...学年湖南省高二年级上学期9月金太阳联考数学试卷+答案解析(附后...

1.命题“”的否定是

( )

A. ²

B.

C. ，

D.

2.已知集合( )

A. B. C. D.

3.若则z的虚部为( )

A. B. C. D.

4.已知向量，满足，则( )

A. 5

B.

C. 6

D. 13

5.在正四棱台中，且三棱锥的体积为1，则该正四棱台的体积为( )

A. 2

B. 3

C.

D.

6.若则( )

A. B.

C. D.

7.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知则( )

A. 5

B.

C.

D. 6

8

.直线l的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是( )

A. B.

C. D.

二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知直线下列选项正确的是( )

A. 若

B. 若

C. 直线l 恒过点

D. 若直线n 在x 轴上的截距为6，则直线n 的斜截式为10.如图，在菱形ABCD 中，

，将

沿直线BD 翻折成不在平面

ABCD 内，则

A.

B. 点 B 到直线PC 的距离为定值

C. 当PB 与CD 所成的角为

时，二面角

的余弦值为

D. 当PB 与平面BCD 所成的角最大时，三棱锥外接球的表面积为

11.

是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.某地8月1日到10日的

日均值单位：

分别为36，32，38，34，32，88，42，36，30，32，则关于这10天

中

日均值的说法正确的是( )

A. 众数为32

B. 第80百分位数是38

C. 平均数是40

D. 前4天的方差比后4天的方差小

12.已知甲盒中有五个相同的小球，标号为1，2，3，4，5，乙盒中有五个相同的小球，标号为3，4，5，6，

现从甲、乙两盒中分别随机抽取1个小球，记事件

“抽取的两个小球标号相同”，事件

“抽

取的两个小球标号之和为奇数”，事件“抽取的两个小球标号之和大于8”，则( )A. 事件A 与事件B 是互斥事件 B. 事件A 与事件B 是对立事件

C.

D.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若

为奇函数，则

__________.

14.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知则外接圆的面积为__________

15.已知空间中有三点，，则直线AB与CA 的夹角的余弦值为__________；点A到直线BC的距离为__________.

16.已知复数z满足，为z的共轭复数，则的最大值为__________.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.本小题10分

甲、乙、丙三人地破译一份密码，已知他们能破译该密码的概率分别是

求三人都成功破译该密码的概率；

求恰有一人成功破译该密码的概率；

求该密码被成功破译的概率.

18.本小题12分

为了解网民对某专辑的满意度，某机构从网络上随机选取了1000名网民进行问卷调查，并将问卷中的这1000人根据其满意度评分值百分制，满意度评分值均在内分成

组，制成如图所示的频率分布直方图.

求a的值，并求出满意度评分值的平均数和中位数同一组数据用该组区间的中点值为代表

用分层抽样的方法从满意度评分值在内的网民中抽出6人，再从这6人中随机抽取3人进行专访，求抽到的3人满意度评分值均在内的概率.

19.本小题12分

在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，

求

若的面积为15，求

20.本小题12分已知的顶点，边AB上的中线所在直线方程为，边AC上的高所在直线方程为

求顶点B，C的坐标;

求的面积.

21.本小题12分

已知函数

求在上的值域；

已知关于x的方程在内有两个不同的解，求

22.本小题12分

如图，在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，₁，E为棱上一点，F为的中点.

若 E 为棱的中点，证明：

若三棱锥的体积为求平面与平面夹角的余弦值.答案和解析

1.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考存在量词的命题的否定，属于基础题．

根据存在量词命题的否定是全称量词命题进行判断即可．

【解答】

解：“，”的否定是“，”.故选

2.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查二次不等式的解法和交集运算，属于基础题.

化简A，再由交集的定义即可求解.

【解答】

解：因为，

所以

3.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了复数的运算、虚部的定义，属于基础题．

利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．

【解答】

解：因为，

所以z的虚部为

故选

4.【答案】A

【解析】【分析】本题考查了向量数量积的运算，涉及向量模，属于基础题．

解题时只需根据向量模的定义，进行解答即可，由，两式分别平方，再相减，即得答案．

【解答】

解：向量，满足，

①，

②；

①-②得：，

故选：

5.【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查的是棱台的结构特征，棱锥的体积，棱台的体积，属于中档题.

利用棱台与棱锥间的关系求解即可.

【解答】

解：设四棱台的上、下两底面的面积分别为，高为h，

因为，所以，因为，所以，则，

因为，

所以

6.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查利用对数函数的图象与性质比较大小，属于基础题.

先通过对数运算法则可得，，再结合对数函数的性质可得答案【解答】

解：，，

因为，所以

7.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查利用余弦定理解三角形，属于基础题.

直接利用余弦定理得出关系式求解即可.

【解答】

解：因为，且，，

所以，

整理得，解得

故选

8.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了直线方程的求法及正切的二倍角公式，属中档题.

设直线l的倾斜角为，由二倍角公式得出，设直线l的方程为，再得出直线l与坐标

轴的交点，由三角形面积得出t，可得结果.

【解答】

解：设直线l的倾斜角为，则

因为，所以或舍去

设直线l的方程为，则直线l与坐标轴的交点分别为，

由，得，

故直线l的方程可能是

9.【答案】AC

【解析】【分析】本题考查直线的平行、垂直求参数以及直线恒过定点和直线的斜截式方程，属于基础题.

根据直线的相关知识一一判断即可.

【解答】解：若，则，解得或，经检验，均符合，故A正确;

若，则，解得或，故B不正确;

由得，则得所以l恒过点，故C正确;

若直线n在x轴上的截距为6，则，得，所以直线n的方程为，

斜截式为，故D不正确.

10.【答案】AD

【解析】【分析】

本题考查了直线与直线垂直、点线距离、二面角、球的切接问题和球的表面积，是中档题.

根据直线与直线垂直、点线距离、二面角、球的切接问题和球的表面积逐一判定即可.

【解答】

解：连接AC交BD于点O，连接PO，则，

因为，且PO，OC均在平面POC内，所以平面

因为平面POC，所以，故A正确.

在中，PC为变量，所以点B到直线PC的距离不为定值，故B错误.

连接PA，因为，所以PB与CD所成的角为，

当时当时，点P与点C重合，舍去，

易知二面角的平面角为，

在中，由余弦定理得

因为二面角的平面角为，

所以二面角的余弦值为，故C错误.

因为PB与平面BCD所成的角最大，即点P到平面BCD的距离最大，

所以平面平面

如图，设M为三棱锥外接球的球心，N为外接圆的圆心，连接MN，

设外接球的半径为R，易知，所以，

所以三棱锥外接球的表面积为，故D正确.

11.【答案】ACD

【解析】【分析】

本题考查了百分位数、平均数、众数和方差，是中档题.

根据百分位数、平均数、众数和方差概念和计算方式逐一判定即可.

【解答】

解：这10天日均值单位：从小到大为30，32，32，32，34，36，36，38，42，88，所以众数为32，故A正确;

因为第80百分位数为，所以B错误;

因为平均数为，所以C正确;

因为前4天的均值为，所以前4天的方差为，

因为后4天的均值为，所以后4天的方差为，故D正确. 12.【答案】AC

【解析】【分析】

本题考查了互斥事件、对立事件和事件的并、交运算，属于中档题.

由两球编号写出事件A，B所含有的基本事件，同时得出所有的基本事件，然后根据互斥事件、对立事件的定义判断AB，求出、的概率判断

【解答】

解：事件A的所有基本事件为甲3乙3，甲4乙4，甲5乙5，共3个;

事件B的所有基本事件为甲1乙4，甲1乙6，甲2乙3，甲2乙5，甲2乙7，甲3乙4，甲3乙6，甲4乙3，甲4乙5，甲4乙7，甲5乙4，甲5乙6，共12个;

事件C的所有基本事件为甲2乙7，甲3乙6，甲3乙7，甲4乙5，甲4乙6，甲4乙7，甲5乙4，甲5乙5，甲5乙6，甲5乙7，共10个.

从甲、乙两盒中各取1个小球共有25个基本事件.

因为事件A与事件B不可能同时发生，所以事件A与事件B互斥，故A正确;

因为甲2乙4这个事件不在事件A中，也不在事件B中，

所以A，B和事件不是全体，所以B错误;

因为事件的所有基本事件共有12个，

所以，所以，故C正确;

因为事件的所有基本事件共有6个，事件A的所有基本事件共有3个，

所以，所以，故D错误.

13.【答案】0

【解析】【分析】

考查利用函数的奇偶性求参，涉及对数函数的性质，属于基础题．

根据为偶函数即可求得

【解答】

解：因为为奇函数，所以依题意可得为偶函数，则为偶函数，所以

答案为

14.【答案】

【解析】【分析】

本题考查正弦定理的应用，同角三角函数的基本关系式，考查计算能力，属于基础题.

由题意求出，利用正弦定理直接求出的外接圆的半径，利用圆的面积公式即可得解．

【解答】

解：因为，所以

设外接圆的半径为R，因为，

所以，

所以外接圆的面积为

15.【答案】；

【解析】【分析】

本题考查利用空间向量求直线的夹角以及点到直线的距离，属于中档题.

求出，先求向量的夹角的余弦值，即可得出直线AB与CA 的夹角的余弦值；求出，通过计算，得出，代入，即可得出点A到直线BC的距离.

【解答】

解：因为，所以，

所以直线AB与CA的夹角的余弦值为因为，

所以，因为，所以点A到直

线BC的距离为，

16.【答案】18

【解析】【分析】

本题主要考查复数的乘法，共轭复数，属于基础题．

根据已知条件，结合复数的几何意义，结合共轭复数的定义，即可求解．

【解答】

解：设，

则的几何意义为z在复平面内所对应的点到的距离为，

所以z所对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，

而可看作该圆上的点到原点的距离的平方，

所以

故答案为：

17.【答案】解：设事件“甲破译该密码”，“乙破译该密码”，“丙破译该密码”，

则“甲没破译该密码”，“乙没破译该密码”，“丙没破译该密码”.

因为三人破译密码相互，所以A与，B与，C与都相互.

因为“三人都成功破译该密码”，所以

因为“恰有一人成功破译该密码”即，

所以

因为事件“该密码被成功破译”的对立事件是“没人成功破译该密码”，

所以事件“该密码被成功破译”的概率为

【解析】本题主要考查相互事件以及对立事件的概率，属于中档题.

设事件“甲破译该密码”，“乙破译该密码”，“丙破译该密码”，则“甲没破

译该密码”，“乙没破译该密码”，“丙没破译该密码”.因为三人破译密码相互，所

以A与，B与，C与都相互.

因为“三人都成功破译该密码”，事件的乘法公式计算可得答案；

因为“恰有一人成功破译该密码”，由互斥事件的概率加法公式以及相互事件的概率乘法公式计算可得；

因为事件“该密码被成功破译”的对立事件是“没人成功破译该密码”，再由对立事件的概率公式计算可得答案.

18.【答案】解：由，解得，

满意度评分值的平均数，

设满意度评分值的中位数为x，则，解得，

即满意度评分值的中位数为75；

这1000名网民中，满意度评分值在内的有人，

满意度评分值在内的有人，

抽取的6人中满意度评分值在内的有2人，记这2人分别为A，B，

满意度评分值在内的有4人，记这4人分别为a，b，c，d，

从6人中抽取中随机抽取3人的情况为，，，

，，，，，

，，，共20种，

其中3人满意度评分值均在内的情况为，，共4种，

所以抽到的3人满意度评分值均在内的概率为

【解析】本题考查了频率分布直方图、平均数、中位数和古典概型及其计算，是中档题.

由频率和为1可得a，由平均数公式得出；易得设满意度评分值的中位数为x，则则

，解出即可；

易得抽取的6人中满意度评分值在内的有2人，满意度评分值在内的有4人，再编号，列举基本事件和所求事件，由古典概型公式可得结果.

19.【答案】解：因为，

所以，

又因为是锐角，是正数，

所以，

故

因为，所以

因为的面积为15，所以，所以

因为，且，

所以，

故

【解析】本题考查同角间的三角函数关系，倍角公式，余弦定理，三角形面积公式等知识，属于一般题.

先根据倍角公式求得，再根据即可求解；

根据余弦定理以及三角形面积公式即可求解.

20.【答案】解：设，

因为边AB上的中线所在直线方程为，边AC上的高所在直线方程为，

所以解得即B的坐标为

设，

因为边AB上的中线所在直线方程为，边AC上的高所在直线方程为，所以解得即C的坐标为

因为，所以

因为边AB所在直线的方程为，即，

所以点到边AB的距离为，即边AB上的高为，

故的面积为

【解析】本题考查了直线方程的应用问题，也考查了三角形面积计算问题，是中档题．根据边AB上的中线所在直线方程为，边AC上的高所在直线方程为，联立求点B，C的坐标；

求出顶点C到直线AB的距离，线段的长，即可得出的面积．

21.【答案】解：

，

因为，所以，

所以，故

因为，

所以，

其中，

因为关于x的方程在内有两个不同的解，

所以，

因为，

所以，所以，

所以，

故

【解析】本题考查了求正弦型函数的值域或最值以及三角恒等变换的综合应用，是中档题.

由三角恒等变换得，再由三角函数性质可得在上的值域；

易得，则，再由三角恒等变换可得结果.

22.

【答案】证明：连接AC，，

在中，E，F分别为，的中点，

所以EF为的中位线，所以

因为平面ABCD，平面ABCD，所以

因为ABCD为菱形，所以

因为，且，AC均在平面内，

所以平面

因为平面，所以，所以

解：在菱形ABCD中，所以

如图，以D为坐标原点，以，的方向分别为y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，设，

设平面的法向量为，

则

令，得

在中，，可得

点E到平面的距离

因为三棱锥的体积为，

所以，

所以设平面的法向量为，

则

令，得，

所以，

所以平面与平面夹角的余弦值为

【解析】本题考查了线面垂直的判定、线面垂直的性质和平面与平面所成角的向量求法，是中档题.

先证明平面，由线面垂直的性质即可得证；

建立空间直角坐标系，得出平面的法向量和平面的法向量，由空间向量求解即可.