2013新课标全国2卷高考理科数学试题、解析与分析

数    学  (理科)

注意事项：

1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题。每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合，，则（     ）

（A）｛0,1，2｝  （B）｛－1,0，1,2｝（C）｛－1,0，2,3｝  （D）｛0,1，2,3｝

【答案】A

【解析】因为，,所以，选A.

2、设复数满足则＝（     ）

（A）         （B）            （C）        （D）

【答案】A

【解析】，所以选A.

3、等比数列的前项和为，已知，，则＝（　　）

（A）           （B）          （C）         （D）

【答案】C

4、已知，为异面直线，⊥平面，⊥平面，直线满足⊥，⊥， ，　，则（     ）

（A）  ∥且∥    　　　　　　（B）⊥且⊥      

（C）与相交，且交线垂直于     （D）与相交，且交线平行于

【答案】D

5、已知的展开式中的系数是5，则＝（　　）

（A） －4          （B）  －3        （C）－2         （D）－1

【答案】D

6、执行右面的程序框图，如果输入的，那么输出的（     ）

【答案】B

【解析】第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，，第四次循环，，依此类推，选B.

7、一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，，，，画该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，则得到正视图可以为（     ）

(A)                (B)                         (C)                 (D)

【答案】A

【解析】在空间直角坐标系中，先画出四面体的直观图，以zOx平面为投影面，则得到正视图(坐标系中红色部分),所以选A. 

8、设，，，则（     ）

（A）       （B）    （C）      （D）

【答案】D

9、已知＞0，满足约束条件， 若＋的最小值是1，则＝（     ）

（A）         （B）      （C）1         （D）2

【答案】B

10、已知函数，下列结论中错误的是（     ）

（A）， 

（B）函数的图象是中心对称图形

（C）若是的极小值点，则在区间单调递减

（D）若是的极值点，则

【答案】C

【解析】若则有，所以A正确。由得，因为函数的对称中心为（0,0），所以的对称中心为,所以B正确。由三次函数的图象可知，若是f(x)的极小值点，则极大值点在的左侧，所以函数在区间（-∞,）单调递减是错误的，D正确。选C.

11、设抛物线的焦点为，点M在C上，｜MF｜＝5，若以MF为直径的圆过点（0,2），则C的方程为（     ）

（A）或       （B）或

（C）或      （D）或

【答案】C

12、已知A（－1,0），B（1,0），C（0,1），直线将△ABC分割为面积相等的两部分，则的取值范围是（     ）

（A）（0,1）       （B）    （C）      （D）

【答案】B

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）已知正方形的边长为，为的中点，则_______。

【答案】

【解析】在正方形中，, ,所以。

（14）从个正整数，…，中任意取出两个不同的数，若其和为的概率是，则＝　　　　。

【答案】8

【解析】取出的两数之和等于5的概率为，＝8。

（15）设为第二象限角，若，则　　　　。

【答案】

（16）等差数列的前项和为，已知，，则的最小值为　　　。

【答案】－49

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

△ABC的内角的对边分别为已知

（Ⅰ）求B；

（Ⅱ）若＝2，求△ABC的面积的最大值。 

【答案】见解析

【解析】考查正弦、余弦定理及均值不等式综合应用

（18）如图，直三棱柱中，，分别是，的中点。AB

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值。

【答案】见解析

【解析】考查空间几何基本性质及证明，空间向量的应用。

（19）（本小题满分12分）

    经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出该产品获利润元，未售出的产品，每亏损元。根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示。经销商为下一个销售季度购进了该农产品。以（单位：，）表示下一个销售季度内的市场需求量，（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。

（Ⅰ）将表示为的函数；

（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000的概率；

（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入的T的数学期望。

【答案】见解析

【解析】考查函数、概率、统计、分布列、方差的综合应用。

（20）（本小题满分12分）

平面直角坐标系中，过椭圆M：右焦点的直线交M于A、B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为。

（Ⅰ）求M的方程

（Ⅱ）C、D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值。

【答案】见解析

【解析】考查椭圆基本性质，直线与椭圆位置关系，不等式思想的综合应用。

（21）（本小题满分12分）

    已知函数。

（Ⅰ）设是的极值点，求并讨论的单调性；

（Ⅱ）当时，证明＞0。

【答案】见解析

【解析】考查导数求单调性、最值、构建函数与不等式综合应用。

请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲                   

如图，为外接圆的切线，的延长线交直线于点，、分别为弦与弦上的点，且，、、、四点共圆。

（Ⅰ）证明：是外接圆的直径；

（Ⅱ）若，求过、、、四点的圆的面积与外接圆面积的比值。                        

【答案】见解析

【解析】考查圆、三角形性质证明及应用。                                                    

（23）（本小题满分10分）选修4——4；坐标系与参数方程

已知动点都在曲线（为参数）上，对应参数分别为与（），为的中点。

（Ⅰ）求的轨迹的参数方程；

（Ⅱ）将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点。

【答案】见解析

【解析】考查平面坐标、参数方程、极坐标转化及距离公式、最小值的综合应用。

（24）（本小题满分10分）选修4——5；不等式选讲

设均为正数，且，证明：

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【答案】见解析

【解析】均值不等式、放缩法在不等式证明中应用。

    一、试卷总体评价

    2013年高考数学新课标全国卷是以《课程标准》、《考试大纲》为依据,试卷的结构保持了新课程高考数学试卷的一贯风格,试题设计体现了“大稳定、小创新”的稳健、成熟设计理念.今年试卷贴近中学教学实际,在坚持对五个能力、两个意识考查的同时,注重对数学思想与方法的考查,体现了数学的基础性、应用性和工具性的学科特色.以支撑学科知识体系的重点内容为考点来挑选合理背景,善于应用知识之间的内在联系进行融合构建试卷的主体结构,在新课程新增内容和传统内容的结合处寻找创新点,考查更加科学.试卷从多视角、度、多层次地考查数学思维品质,考查考生对数学本质的理解,考查考生的数学素养和学习潜能.从考试性质上审视这份试卷,它有利于中学数学教学和课程改革,有利于高校选拔有学习潜能的新生,是具有较高的信度、效度,必要的区分度和适当的灵活度的可圈可点的试卷.

    二、试卷考点内容及所占分值、押题情况

注：押题比例：88.9%

三、试卷特点评析

    1.注重基础考查　试题区分度明显

    纵观全卷,选择题简洁平稳,填空题难度适中,解答题层次分明.选择、填空题考查知识点单一,注重了对基础知识、基本方法、基本技能及高中数学主干知识的考查,有利于稳定考生情绪,也有助于考生发挥出自己理想的水平.而在解答题中,每道题均以多问形式出现,其中第一问相对容易,大多数考生能顺利完成;而第二问难度逐渐加大,灵活性渐强,对知识的迁移和应用知识解决问题的能力要求较高,给个性品质优秀、数学成绩良好的考生留有较大的展示空间.

    2.淡化技巧重视通法　能力立意强化思维

    试题淡化特殊技巧,注重通性通法和对数学思想方法的考查.如第(10)、(11)题考查了数形结合思想;第(21)题涉及函数与方程思想及分类讨论思想等.试卷突出对五个能力和两个意识的考查.如第 (6)、(16)、(21)题重点考查数学思维能力;第(4)、(7)、(9)、(18)题考查空间想象能力;第(3)、(11)、(20)题综合考查思维能力、运算能力、实践能力、创新意识和应用意识等.

    3.诠释考试说明内涵　运算能力决定成败

    试题以高中内容为主,但高层次包括低层次的内容,例如在立体几何中考查平面几何的性质和数值的运算,在解三角形和解析几何中包含着方程思想,试题表述比较常规,运算能力与运算手段决定了考试的成败.