1)    B.(-4,1)    C.(-1,1)    D.(-1,1]

分析 本题考查对数、分式根式有关的函数定义域的求解

解析得，故选C

变式1 函数的定义域为（）

A.(0，1)    B[0，1）   C.(0，1]    D[0，1]

变式2求函数的定义域. 

三、抽象函数定义域

已知的定义域求的定义域，或已知的定义域求的定义域，或已知的定义域求的定义域.

解题时注意：（1）定义域是指自变量的取值范围；（2）在同一对应法则∫的作用下括号内式子的范围相同.

例2.11 （1）已知函数的定义域为（0，1）求的定义域

（2）已知函数的定义域为（2，4）求的定义域

（3）已知函数的定义域为（1，2）求的定义域.

分析 已知函数的定义域为D，求函数的定又域，只需;已知函数的定义域,求函数了的定义域，只需，即求的值域.

解析 （1）的定义域为（0，1），即0(2)的定义域为(2，4).即2（3）因为的定义域为（1，2）即1＜＜2，所以1＜＜4，故需1＜＋1＜4．所以0＜＜， 故的定义域为

评注 定义域是对自变量而言的，如的定义域为（1，2）指的是x的范围而非的范围.

变式1 已知函数的定义域是［0，1］，求的定义域．

变式2设，则的定义域为（）

A(-4,0)U(0，4)    B    C.    D 

三、实际问题中函数定义域的求解

例2.12 如图2-3所示，用长为1的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆形的框架，若半圆半径为x，求此框架围成的面积y与x的函数式y＝，并写出其定义域.

分析 在求实际问题函数的定义域时，应注意根据实际意义再，从而得到实际问题函数的定义城.

解析 由题意：于是，因此，化简即为

又根据实际应有,得，即所求函数的定义域为 

评注 求实际问题函数的定义域时，除考虑函数的解析式有意义外、还要考虑使实际问题有意义，如本题中要根据各种度量的存在性来确定函数的定义域

题型14函数定义域的应用

思路提示 对函数定义域的应用，是逆向思维问题，常常转化为恒成立问题求解，必要时对参数进行分类讨论.

例2.13若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为_____.

分析 函数的定义域为R,即≥0在R上恒成立，再利用指数函数的单调性求解

解析 由题意知≥0在R上恒成立,所以,即有恒成立,其等价于△=, 则实数的取值范围为[―1,0]

变式1 若函数的定义域是R，求则实数a的取值范围是（）

A.    B.    C.    D. 

变式2 函数的定义域是R,求a的取值范围.

变式3若函数的定义域为R，求实数a的取值范围.

题型15 函数值域的求解

思路提示 函数值域的求法主要有以下几种

 (1)观察法:根据最基本函数值域（如≥0,及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域.

（2）配方法：对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域.

（3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型.

（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等.

（5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形的值城，可通过换元将原函数转化为二次型函数.

（6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析.

（7）判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如，或的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围必须为实数集R）.

(8) 单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域.对于形如或的函数，当ac>0时可利用单调性法.

（9）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.因为常出现反解出y的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法.

 (10) 导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域.

一  观察法

例 2.14 求函数的值域.

分析   由观察法直接得到函数的值域.

解析   因为，所以函数的值域为.

变式1  函数的值域是            .

变式2  函数的值域是              .

 二  配方法

例 2.15  求函数的值域.

分析  对于根式中的二次函数，利用配方法求解.

解析  由，得.

.

变式1   求函数的值域.

变式2   求的值域.

变式3   设函数的定义域为D，若所有点构成一个正方形区域，则a的值为（     ）.

A   -2         B   -4        C   -8    D  不能确定

三     图像法（数形结合）  

例 2.16  求函数的值域.

分析   由函数表达式易联想到两点间距离公式，可将其转化为动点与两定点的距离之和.

解析   如图2-4所示，，所示动点P（x,1）到两定点A（-1,0）和B（1,0）的距离之和，作点B（1,0）关于直线y=1的对称点，连接

B¹A交y=1于点P¹（0,1）,此时AB¹的长即为PA与PB的长之和的最小值，点P¹（0,1）到A,B两点的距离之和为，故函数的值域为[,+∞﹚.

评注 本题中也可看着动点P（x,0）与两定点A¹(-1,1),B¹(1,1)的距离之和，同理利用数形结合思想，|PA¹|+|PB¹|，则|PA¹|+|PB¹|的最小值为.

变式1   求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.

变式2   函数的值域是（      ）.

A     B      C      D   

变式3  函数的值域是（      ）.

A          B     

C               D   

四  基本不等式法

例2.17 已知x>2,求函数的值域.

解析  令,则，

（当且仅当，即t=2,x=3时取等号）.故函数的值域为.

变式1  求函数的值域.

五、换元法（代数换元与三角换元）

【例2.18】求函数的值域.

解析  令，则，得.因为函数的对称轴，所以函数在区间上单调递增，所以值域为.故函数的值域为.

变式1：求函数的值域.

变式2：求函数的值域.

6、分离常数法

【例2.19】求的值域.

分析  本例中的函数是关于的齐次分式，故可以考虑使用分离常数法加以求解.

解析  由题意得，因为，所以.

，故值域为.

变式1：求函数的值域.

变式2：求函数的值域.

7、判别式法

【例2.20】求函数的值域.

解析  因为恒成立，所以函数的定义域为R.

原式可化为.整理得.若，即，即；若，因为，即有，所以，解得且.综上所述，函数的值域为.

变式1：已知函数的值域为，求的值.

变式2：已知函数的定义域为R，值域为，求的值.

8、单调性法

【例2.21】求函数的值域.

解析  由函数的定义域为，且函数在区间上单调递增.当时，，所以函数的值域为.

变式1：求函数的值域.

变式2：函数的值域是_______________.

变式3：求函数的值域.

变式4：求函数的值域.

9、有界性法

【例2.22】求函数的值域.

解析  解法一（有界性法）：由题意可得，即有，由，可知，故，可得，因此所求函数的值域为.

解法二（分离常数法）：，由，可知，故，因此函数的值域为.

变式1：已知函数，求函数的值域.

变式2：已知函数，若有，则的取值范围为（     ）

【例2.23】已知，求函数的值域.

解析  由，得，且，故.得或.又，，则.故.因此函数的值域为.

评注  本题也可以用数形结合思想求解，设，则的几何意义为点与点所确定直线的斜率，其中为单位圆在轴左侧部分.

变式1：已知，求函数的值域.

10、导数法

【例2.24】求函数的值域.

解析  由，得.由表看出，的最大值的最小值，故的值域为.

评注  对于三次函数以及复杂的函数求值域一般都用导数法求解，此类解法在第三章导数中有更为系统的介绍.

变式1：若函数在区间及上都是增函数，而在上是减函数，求此函数在上的值域.

最有效训练题5（限时45分钟）

1.已知，则下列函数中定义域和值域都可能是R的是（     ）

2.若函数的定义域为R，则实数的取值范围是（    ）

3.定义域为R是函数的值域为，则函数的值域是（      ）

4.函数的值域是（      ）

5.设函数，，则的值域是（     ）

6.对任意两实数，定义运算“*”如下：，函数的值域为（      ）

7.函数的定义域是________________.

8.函数的值域为________________.

9.若函数的值域为，则函数的值域是____________.

10.已知函数，定义域为，值域为，则的取值范围是_________________.

11.求下列函数的定义域.

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）；

（7）已知函数的定义域是，求的定义域；

（8）已知函数的定义域为，求的定义域.

12.求下列函数的值域.

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）；

（7）；

（8）.