高中解三角形教案：第一课时正弦定理

教学目标：

掌握正弦定理推导过程，会利用正弦定理证明简单三角形问题，会利用正弦定理求解简单斜三角形边角问题，能利用计算器进行运算；通过三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.

教学重点：

正弦定理证明及应用.

教学难点：

正弦定理的证明，正弦定理在解三角形时应用思路.

教学过程：

Ⅰ.课题导入

在初中，我们已经会解直角三角形.就是说，已会根据直角三角形中已知的边与角求出未知的边与角，而在直角三角形中，有如下的边角关系.

＝＝ 

那么，在任意三角形中，这一关系式是否成立呢?这也是我们这一节课将要研究的问题.

Ⅱ.讲授新课

对于＝＝这一关系的证明，我们一起来看下面的证法.

如图，在△ABC中，已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，作△ABC

的外接圆，O为圆心，连接BO并延长交圆于B′，设BB′＝2R.

则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以

得到：

∠BAB′＝90°，∠C＝∠B′

∴sinC＝sinB′＝          ∴＝2R

同理可得＝2R，＝2R

∴＝＝＝2R

这就是说，对于任意的三角形，上述关系式均成立.因此，我们得到下面的定理.

正弦定理  在一个三角形中，各边和它所对的正弦的比相等，即

＝＝

说明：上述证法采用了初中所学的平面几何知识，将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证，此证法在巩固平面几何知识的同时，易于被学生理解和接受，并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路，又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫.

接下来，我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出，定理反映的是三角形的边角关系，而在向量知识中，哪一处知识点体现边角关系呢?

向量的数量积的定义式：

a·b＝｜a｜｜b｜cosθ，其中θ为两向量的夹角.

但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系，这两者之间能否转化呢?

可以通过三角函数的诱导公式

sinθ＝cos(90°－θ)进行转化.

这一转化产生了新角90°－θ，这就为辅助向量j的添加提供了线索，为方便进一步的运算，辅助向量选取了单位向量j，而j垂直于三角形一边，且与一边夹角出现了90°－θ这一形式，这是作辅助向量j垂直于三角形一边的原因.

在向量方法证明过程中，构造向量是基础，并由向量的加法原则可得

＋＝.

而添加垂直于的单位向量j是关键，为了产生j与、、的数量积，而在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算，也就在情理之中了.

下面，大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程，并注意总结在证明过程中所用到的向量知识点.

说明：(1)在给予学生适当自学时间后，应强调学生注意两向量的夹角是以同起点为前提，以及两向量垂直的充要条件的运用.

(2)要求学生在巩固向量知识的同时，进一步体会向量知识的工具性作用.

向量法证明过程：

(1)△ABC为锐角三角形，过点A作单位向量j垂直于，

则j与的夹角为90°－A，j与的夹角为90°－C.

由向量的加法原则可得：＋＝

为了与图中有关角的三角函数建立联系，我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算，得到：j·(＋)＝j·

由分配律可得：j·＋j·＝j·

∴｜j｜｜｜cos90°＋｜j｜｜｜cos(90°－C)＝｜j｜｜｜cos(90°－A)

∴asinC＝csinA

∴＝

另外，过点C作与垂直的单位向量j，则j与的夹角为

90°＋C，j与的夹角为90°＋B，可得＝.

(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提，防止误解为j与的夹角为90°－C，j与的夹角为90°－B)

∴＝＝.

(2)△ABC为钝角三角形，不妨设A＞90°过点A作与垂直

的单位向量j，则j与的夹角为A－90°，j与的夹角

为90°－C.

由＋＝得：j·＋j·＝j·

即a·cos(90°－C)＝c·cos(A－90°)

∴asinC＝csinA

∴＝

另外，过点C作与垂直的单位向量j，则j与夹角为90°＋C，j与夹角为90°＋B，同理可得＝

∴＝＝

综上所述，正弦定理对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立.

在证明了正弦定理之后，我们来进一步学习正弦定理的应用.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形问题.

(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角.

这类问题由于两角已知，故第三角确定，三角形唯一，解唯一，相对容易.

(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.此类问题变化较多。

(1)A为锐角

(2)A为直角或钝角

接下来，我们通过例题评析来进一步体会与总结.

［例1］在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，求b(保留两个有效数字).

分析：如图，此题属于已知两角和其中一角求对边的问题，

直接应用正弦定理可求出边a，若求边b，则需通过三角形

内角和为180°，求出角B，再利用正弦定理求出边b.

解：∵B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°，

＝，

∴b＝＝≈19

评述：(1)此类问题结果为唯一解，学生较易掌握，如果已知两角和两角所夹的边，也是先利用内角和180°求出第三角，再利用正弦定理.

(2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器，但应注意如下约定：当计算器所示结果为准确数时，或者为不少于四个有效数字的近似数而需要保留四个有效数字时，一律使用等号；保留的有效数字不少于四个时，使用约等号.

［例2］在△ABC中，已知a＝20，b＝28，A＝40°，求B(精确到1°)和c(保留两个有效数字).

分析：此例题属于bsinA＜a＜b的情形，故有两解.这样在求解之后呢，可以无需作进一步的检验，使学生在运用正弦定理求边、角时，感到目的很明确，同时体会分析问题的重要性.

解：∵sinB＝＝＝0.99，

∴B1＝°，B2＝116°

当B1＝°时，C1＝180°－(B1＋A)

＝180°－(°＋40°)＝76°，

∴c1＝＝≈30.

当B2＝116°时，C2＝180°－(B2＋A)

＝180°－(116°＋40°)＝24°，

∴c2＝＝≈13.

评述：通过此例题可使学生明确，利用正弦定理所求角有两种可能，但是都不符合题意，可以通过分析获得，这就要求学生熟悉已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形.当然对于不符题意的解的取舍，也可通过三角形的有关性质来判断，对于这一点，我们通过下面的例题来体会.

［例3］在△ABC中，已知a＝60，b＝50，A＝38°，求B(精确到1°)和c(保留两个有效数字).

分析：此例题属于a≥b这一类情形，有一解，也可根据三角形内大角对大边，小角对小边这一性质来排除B为钝角的情形.

解：已知b＜a，所以B＜A，因此B也是锐角.

∵sinB＝＝＝0.5131，

∴B＝31°，

∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(38°＋31°)＝111°

∴c＝＝≈91.

评述：同样是已知两边和一边对角，但可能出现不同的结果，应强调学生注意解题的灵活性.对于例3，如果没有考虑到角B所受而求出角B的两个解，进而求出边c两解，也可利用三角形内两边之和大于第三边，两边之差小于第三边这一性质进而验证而达到排除不符题意的解.

［例4］在△ABC中，已知a＝28，b＝20，A＝120°，求B(精确到1°)和c(保留两个有效数字).

分析：此例题属于A为钝角且a＞b的情形，有一解.也可应用正弦定理求解角B后，利用三角形内角和为180°排除角B为钝角情形.

解：∵sinB＝＝＝0.6187

∴B1＝38°，B2＝142°(舍)

∴C＝180°－(A＋B)＝22°

∴c＝＝≈8.7

评述：(1)此题要求学生注意考虑问题的全面性.对于角B为钝角的排除也可以结合三角形小角对小边性质而得到.

(2)综合上述例题要求学生自我总结正弦定理的适用范围，已知两角一边或两边与其中一边的对角.

(3)对于已知两边夹角这一类型，将通过下一节所学习的余弦定理求解.

为巩固本节我们所学内容，接下来进行课堂练习.

Ⅲ.课堂练习

1.在△ABC中(结果保留两个有效数字).

(1)已知c＝，A＝45°，B＝60°，求b；

(2)已知b＝12，A＝30°，B＝120°，求a.

解：(1)∵C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋60°)＝75°

＝

∴b＝＝≈1.6

(2)∵＝

∴a＝＝≈6.9

评述：此题为正弦定理的直接应用，意在使学生熟悉正弦定理的内容，可以让数学成绩较弱的学生进行板演，以增强其自信心.

2.根据下列条件解三角形(角度精确到1°，边长精确到1)：

(1)b＝11，a＝20，B＝30°；

(2)a＝28，b＝20，A＝45°；

(3)c＝54，b＝39，C＝115°；

(4)a＝20，b＝28，A＝120°.

解：(1)∵＝

∴sinA＝＝＝0.9091

∴A1＝65°，A2＝115°

当A1＝65°时，C1＝180°－(B＋A1)＝180°－(30°＋65°)＝85°

∴c1＝＝≈22.

当A2＝115°时，C2＝180°－(B＋A2)＝180°－(30°＋115°)＝35°

∴c2＝＝≈13.

(2)∵sinB＝＝＝0.5051

∴B1＝30°，B2＝150°

由于A＋B2＝45°＋150°＞180°，故B2＝150°应舍去(或者由b＜a知B＜A，故B应为锐角)

∴C＝180°－(45°＋30°)＝105°

∴c＝＝≈38

(3)∵＝，∴sinB＝＝

∴B1＝41°，B2＝139°

由于b＜c故B＜C  ∴B2＝139°应舍去

∴B＝41°，A＝180°－(41°＋115°)＝24°

a＝＝≈24.

(4)∵sinB＝＝＝1.212＞1

∴本题无解

评述：此练习目的是使学生进一步熟悉正弦定理，同时加强解斜三角形的能力，既要考虑到已知角的正弦值求角的两种可能，又要结合题目的具体情况进行正确取舍.

Ⅳ.课时小结

通过本节学习，我们一起研究了正弦定理的证明方法，同时了解了向量的工具性作用，并且明确了利用正弦定理所能解决的两类有关三角形问题：已知两角一边；已知两边和其中一边的对角.

Ⅴ.课后作业

课本习题P11  1，2，3，4.