绵阳市高中2020届第三次诊断性考试理科数学试题含答案

2020届绵阳二诊参1—12：CBDCB

BACAD BA

13—16：334225417、解：

（1）由n n S a 321=+，得n n n S S S 321=-+，故n n S S 351=+则数列}{n S 是以首项为111==a S ，公比为35的等比数列1

135(35(1--=⨯=∴n n n S （2）1

)53(1-==n n n S b 25)53(2525]53(1[25531])53(1[1...21<⨯-=-=--=+++∴n n n n b b b 18解：

（1）证明：连结BD 交AC 于O ，连结OE 因为E O ，分别是BS BD ,的中点

故SD

OE ||又AEC OE 面⊂，AEC

SD 面⊄故AEC SD 面||（2）余弦值为5

1519、解：（1）配送蔬菜量小于120件的概率为

8

32005025=+记事件A 为“3天配送蔬菜量中至多有2天小于120件”512

485)83(1)(3=-=A P （2）显然租赁0辆货车没有租赁1辆货车利润高；

租赁5辆货车以上，没有租赁4辆货车利润高；故只需考虑租赁1,2,3,4辆货车，设其利润分别为4

321,,,X X X X 则2000120001=⨯=EX 元

37008740008116002=⨯+⨯=EX 元43008560004136008112003=⨯+⨯+⨯=EX 元47008

18000215600413200818004=⨯+⨯+⨯+⨯=EX 元故该物流公司一次性应该租赁4辆货车，利润最大20、

（1）当4=a 时，0,22ln )(>+--=x x x x x f 2

2)1)(12(22)('x x x x x x f --=+-=三

令1210)1)(12(0)('==

⇒=--⇒=x x x x x f 或0)('),1,21(;0)('),,1(21,0(<∈>+∞∈x f x x f x )(x f 在),1(),21,0(+∞上递增；在)1,21(上递减)(x f 的极大值为2ln 63)21(+=f ；极小值为4)1(=f （2）e x x x a ax x f <<+-+-=1,22ln )2()(2)1)(2()('x x ax x f --=0

20)('=-⇒=ax x f 01当0≤a 时，0

)('),,1(<∈x f e x )(x f 在),1(e 上递减，且1)1(+=a f ，02)1()(<--=e e a e f （i ）当01>+a 时，即01≤<-a 时，)(x f 有1个零点（ii ）当01≤+a 时，即1-≤a 时，)(x f 有0个零点02当0>a 时，a x ax x f 2020)('=⇒=-⇒=（i ）当12≤a ，即2≥a 时，0)('),,1(>∈x f e x )(x f 在),1(e 上递增；且0

1)1(>+=a f 故)(x f 有0个零点

（ii ）当e a <<21，即22<∈<∈x f e a x x f a x )(x f 在2,1(a 上递减；在),2(e a 上递增，令20,22ln 682()(<<+--==a a a a a f a h 0)4)(2()('2

<---=a a a a h 故)(a h 在)2,2(e

a ∈上递减，则0)2()(=>h a h 故)(x f 有0个零点

（iii ）当e a ≥2，即e a 20≤<时，0)('),,1(<∈x f e x )(x f 在),1(e 上递减，01)1(>+=a f ，e e a e f 2)1()(--=①当02)1(≥--e e a 时，即e a e e 222≤≤-时，)(x f 有0个零点②当02)1(<--e e a 时，即e e a -<<220时，)(x f 有1个零点综上：01当1-≤a 或e e a -≥22时，)(x f 有0个零点02当e

e a -<<-221时，)(x

f 有1个零点21、解：（1）)0,1(F ，设),(),,(2211y x N y x M ，且01>y

显然直线l 的斜率不为0，设其方程为1

+=my x 0444122=--⇒⎩⎨⎧=+=my y x

y my x )

1(1422121+=∆-=+=+m y y m y y 设MN 的中点为T ，则12122221+=+==+=m my x m y y y T T T 故MN 的垂直平分线方程为)

12(22---=-m x m m y 令0=y ，则322

+=m x Q 3

822||2±=⇒=+=m m FQ （符合题意）

则直线l 的斜率为3

3±（2）由M 恒在FP 为直径的圆外⇔抛物线)0(42>=y x y 的图像与FP 为直径的圆没有交点

FP 为直径的圆为：0))(1(20=+--y x x x ，即0

)1(0022=++-+x x x y x 即0)3(40)1(00220022=+-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧==++-+x x x x x

y x x x y x 故04)3(020<--=∆x x ，即0

910020<+-x x 9

10<)4(22=+-y x 则0822=-+x y x 0cos 82=-θρρ即θ

ρcos 8=故半圆1C 的极坐标方程为]2

,0[,cos 8πθθρ∈=2C 的直角坐标为3,0(2C 的直角坐标方程为3

)3(22=-+y x 03222=-+y y x 0sin 322=-θρρ圆2C 的极坐标方程为θ

ρsin 32=（2）43cos 8==πρM ，33

sin 32==πρN 故1

||||||=-=-=N M ON OM MN ρρ圆心2C 3,0(到直线03:=-y l 的距离为23=

d 故4333231(21)(||21=+⨯=+=∆r d MN S PMN 23、解：（1）01当2>x 时，3512≤⇒≤-x x ，即32≤2-<≤-x 综上：原不等式的解集为]

3,2[-（2）3

|)1()2(||1||2|)(=+--≥++-=x x x x x f （当0)1)(2(<+-x x 时，取等号）

3

)(min =x f

133

43=++c b a 12)391234412312()3343)(91411(914112=⨯+⨯+⨯≥++++=++c c b b a a c b a c b a c b a 当且仅当c c b b a a 391

344131==，取等号故c b a 91411++的最小值为12