中考专题-正多边形与圆

【重点、难点、考点】

重点：正多边形及正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念与计算；圆周长弧长、扇形及弓形的面积公式及有关的计算；正多边形与圆的关系及正多边形的性质．

难点：将较复杂的图形分割成扇形、弓形、三角形等基本图形进行计算是难点．

考点：将不能直接用公式计算的图形，转化成能用公式计算的图形，是近几年中考所考查的知识点，这部分知识的考查约占总考量的2％左右．

【经典范例引路】

例1  已知一个正三角形与一个正六边形的周长相等，求它们的面积的比值．

解  设正三角形边长为a，则其周长为C1＝3a，面积S1＝a2，又设正六边形边长为b，则周长为C2＝6b．面积S2=b2，由C1=C2，知,a=2b,∴S1∶S2=a2∶b2=b2∶b2=,故它们的面积的比值为2∶3。

【解题技巧点拨】

本题必须抓住“周长相等”这一重要信息，找出两种图形的内在联系，然后利用三角形的面积公式计算。

例2  已知：如图在△RtABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，分别以各边为直径在AB同侧作半圆，求阴影部分的面积．

解：在Rt△ABC中，∵AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝5。

则图中阴影部分的面积为S阴=π×()2+π×()2+×3×4-π×()2=+2π+6-=6

故图中阴影部分的面积为S阴=6个（平方单位）．

【解题技巧点拨】

本题必须经过认真细致的观察，发现以AC、BC、AB为直径的三个半圆的面积，以及Rt△ABC的面积之间的内在联系，然后利用圆的面积公式，三角形的面积公式进行计算．

【综合能力训练】

一、填空题

1．（2001年长沙市中考题）扇形的圆心角为90°，半径为2cm，扇形的面积为       cm2.

2．（2001年北京市东城区中考题）如图，⊙O的半径为1，圆周角∠ABC＝3O°，则图中阴影部分的面积是                ．（结果用π表示）

3.我国国旗上五角星的每一个锐角是                     。

4.一个正n边形的中心角是它的一个内角的，则n＝                。

5.在⊙O中，弦AB是内接正三角形的一边，弦AC是内接正六边形的一边，则∠BAC＝                    。

6．半径为5，孤长等于圆周长的扇形面积            。

7．母线长为3cm，底面半径为1cm的圆柱侧面展开图的面积为              cm2。（2001年福州市中考题）

8．（2001年四川省中考题）用一个半径为30cm，圆心角为120°的扇形纸片做成一个圆锥模型的侧面（不计接缝），那么这个圆锥底面的半径是            cm.

二、选择题

9.（2001年天津市中考题）已知正三角形的边长为a，其内切圆的半径为r，外接圆的半径为R,则r∶a∶R等于（    ）

A．1∶2∶2        B．1∶∶2        C.1∶2∶            D.1∶∶2

10.（2001年山西省中考题）如果正多边形的一个内角是144°，则这个多边形是（    ）

A．正十边形            B．正九边形            C．正八边形            D．正七边形

11.（2001年河北省中考题）有一边长为4的正n边形，它的一个内角为120°，则其外接圆的半径为（    ）

A．4                B．4                    C．2                D.2

12.（2001年河南省中考题）下列命题中的真命题是（    ）

A．正三角形的内切圆半径和外接圆半径之比为2∶1

B．正六边形的边长等于其外接圆的半径

C．圆外切正方形的边长等于其边心距的倍

D．各边相等的圆外切多边形是正方形

13.（2001年福州市中考题）某校计划在校园内修建一座周长为12米的花坛，同学们设计出正三角形、正方形和圆共三种图案，其中使花坛面积最大的图案是（    ）

A．正三角形            B．正方形            C．圆            D．不能确定

14.（2001年南京市中考题）1994年版人民币一角硬币正面图案中有一个正九边形，如果这个正九边形的半径是R，那么它的边长是（    ）

A．Rsin20°            B．Rsin40°            C．2Rsin20°        D．2Rsin40°

15.将一个边长为a的正方形硬纸板剪去四角，使它成为正八边形，则正八边形的面积为（    ）

A．（2-2）a2        B．a2            C．a2        D．(3-2)a2

16.如图两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相切于点P，大圆的弦CD经过点P，且CD＝13，PD＝4，则两圆组成圆环的面积是（    ）

A．16π                B．36π            C．52π            D．81π

三、解答下列各题：

17.（2001年辽宁省中考题）已知：如图P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，AB是⊙O的直径，PB交⊙O于C，PA＝2cm，PC＝1cm，求图中阴影部分的面积S.

18．如图，把三个半径均为15cm的圆筒捆在一起，要用多长的绳子才能绕它们一圈？

19．如图，已知B是AC上一点，分别以AB、BC、AC为直径在AC同侧作半圆，过B作BD⊥AC，与半圆交于D，如果BD＝6，求图中阴影部分的面积．

20．（2001年泉州市中考题）如图，⊙O的内接正五边形AB CDE的对角线AD与BE相交于点M，（1）请你仔细观察图形，并直接写出图中的所有等腰三角形；（2）求证：BM2＝BE· ME；（3）设 BE、 ME的长是关于 x的一元二次方程x2-2x+k＝0的两个根，试求k的值，并求出正五边形ABCDE的边长．

【创新思维训练】

21．已知，如图⊙O和⊙O′相交于A、B，弦AC、AD分别与⊙O′，⊙O相切于点A，∠CAB＝45°，∠BAD＝30°，⊙O′的半径为 6cm.

求：（1）公共弦AB的长及-的值；（2）求图中阴影部分的面积。

22.如图，表示广场中心的圆形花坛的平面图，准备在圆形花坛内种植六种不同颜色的花，为了美观，要使同色花卉集中在一起，并且各花卉的种植面积相等，请你帮助设计一种种植方案作在圆上（保留痕迹，不写作法）．

23．某单位的办公室由四种正多边形的小木板铺成，设这四种正多边形的边数分别为 x、y、z、w。试求：+++的值．

参

【综合能力训练】

一、1. π  2. -  3.36°  4.12  5.30°或90°  6.5π  7.6π  8.10cm

二、9.A  10.A  11.B  12.B  13.C  14.C  15.A  16.B

三、17.( -)cm2  18.(90+3π)cm  19.9π  20.（1）（略）  （2）（略）  （3）k=4,边长为2

21.（1）6cm,   （2）(27+27)cm2  22.（略）  23.1