1992年全国初中数学竞赛试题及答案(修正版)

第一试

一、选择题

本题共有8个题，每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的，请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内

1. 满足 |a－b|＋ab＝1的非负整数（a，b）的个数是（     ）  

(A) 1            (B) 2            (C) 3            (D) 4

2.  若x0是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根，则判别式δ＝b2－4ac与平方式M＝(2ax0＋b)2的关系是（     ）

(A) δ＞M        (B) δ＝M         (C) δ＜M       (D) 不确定

3. 若x2－13x＋1＝0，则x4＋x-4的个位数字是（     ）

(A) 1           (B) 3             (C) 5           (D) 7

4. 在半径为1的圆中有一内接多边形，若它的边长皆大于1且小于，则这个多边形的边数必为（     ）

(A) 7            (B) 6           (C) 5            (D) 4

5. 如图，正比例函数y＝x和y＝ax（a＞0）的

图像与反比例函数y＝（k＞0）的图像分别相交

于A点和C点，若Rt△AOB和△COD的面积

分别为S1和S2，则S1与S2的关系是（     ）

(A) S1＞S2       (B) S1＝S2     

(C) S1＜S2       (D)不确定         

6. 在一个由8×8个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆，若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S1，把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S2，则的整数部分是（     ）

(A) 0            (B) 1            (C) 2            (D) 3

7. 如图,在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AB＝2CD，∠A＝60°，又E是底边AB上一点，且FE＝FB＝AC，FA＝AB，则AE:EB等于（     ）

(A) 1:2         (B) 1:3          (C) 2:5         (D) 3:10

8. 设x1，x2，x3，…… x9均为正整数，且x1＜x2＜x3＜……＜x9, x1＋x2＋x3＋……＋x9＝220则当x1＋x2＋x3＋x4＋x5的值最大时，x9－x1的最小值是（     ）

(A) 8            (B) 9            (C) 10            (D) 11

二、填空题

1. 若一等腰三角形的底边上的高等于18cm，腰上的中线等15cm，则这个等腰三角形的面积等于________________

2. 若x≠0，则的最大值是__________.

3. 在△ABC中，∠C＝90°，∠A和∠B的平分线相交于P点，又PE⊥AB于E点，若BC＝2，AC＝3，则AE •EB＝                .

4. 若a，b都是正实数，且，则            .

第二试

一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程x2－6x＋a＝0的两根，当这样的三角形只有一个时，求a的取值范围.

二、如图，在△ABC中，AB＝AC，D底边BC上一点，E是线段AD上一点，且∠BED＝2∠CED＝∠A

求证：BD＝2CD

三、某个信封上的两个邮政编码M和N均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：

A：320651            B：105263

C：612305            D：316250

已知编码A、B、C、D各恰有两个数字的位置与M和N相同，D恰有三个数字的位置与M和N相同

试求：M和N

1992全国初中数合竞赛试卷答案

第一试

    一．选择题

1.(C)

由 (1,0)(0,1).

又由(1,1).

∴共有3对.

2.(B)

设是方程的根,则.

所以

              .

3.(D)

由知.所以,.

,从而的个位数字为9－2＝7.

4.(C)

若满足条件的多边形的边数大于或等于6,则至少有一边所对的圆心角不大于60°.由余弦定理知该边长必不大于1;同理,若存在满足条件的四边形,则它至少有一边长不小于.

5.(B)

设A点的坐标为(),C点的坐标为(),

则.

∴.

6.(B)

据正方形的对称性,只需考虑它的部分即可.记圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和为，圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和为，则

，.

∴    .

故的整数部分是1.

7.(B)

设,则,易证, ,

.

∵△ABF ∽△FBE

∴＝   ，BE＝＝

于是AE＝，所以AE∶EB＝1∶3

8.（B）

（1）先证x1＋x2＋x3＋x4＋x5≤110，则x5≥25

从而x6≥26，x7≥27，x8≥28，x9≥29，于是x1＋x2＋x3＋……＋x9＞220与假设矛盾.

（2）若取x1＝20，x2＝21，x3＝22，x4＝23，x5＝24，则x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝110.所以x1＋x2＋x3＋x4＋x5当取得最大值时，x1最大的值是20

（3）若取x6＝26，x7＝27，x8＝28，x9＝29，则＝110. 所以x1＋x2＋x3＋x4＋x5当取得最大值时，x9最小的值是29

因此x9－x1的最小值是29－20＝9

∴  FG是等腰三角形BFD顶角平分线，因而也是底边BD上的中线．即BG＝GD．所以 BD＝2BG＝2DC．

三、对于编码M，考虑编码A中恰有两个数位上的数字与M中相应数位上的数字相同．设这两位是x1，x2数位．由于B、C中该两数位上的数字均与A在这两数位上的数字不同，因此B，C中这两数位上的数字必与M中这两数位上的数字不同，于是B中与 M中数字相同的数位必异于x1，x2．不妨设为x3，x4；同理C中与 M中数字相同的数位只能是异于x1，x2，x3，x4的x5，x6两位．关于 N也有类似的结论．这就是说，在每个数位上，A，B，C分别在该数位上的数字中，必有一个与M在该数位上的数字相同；同样地，也必有一个与N在该数位上的数字相同．

由此知，D中的6，0两数字必不是M，N在相应数位上的数字．于是D的3，1，2，5中只有一个数字与M在相应数位上的数字不同；与Ⅳ相比较也有类似的结果．

    (A)若3不对，则有610253，013256；

    (B)若1不对，则有360251，301256；

    (C)若2不对，则有312056，310652；

(D)若5不对，则有310265，315206．

    经检验知：该信封上编码M，N或者同为610253，或者同为310265．或者一个是610253，另一个是310265．