数学建模教案

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案 

 通过具体建模案例的教学，使学生掌握数学建模的基本思想、基本方法、基本类型；学会进行科学研究的一般过程，并能进入一个实际操作的状态；通过数学模型有关的概念与特征的学习和数学模型应用实例的介绍，培养学生双向翻译能力、数学推导计算和简化分析能力、熟练运用计算机能力；培养学生联想、洞察能力、综合分析能力、协作能力和科技论文写作能力；培养学生应用数学解决实际问题的能力。

教学内容：

1．课程介绍、说明总体教学进度的安排以及实践教学的设想;

    2．参考书见ppt;

3．课程介绍：

1.1．从现实对象到数学模型

　　  1.2．数学建模的重要意义

教学重点和难点: 

数学模型、数学建模过程等。

作业和讨论要求：

1.每位同学准备两本作业本,轮流交,每周第一节课各收、发一次作业,作业全批全改。

     2.每三人为一组（随机分组），根据教师布置的问题，小组首先讨论，形成小组的数学模型，其次，各小组在班上报告和讨论，最后，根据讨论的情况后定稿。

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方

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 通过具体建模案例的教学，使学生掌握数学建模的基本思想、基本方法、基本类型；培养学生联想、洞察能力、综合分析能力、协作能力和科技论文写作能力，激发学生的学习积极性，培养学生应用数学解决实际问题的能力。

教学内容：

1.3. 建模示例之一；椅子能在不平的地面上放稳吗；

1.4. 建模示例之二：商人们怎样安全过河；

1.5. 建模示例之三：如何预报人口的增长；

1.6. 数学建模的基本方法和步骤；

1.7. 数学模型的特点和分类；

1.8. 数学建模能力的培养.

教学重点和难点: 

数学建模基本思想和基本方法。

教学过程：

1.引导学生分析问题的背景，抓住问题的主要矛盾.

2.让学生明白数学建模的过程是从简单到复杂多次循环的过程，认真分析人口的增长问题，使学生体会建模过程.

3.想像力、洞察力和判断力的培养是数学建模的主要任务之一，从课程就应该抓紧. 可用以下例子：

A.人人都能做到:   哥伦布与鸡蛋

B.对称性-----

                    分析思维与综合思维的对比: 一杯咖啡与一杯牛奶

C.杀鸡用牛刀:  到河里饮水

D.思维并无:    漏洞原理

E.小洞不补,大洞吃苦:      睡莲问题

F.错误的感觉---再快一点就能如愿以偿:   高速问题

G.有限和无限     

讨论题：

     交通路口红绿灯：十字路口绿灯亮15秒，最多可以通过多少辆汽车？

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掌握初等数学方法建模的基本思路和建模技巧，能用初等数学方法建立一些比较简单问题的数学模型。

教学内容：

2.2．录像机计数器的用途

　　 2.3．双层玻璃窗的功效

     2.5．赛艇比赛的成绩

     2.7．实物交换

教学重点和难点: 

如何用初等数学来刻画实际问题。

教学过程：

1. 重点分析“录像机计数器的用途”和“赛艇比赛的成绩”这两个实际问题。

2．录像机计数器的用途是一个实际问题，通过观察，让学生了解它的工作原理，在合理的假设下，建立计数器与录像带转过时间的数学模型，并且包含了参数估计（强调数据的收集）、模型检验和应用。

3．赛艇比赛的成绩，着重引导学生学会用比例法建模，这个模型建立在在一些不太精细的假设的基础上，但对我们的建模目的来说已经足够了。

4．“双层玻璃窗的功效”和“实物交换”教师引导学生把问题分析清楚，让学生在一定假设下建立模型。

教

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记

理解静态优化问题的建模思路，掌握静态优化的方法，能把一些比较简单的静态优化问题转化为数学模型，并求解。

教学内容：

3.1．存储问题

　　 3.2．生猪的出售时机

　　 3.3．森林救火

     3.4．最优价格

教学重点和难点: 

如何把静态优化问题转化为数学模型，并求解。

教学过程：

优化问题可以说是人们在生活中经常遇到的一类问题，这一章我们介绍较简单的优化模型，归结为微积分中的函数极值问题，可以直接用微分法求解。

用数学建模方法来解决一个优化问题的时候，首先要确定优化的目标是什么，寻求的决策是什么，决策受到哪些因素的影响，然后用数学工具（变量、常数、函数）表示它们。所以在讲授时，必需把问题分析清楚。

1. 重点分析“存储问题”和“森林救火问题”。

2．存储管理在现代企业管理中占有重要地位，研究较深入，这里仅仅介绍比较简单的存储模型。首先引导学生对存储问题有一个基本的认识，此问题的目标应为贮存费，然后分析清楚贮存费的主要因素有哪些，如何度量它们，最后在一定的需求下建立模型，并进行敏感性分析。

3．森林救火是一个具有现实意义问题，此问题的目标很容易得到，即，损失费和救援费，而影响因素稍复杂，但都与速度有关，因此，应引导学生用微元法来建模。

4．“生猪的出售时机”和“最优价格”教师引导学生把问题分析清楚，让学生在一定假设下建立模型。

讨论题：

航天飞机的水箱：考虑航天飞机上固定在飞机墙上供宇航员使用的水箱。水箱的形状为在直圆锥顶上装一个球体。如果球体的半径限定为正好6米，水箱的表面积为450平方米，请你为宇航员设计水箱，使它的容积最大。

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掌握线性规划的基本概念

教学内容：

1．数学规划的概念

　　 2．线性规划以及有关概念

教学重点和难点: 

线性规划模型以及基解。

教学过程：

线性规划模型是解决实际问题的常用方法之一，这一节主要介绍线性规划的最基本的概念，对于算法只作简单介绍。

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方

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1．掌握建立线性规划模型的最基本建模技巧

2．掌握用Lindo6.1软件求解线性规划模型的方法，并能根据求解报告正确解答线性规划问题的灵敏度分析问题。

教学内容：

4.1．奶制品的生产与销售

教学重点和难点: 

模型建立以及结果分析。

教学过程：

1．问题分析：确定优化问题的目标――利润，决策变量――两种奶制.

2．寻找约束条件：原料供应、劳动时间、设备能力和非负约束.

3．建立模型并用图解法和LINDO软件求解.

4．引导学生分析软件输出的结果并给出相应经济意义. 

5．扩充问题.

注：  讲授时注重线性模型的三要素：目标函数、决策变量和约束条件.

讨论题：

某家具公司制造书桌、餐桌和椅子，所用的资源有三种：木料、木工和漆工。生产数据如下表所示：

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1．掌握建立运输问题模型的最基本建模技巧

2．掌握用Lindo6.1软件求解线性规划模型的方法，并能根据求解报告正确解答线性规划问题的灵敏度分析问题。

教学内容：

4.2．自来水输送与货机装运

教学重点和难点: 

模型建立以及结果分析。

教学过程：

     自来水输送：

1．问题分析：确定优化问题的目标――利润，决策变量――12个.

2．寻找约束条件：供应量和需求量、设备能力和非负约束.

3．建立模型并用图解法和LINDO软件求解.

4．引导学生分析软件输出的结果并给出相应经济意义. 

货机装运：与上例同理，只需注意是：重量和空间，且有

装载均匀要求，讲授时把它看成是运输问题的一种变形和扩张.

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1．掌握建立整数规划模型的最基本建模技巧

2．初步掌握用0－1变量建立模型的基本技巧

2．了解Lingo8.0软件的基本功能，能用该软件求解简单的非线性规划问题。

教学内容：

4.3. 汽车生产与原油有采购

　　 4.4. 接力队的选拔与选课策略

教学重点和难点: 

模型求解方法以及0—1变量的使用。

教学过程：

1．问题分析：确定优化问题的目标，决策变量，寻找约束条件.

2．建立模型,认真分析模型并和前面的模型进行比较.

3．在充分分析的基础上，引导学生使用0－1变量. 

4．这一节，应注重模型求解的教学.

5．简单介绍多目标规划的处理方法.

讨论题：

露天矿生产的车辆安排（CMCM2003B）

钢铁工业是国家工业的基础之一，铁矿是钢铁工业的主要原料基地。许多现代化铁矿是露天开采的，它的生产主要是由电动铲车（以下简称电铲）装车、电动轮自卸卡车（以下简称卡车）运输来完成。提高这些大型设备的利用率是增加露天矿经济效益的首要任务。

露天矿里有若干个爆破生成的石料堆，每堆称为一个铲位，每个铲位已预先根据铁含量将石料分成矿石和岩石。一般来说，平均铁含量不低于25%的为矿石，否则为岩石。每个铲位的矿石、岩石数量，以及矿石的平均铁含量（称为品位）都是已知的。每个铲位至多能安置一台电铲，电铲的平均装车时间为5分钟。

卸货地点（以下简称卸点）有卸矿石的矿石漏、2个铁路倒装场（以下简称倒装场）和卸岩石的岩石漏、岩场等，每个卸点都有各自的产量要求。从保护国家资源的角度及矿山的经济效益考虑，应该尽量把矿石按矿石卸点需要的铁含量（假设要求都为29.5%1%，称为品位）搭配起来送到卸点，搭配的量在一个班次（8小时）内满足品位即可。从长远看，卸点可以移动，但一个班次内不变。卡车的平均卸车时间为3分钟。

所用卡车载重量为154吨，平均时速28。卡车的耗油量很大，每个班次每台车消耗近1吨柴油。发动机点火时需要消耗相当多的电瓶能量，故一个班次中只在开始工作时点火一次。卡车在等待时所耗费的能量也是相当可观的，原则上在安排时不应发生卡车等待的情况。电铲和卸点都不能同时为两辆及两辆以上卡车服务。卡车每次都是满载运输。

每个铲位到每个卸点的道路都是专用的宽60的双向车道，不会出现堵车现象，每段道路的里程都是已知的。

一个班次的生产计划应该包含以下内容：出动几台电铲，分别在哪些铲位上；出动几辆卡车，分别在哪些路线上各运输多少次（因为随机因素影响，装卸时间与运输时间都不精确，所以排时计划无效，只求出各条路线上的卡车数及安排即可）。一个合格的计划要在卡车不等待条件下满足产量和质量（品位）要求，而一个好的计划还应该考虑下面两条原则之一： 

1.总运量（吨公里）最小，同时出动最少的卡车，从而运输成本最小；

2.利用现有车辆运输，获得最大的产量（岩石产量优先；在产量相同的情况下，取总运量最小的解）。

请你就两条原则分别建立数学模型，并给出一个班次生产计划的快速算法。针对下面的实例，给出具体的生产计划、相应的总运量及岩石和矿石产量。

某露天矿有铲位10个，卸点5个，现有铲车7台，卡车20辆。各卸点一个班次的产量要求：矿石漏1.2万吨、倒装场Ⅰ1.3万吨、倒装场Ⅱ1.3万吨、岩石漏1.9万吨、岩场1.3万吨。

铲位和卸点位置二维示意图如下，各铲位和各卸点之间的距离（公里）如下表：

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熟练掌握微分方程建模的基本思路和技巧，掌握模型检验和改进的基本方法，能够把比较简单的动态问题转化为微分方程模型。

教学内容：

     5.0. 微分方程模型

5.1. 传染病模型

教学重点和难点: 

微分方程模型基本思想和传染病模型。

教学过程：

1．微分方程的基本思想和方法.

2．微分(导数)的在各领域的实际意义.

3．运用从简单到复杂的原则，分类建立模型.

4．分析模型的解,提出进一步研究的问题.

5．Matlab的使用方法. 

6．定性与定量的分析方法.

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熟练掌握微分方程建模的基本思路和技巧，掌握模型检验和改进的基本方法，能够把比较简单的动态问题转化为微分方程模型。

教学内容：

 5.3、正规战与游击战

　　 5.4、药物在体内的分布与排除

教学重点和难点: 

离散问题的连续化，房室模型.

教学过程：

1.把战争问题分为正规战争、游击战争和混合战争分别建立微分方程模

型，并用定量和定性的方法得出结果.

     2．把药物在体内不断地被吸收、分布、代谢，最终排出体外手成房室问题，用房室模型来解决药物在体内的分布与排除问题.

注：很多离散问题可用微分方程模型来近似描述，并能得到系统的运行规律。

药物在体内的分布与排除的模型建立过程是将机理分析和测试分析相结合，先由机理分析确定方程形式，再由测试数据估计参数，讲授中应充分体现这一思想方法.

讨论题:

饮酒驾车(CMCM2004C)

据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。

针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫克／百毫升）。

大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？

请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题：

1. 对大李碰到的情况做出解释；

2. 在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答：

1）酒是在很短时间内喝的；

2）酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。

3. 怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。

4. 根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？

    5. 根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。

参考数据

1. 人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。

2. 体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克／百毫升），得到数据如下：

时间(小时)

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掌握微分方程稳定性分析的方法，能解释稳定分析的结果，能用微分方程稳定性方法解决一些比较简单的实际问题。

教学内容：

      6.0. 微分方程稳定性的概念

 6.1. 捕鱼业的持续收获

教学重点和难点: 

稳定性的概念，建立模型.

教学过程：

     动态过程的变化规律一般用微分方程建立的动态模型来描述，对于某些实际问题，建模的主要目的并不是要寻求动态过程每一个瞬间的性态，而是研究某种意义下稳定状态的特征。所以我们这一章来介绍稳定性模型。

1．微分方程稳定性的基本概念和微分方程稳定性理论的结果。

2．可持续发展是世界各国都在关心的问题，我们用捕鱼业的持续收获来

阐述这一问题的建模思想。

3．问题分析：在捕捞情况下，使其长期的收益最大。即要建立在捕捞条

件下鱼场鱼量遵从的方程，分析鱼量稳定的条件，并且在稳定的前提下讨论如何控制捕捞使持续产量或经济效益达到最大。

     4．模型建立：关键是建立产量模型和效益模型。

     5．用稳定性理论分析这一问题，提出指导性意见。

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掌握微分方程稳定性分析的方法，能解释稳定分析的结果，能用微分方程稳定性方法解决一些比较简单的实际问题。

教学内容：

    6.3．种群的相互竞争

    6.5．食饵－捕食者模型

教学重点和难点: 

建立模型和模型求解.

教学过程：

     动态过程的变化规律一般用微分方程建立的动态模型来描述，对于某些实际问题，建模的主要目的并不是要寻求动态过程每一个瞬间的性态，而是研究某种意义下稳定状态的特征。所以我们这一章来介绍稳定性模型。

1．种群的相互竞争是生态学中的最基本的问题，研究种群发展非常有意

义。在建立模型是应紧紧抓住种群的数量可用Logistic模型来描述，而后引入竞争因素就可得到微分方程模型。

2．稳定性分析（强调相轨线分析）、计算与验证、结果解释。

3．食饵－捕食者模型建立较简单，讲授时主要分析：数值解、平衡点及

相轨线、模型解释.

     4.  种群问题不仅对生态学有重要意义，与微分方程定性理论有着密切联系，目前，还有许多学者在关注它。

讨论题：最优捕鱼问题

为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度。一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。 

考虑对某种鱼（鲳鱼）的最优捕捞策略： 假设这种鱼分4个年龄组：称1龄鱼，……，4龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07,11.55,17.86,22.99（克）；各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（1/年）；这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109×105(个）；3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月；卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵总是n之比）为1.22×10^11/(1.22×10^11+n). 渔业管理部门规定，每年只允许在产卵卵化期前的8个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比。比例系数不妨称捕捞强度系数。通常使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:1。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。 

1）建立数学模型分析如何可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）。

2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求鱼群的生产能力不能受到太大的破坏。已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为：122,29.7,10.1,3.29(×10^9条），如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司采取怎样的策略才能使总收获量最高。

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掌握用差分方程建立模型的基本技巧，能够把微分方程模型转化为差分方程模型，能够用差分方程方法建立一些比较简单问题的数学模型。

教学内容：

7.1、市场经济中的蛛网模型

教学重点和难点: 

差分方程模型的基本思想和模型的建立.

教学过程：

    1. 在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的模型也是离散的。有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，往往需要求数值解。这就需要将变量在一定条件下进行离散化，从而将连续型转化为离散型，因此，最后都归结为求解离散型的差分方程的解。

2. 差分方程的基本思想和基本理论。

3. 蛛网模型的建立，把供需变化过程表示成的图形，给学生一个直观认识，然后引导学生写出解析表达式，即，蛛网模型。

4．结果分析和模型推广。

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掌握用差分方程建立模型的基本技巧，能够把微分方程模型转化为差分方程模型，能够用差分方程方法建立一些比较简单问题的数学模型。

教学内容：

7.4、按年龄分组的种群增长模型

教学重点和难点: 

模型建立和求解.

教学过程：

1. 分析前面的种群模型存在的不足，得出为什么要考虑按年龄分组。

2．除了按年龄分组外，应关注繁殖的最大特征――雌性.

3. 建立方程，求解，结果分析.

讨论题：最优捕鱼问题

为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度。一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。 

考虑对某种鱼（鲳鱼）的最优捕捞策略： 假设这种鱼分4个年龄组：称1龄鱼，……，4龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07,11.55,17.86,22.99（克）；各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（1/年）；这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109×105(个）；3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月；卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵总是n之比）为1.22×10^11/(1.22×10^11+n). 渔业管理部门规定，每年只允许在产卵卵化期前的8个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比。比例系数不妨称捕捞强度系数。通常使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:1。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。 

1）建立数学模型分析如何可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）。

2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求鱼群的生产能力不能受到太大的破坏。已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为：122,29.7,10.1,3.29(×10^9条），如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司采取怎样的策略才能使总收获量最高。

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掌握层次分析法的基本理论、算法和一般建模步骤，能比较熟练地运用层次分析法解决多属性评价问题

教学内容：

8.1、层次分析模型

教学重点和难点: 

层次分析模型的基本思想和基本步骤，淮则层的确定.

教学过程：

    1.离散模型包括的范围很广，除了差分方程模型外，用整数规划、图论、对策论、网络流等数学工具都可建立离散模型。本章仅介绍层次分析法，其它留给学生自学。

2.层次分析法是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的方法。它是将半定性。半定量问题转化为定量问题的行之有效的一种方法。它在计算、制定计划、资源分配、排序、分析、军事管理、冲突求解及决策预报等领域都有广泛应用。

3.层次分析的一般方法：层次分析法解决问题的基本思想与人们对多层次、当因素、复杂的决策问题的思维过程基本一致，最突出的特点是分层比较，综合优化。其基本步骤如下： 

  (1)分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构，一般层次结构分为三层，第一层为目标层，第二层为准则层，第三层为方案层;

  (2)构造两两比较矩阵（判断矩阵），对于同一层次的各因素关于上一层中某一准则（目标）的重要性进行两两比较，得到两两比较的判断矩阵；

 （3）由比较矩阵计算被比较因素对每一准则的相对样重，并进行判断矩阵的一致性检验；

 （4）计算方案层对目标层的组合一致检验,并进行排序.

4.以例子的方法介绍它的基本思想和基本步骤.

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理解用概率方法建立模型的基本思路和技巧，能够建立一些比较简单问题的概率模型。

教学内容：

9.1．传送带的效率

　　 9.2．报童的诀窍

     9.3．随机存储策略

     9.4．轧钢中的浪费

教学重点和难点: 

建立概率模型的基本思想和基本步骤，随机思想的培养.

教学过程：

    在社会、生产、科研和生活中，许多问题的不确定现象都是由随机因素的影响所造成的，而随机因素的变化往往都会服从于一定的概率分布。在实际中，就是利用这些概率分布对问题进行研究，从而可以对所研究的实际问题做出估计、判断。预测和决策。

1. 传送带的效率 引导学生讨论系统的传送效率如何衡量，传送效率――一周内带走的产品数与全部产品数之比。而带走的产品数是随机的，所以，这是一个随机问题。

2．报童的诀窍 引导学生分析此问题与需求有关，而需求是随机的。另，在求解时，把此问题化为连续问题会非常方便，应给予重视。

3．随机存储策略  回忆存储模型，分析它与某些实际问题的差异，提出问题，建立模型，求解并分析结果即可。

4．轧钢中的浪费 这是经常遇到的实际，常规建模即可，但需引导学生上下功夫。   

讨论题：锁具装箱

某厂生产一种弹子锁具, 每个锁具的钥匙有 5 个槽, 每个槽的高度从 {1,2,3,4, 5,6} 6 个数 (单位略) 中任取一数. 由于工艺及其它原因, 制造锁具时对 5 个槽的高度还有两个: 至少有 3 个不同的数; 相邻两槽高度之差不能为 5. 满足以上条件制造出来的所有互不相同的锁具称为一批.  出来的所有互不相同的锁具称为一批. 

 从顾客的利益出发, 自然希望在每批锁具中"一把钥匙开一把锁". 但是在当前工艺条件下, 对于同一批中两个锁具是否能够互开, 有以下试验结果: 若二者相对应的 5个 槽的高度中有 4个相同, 另一个的高度差为 1, 则可能互开; 在其它情形下, 不可能互开.原来, 销售部门在一批锁具中随意地取每 60个装一箱出售. 团体顾客往往购买几箱到几十箱, 他们抱怨购得的锁

具会出现互相开的情形. 现聘聘请你为顾问, 回答并解决以下问题:

 1）每一批锁具有多少个, 装多少箱.

     2） 为销售部门提供一种方案, 包括如何装箱(仍是60个锁具一箱),如何给箱子以标志, 出售时如何利用这些标志, 使团体顾客不再或减少抱怨.

3) 采取你提出的方案, 团体顾客的购买量不超过多少箱, 就可以保证一定不会出现互开.  

4) 按照原来的装箱办法, 如何定量地衡量团体顾客抱怨互开的程度 (试对购买一、二 箱者给出具体结果).

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通过教学，使学生掌握马尔可夫链的基本知识，掌握建立马氏链模型的基本方法，能用马氏链模型解决一些简单的实际问题。

教学内容：

11.1．健康与疾病

教学重点和难点: 

建立马氏链模型的基本思想和基本步骤。

教学过程：

马尔可夫链模型是以数学家A.A.Markov命名的一种动态随机数学模型，它通过分析随机变量现时的运动情况来预测这些变量未来的运动情况. 马尔可夫链模型在自然科学、工程技术、社会科学、经济研究等领域都有着广泛的应用.

1.马尔可夫链模型简介，重点讲清楚转移概率和性质，正则链和吸收链；

2.健康与疾病 把人的状态在一定时间内抽象成只有两种状态――健康和

疾病，就可把问题转化为用马尔可夫链模型来研究。结合此例把有关概念和理论讲清楚.

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方

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通过教学，使学生掌握马尔可夫链的基本知识，掌握建立马氏链模型的基本方法，能用马氏链模型解决一些简单的实际问题。

教学内容：

11.2．钢琴销售的存储策略

     11.3．基因遗传

教学重点和难点: 

建立马氏链模型的基本思想和基本步骤。

教学过程：

马尔可夫链模型是以数学家A.A.Markov命名的一种动态随机数学模型，它通过分析随机变量现时的运动情况来预测这些变量未来的运动情况. 马尔可夫链模型在自然科学、工程技术、社会科学、经济研究等领域都有着广泛的应用.

1．钢琴销售的存储策略  回忆存储模型，分析它与某些实际问题的差异，

提出问题，建立模型，求解并分析结果并与以前模型比较.

2．基因遗传 此问题是一个古老而现代的问题有重要意义. 这里给出的问

题是继续研究的基础。较详细的分析此例有利提高的应用能力.

讨论题：

为适应日益扩大的旅游事业的需要，某城市的甲、乙、丙三个照相馆组成一个联营部，联合经营出租相机的业务。游客可以由甲、乙、丙三处任何一处租出相机，用完后，还到三处中任何一处即可。估计其转移概率如下表所示：

相

机

处

乙

丙

0.8

0.1

0

0.3

0.2

0.6