2019年高考文科数学全国卷1含答案

2019年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学（全国Ⅰ卷）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。 1．设，则= 3i

12i

z -=+z

A ．2

B

C

D ．1

2．已知集合，则

{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，A ．

B ．

C ．

D ．

{}1,6{}1,7{}6,7{}1,6,73．已知，则

0.2

0.3

2log 0.2,2,0.2a b c ===A ．a b c <<

B ．a c b <<

C ．c a b <<

D ．b c a <<

4

，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人

分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是

A ．165 cm

B ．175 cm

C ．185 cm

D ．190 cm

5．函数f (x )=

在[-π，π]的图像大致为 2

sin cos x x

x x

++A ．

B ．

C ．

D ．

6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生

C ．616号学生

D ．815号学生

7．tan255°= A ．-2

B ．-

C ．2

D ．

8．已知非零向量a ，b 满足=2，且（a -b ）b ，则a 与b 的夹角为 a b ⊥A ．

B ．

C ．

D ．

π6

π3

2π3

5π6

9．如图是求

的程序框图，图中空白框中应填入

112122

+

+

A ．A =

B ．A =

C ．A =

D ．A = 1

2A

+12A

+

1

12A

+112A

+

10．双曲线C ：的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为

22

221(0,0)x y a b a b

-=>>A ．2sin40°

B ．2cos40°

C ．

D ．

1

sin50︒

1

cos50︒

11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A -b sin B =4c sin C ，cos A =-，

14

则

=

b c

A ．6

B ．5

C ．4

D ．3

12．已知椭圆C 的焦点为，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若

12(1,0),(1,0)F F -，则C 的方程为

22||2||AF F B =1||||AB BF =A ．

B ．

C ．

2212

x y +=22132x y +=22

143

x y +=

D ．

22

154

x y +=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线在点处的切线方程为___________． 2)3(e x y x x =+(0,0)14．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若，则S 4=___________． 133

14

a S ==，15．函数的最小值为___________． 3π

()sin(23cos 2

f x x x =+

-16．已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离

，那么P 到平面ABC 的距离为___________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60分。 17．（12分）

某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客

30

20

（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；

（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？

附：．

22

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++P （K 2≥k ）

0.050 0.010 0.001 k

3.841

6.635

10.828

18．（12分）

记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=-a 5． （1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；

（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 19．（12分）

如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点.

（1）证明：MN ∥平面C 1DE ； （2）求点C 到平面C 1DE 的距离． 20．（12分）

已知函数f （x ）=2sin x -x cos x -x ，f ′（x ）为f （x ）的导数． （1）证明：f ′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围． 21.（12分）

已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │ =4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切． （1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径；

（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │-│MP │为定值？并说明理由． （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点O

2

2

21141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩

，为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l

的极坐标方程为

2cos sin 110ρθθ++=．

（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．

23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）

已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1）

； 222111

a b c a b c

++≤++（2）． 333()()()24a b b c c a +++≥++

2019年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学·参

一、选择题 1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．C 7．D

8．B

9．A

10．D

11．A

12．B

二、填空题

13．y =3x 14．

15．−4

16

58

三、解答题 17．解：

（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为

，因此男顾客对该商400.850=场服务满意的概率的估计值为0.8． 女顾客中对该商场服务满意的比率为

，因此女顾客对该商场服务满意的概率300.650

=的估计值为0.6． （2）． 2

2

100(40203010) 4.76250507030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯由于，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.

4.762 3.841>18．解：

（1）设的公差为d ．

{}n a 由得．

95S a =-140a d +=由a 3=4得．

124a d +=于是．

18,2a d ==-因此的通项公式为．

{}n a 102n a n =-（2）由（1）得，故. 14a d =-(9)(5),2n n n n d a n d S -=-=

由知，故等价于，解得1≤n ≤10．

10a >0d {|110,}n n n ∈N ……19．解：

（1）连结.因为M ，E 分别为的中点，所以，且1,B C ME 1,BB BC 1ME B C ∥.又因为N 为的中点，所以. 112ME B C =1A D 112

ND A D =由题设知，可得，故，因此四边形MNDE 为平行四11=A B DC ∥11=B C A D ∥=ME ND ∥边形，.又平面，所以MN ∥平面.

MN ED ∥MN ⊄1C DE 1C DE （2）过C 作C 1E 的垂线，垂足为H .

由已知可得，所以DE ⊥平面，故DE ⊥CH.

DE BC ⊥1DE C C ⊥1C CE 从而CH ⊥平面，故CH 的长即为C 到平面的距离，

1C DE 1C DE

由已知可得CE =1，C 1C =4，所以，故. 1C E =CH =

从而点C 到平面. 1C DE

20．解：

（1）设，则.

()()g x f x '=()cos sin 1,()cos g x x x x g x x x '=+-=当时，；当时，所以在单调递π

(0,2x ∈()0g x '>π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

()0g x '<()g x π(0,)2增，在单调递减. π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭

又，故在存在唯一零点. π(0)0,0,(π)22g g g ⎛⎫=>=-

⎪⎝⎭()g x (0,π)所以在存在唯一零点.

()f x '(0,π)（2）由题设知，可得a ≤0.

(π)π,(π)0f a f =…由（1）知，在只有一个零点，设为，且当时，；()f x '(0,π)0x ()00,x x ∈()0f x '>当时，所以在单调递增，在单调递减. ()0,πx x ∈()0f x '<()f x ()00,x ()0,πx 又，所以，当时，.

(0)0,(π)0f f ==[0,π]x ∈()0f x …

又当时，ax ≤0，故.

0,[0,π]a x ∈…()f x ax …因此，a 的取值范围是.

(,0]-∞21．解：（1）因为过点，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线M ,A B +=0

x y 上，且关于坐标原点O 对称，所以M 在直线上，故可设. ,A B y x =(, )M a a 因为与直线x +2=0相切，所以的半径为.

M M |2|r a =+由已知得，又，故可得，解得或.

||=2AO MO AO ⊥ 2224(2)a a +=+=0a =4a 故的半径或.

M =2r =6r （2）存在定点，使得为定值.

(1,0)P ||||MA MP -理由如下：

设，由已知得的半径为.

(, )M x y M =|+2|,||=2r x AO 由于，故可得，化简得M 的轨迹方程为. MO AO ⊥ 2224(2)x y x ++=+24y x =因为曲线是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，所以2:4C y x =(1,0)P 1x =-.

||=+1MP x 因为，所以存在满足条件的定点P .

||||=||=+2(+1)=1MA MP r MP x x ---22．解：（1）因为，且，所以C 的直角221111t t --<≤+()2

2222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+坐标方程为. 2

2

1(1)4y x x +=≠-的直角坐标方程为.

l 2110x ++=（2）由（1）可设C 的参数方程为（为参数，）. cos ,2sin x y αα

=⎧⎨=⎩αππα-<l =当时，取得最小值7，故C 上的点到

. 2π3α=-π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝

⎭l

23．解：（1）因为，又，故有

2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥1abc =.

222111

ab bc ca

a b c ab bc ca abc a b c ++++≥++==++所以.

2221

1

1

a b c a b c ++≤++（2）因为为正数且，故有

, , a b c 1abc =

333()()()a b b c c a +++++≥

=3(+)(+)(+)a b b c a c

3≥⨯⨯⨯=24.

所以.

333()()()24a b b c c a +++++≥