债券到期收益率久期凸性公式

一、名词解释

在本文中，下列名词具有以下含义：

（一）零息债券：债券发行人在债券期限内不支付任何利息，至到期兑付日按债券面值进行偿付的债券。

（二）固定利率债券：债券发行人按固定票面利率定期支付利息的债券。

（三）浮动利率债券: 债券发行人根据一定规则调整票面利率,并依此利率定期支付利息的债券。

（四）到期一次还本付息债券：发行时规定票面利率、但是在到期兑付日前不支付利息，全部利息至到期兑付日和本金一同偿付的债券。

（五）日计数基准：债券市场中计算应计利息天数和付息区间天数时采用的基准，如“实际天数/实际天数”、“实际天数/365”、“30/360”等。

（六）理论付息日：对零息债券和到期一次还本付息债券，债券期限内每年与到期兑付日相同的日期。如零息债券A到期兑付日为2008年8月10日，则债券期限内每年的8月10日为债券A的理论付息日。

二、日计数基准

银行间债券市场（包括债券回购交易）日计数基准为“实际天数/实际天数”，即应计利息天数按实际天数计算（算头不算尾），一年按实际天计算。

注：1，银行间债券闰年的2.29日是计算利息的，之前的版本不算利息；对于交易所债券来说2.29还是不计算利息的

2，付息周期的实际天数是指下一个付息日与上一个付息日之间的实际天数，算头不算尾，含闰年的2月29日；计息年度是指发行公告中标明的第一个起息日至次一年度对应的同月同日的时间间隔为第一个计息年度，依此类推。

三、债券全价中内含应计利息的计算

    应计利息的计算需注意债券基础数据的准确。涉及到债券基本信息、债券利率、债券所处时点的前后付息日期几个关键的数据。

应计利息计算公式如下：

1．对固定利率债券和浮动利率债券，每百元面值的应计利息额为：

              （1）

其中：

:每百元面值债券的应计利息额；

：每百元面值年利息，对浮动利率债券，根据当前付息期的票面利率确定；

    ：起息日或上一付息日至结算日的实际天数。

: 年付息频率

：当前付息周期实际天数

2．对到期一次还本付息债券，每百元债券的应计利息额为：

          （2）

其中：

:每百元面值债券的应计利息；

：每百元面值年利息； 

:债券起息日至结算日的整年数；

    ：起息日或上一理论付息日至结算日的实际天数。

：当前计息年度的实际天数，算头不算尾

3．对零息债券，每百元债券的应计利息额为：

             （3）

其中：

：每百元面值债券的应计利息；

：债券发行价；

T：起息日至到期兑付日的实际天数；

：起息日至结算日的实际天数。

四、债券到期收益率及久期凸性的计算

首先要明确债券的到期收益率是年化的利率，而且是复利的概念。简单的说：到期收益率y是当前债券全价PV的函数y=f(PV)，计算到期收益率，就是在既定PV下求解y;久期则是PV关于y的一阶导数dPV/dy（修正久期和麦氏久期是在一阶导数上进行了一点修正）;凸性则是针对修正久期再次求导，PV关于y的二阶导数。

不同情况下的债券，对应的到期收益率计算公式不同，计算久期和凸性的公式也不同。下面是分别进行说明：

1．对处于最后付息周期的固定利率债券、待偿期在一年及以内的到期一次还本付息债券和零息债券，到期收益率按单利计算。计算公式为：

                   （4）                                                                   

其中：

：到期收益率；

：到期兑付日债券本息和，固定利率债券为+/，到期一次还本付息债券为+×,零息债券为；

：债券全价；

：债券结算日至到期兑付日的实际天数；

：债券面值；

：债券期限（年），即从起息日至到期兑付日的整年数；

：债券票面年利息； 

：年付息频率。

：当前计息年度的实际天数，算头不算尾

公式（4）可转换为：

计算久期和凸性的公式：

修正久期 

麦考利久期 

凸性   （修正久期再求导）

2．对待偿期在一年以上的到期一次还本付息债券和零息债券，到期收益率按复利计算。计算公式为：

                    （5）

其中：

：债券全价；

：到期兑付日债券本息和，到期一次还本付息债券为+×，零息债券为；

    ：到期收益率；

：结算日至下一最近理论付息日的实际天数；

：结算日至到期兑付日的整年数；

：债券面值；

：债券期限（年），即从起息日至到期兑付日的整年数；

：债券票面年利息。

：当前计息年度的实际天数，算头不算尾

到期收益率：

计算久期和凸性的公式：

修正久期 

麦考利久期 

凸性 

3．对不处于最后付息周期的固定利率债券，到期收益率按复利计算。计算公式为:

 (6)

其中：

：债券全价；

：票面年利息；

:年付息频率；

：到期收益率；

：债券结算日至下一最近付息日的实际天数；

    ：结算日至到期兑付日的债券付息次数；

：债券面值。

：当前付息周期的实际天数

对应公式（6），有如下参数定义：(i=1…..n)

现金流因子序列：i时间因子序列：

计算久期和凸性的公式：

修正久期 

麦考利久期 

凸性 

4．对于浮动利率债券的到期收益率，可参考公式（4）和（6）中固定利率债券算法，假定未来各期票面利率与当前付息期票面利率相同进行计算。