第三节 实际问题与一元二次方程-学而思培优

一、课表导航

二、核心纲要

1、列一元二次方程解决用题的步骤                                                   

(1)审题：明确已知条件和未知条件，以及它们之间的关系．

     (2)找等量关系：明确题目中的等量关系．

     (3)设未知数：用字母表示未知数，可以直接设未知数也可以间接设未知数．

(4)列方程：根据等量关系列方程．

     (5)解方程：选择恰当的方法解方程．

     (6)检验：检验所求出的一元二次方程的根是否符合题意．

(7)作答：写出题目最终的答案．

      2．一元二次方程实际问题的常见类型

    (1)传播问题：传染病的第一轮和第二轮传播，可以抽象为一元二次方程的数学模型．

    (2)增长率（或减少率）问题（重点）：以增长率为未知数来设元，便可以转化为求解一元二次方程的问题．银行储蓄的利率问题，其实也是一种特殊的增长率问题，利率即增长率．

(3)销售问题（重点）：如何选择最优化的方案，获得最大利润或减少成本（方案选择问题）．

(4)几何问题：掌握几何图形的性质、周长和面积的计算方法．

    (5)行程问题：路程一速度×时间，速度一路程÷时间，时间一路程÷速度，抓住这三个量之间的关系列方程．

    (6)数论问题：有些时候也会遇到与位值原理相关问题，题目中明确说明，某一位的位值与其他位的位值之间有平方关系，这种题目也需要用到一元二次方程来求解，

    本节重点讲解：一个步骤，一类应用．

三、全能突破

基 础 演 练

1．某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为148元，下列所列方程正确的是(    )．

2．为了美化环境，某市加大对绿化的投资．2007年用于绿化投资20万元，2009年用于绿化投资25万元，求这两年绿化投资的年平均增长率．设这两年绿化投资的年平均增长率为x，根据题意所列方程为(    )．

3．在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图21- 3-1所示，如果要使整个挂图的面积是设金色纸边的宽为xcm，那么z满足的方程是(    )．

4．一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共有(    )人．

5．矩形的周长为8，面积为1，则矩形的长和宽分别为         

6．在实数范围内定义运算“”，其法则为：求方程的解．

能 力 提 升

7．有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长是第一块宽的3倍，宽比第一块的长少2m，已知第二块木板的面积比第一块大这两块木板的长和宽分别是(    )．

A．第一块木板长18m，宽9m，第二块木板长27m，宽16m

B．第一块木板长12m，宽6m，第二块木板长18m，宽10m

C．第一块木板长9m，宽4.5m，第二块木板长13.5m，宽7m

D．以上都不对

8．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为(    )．

9．甲用1000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给乙，获利10%，乙而后又将这手股票返卖给甲，但乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖出，在上述股票交易中，甲获利了       元．

10.张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为Im的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为l5m3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2m，现已知购买这种铁皮每平方米需20元，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元？

11.某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长25m)，另三边用木栏围成，木栏长40m.

(1)鸡场的面积能达到吗？

(2)鸡场的面积能达到吗？

12.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染  的电脑会不会超过700台？

13.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．

   (1)若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？

(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？

14.某汽车销售公司6月份销售某厂家汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系，若当月仅售出1辆汽车，则该汽车的进价为27万元；每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元／辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内（含10辆），每辆返利0.5万元，销售量在10辆以上，每辆返利1万元．

  (1)若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为       万元．

  (2)如果汽车的售价为28万元／辆，该公司计划当月赢利12万元，那么需要售出多少辆汽车？（赢利=销售利润十返利）

15.如图21-3 -2所示，将正方形沿图中虚线（其中x一个矩形（非正方形）．

(1)画出拼成的矩形的简图．

(2)求的值．

中 考 链 接

16.（2012．黑龙江省绥化）甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为m元的商品，甲超市连续两次降价20%;乙超市一次性降价40%;丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，此时顾客要购买这种商品，最划算的超市是

17.（2013．山东济宁）某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于有关房地产的新出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．

(1)求平均每次下调的百分率．

(2)某人准备以开盘价均价购买一套的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：

①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？

18.（2013．山东威海）要在一块长52m，宽48m的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路．下面分别是小亮和小颖的设计方案．

(1)求小亮设计方案中甬路的宽度x．

(2)求小颖设计方案中四块绿地的总面积（友情提示：小颖设计方案中的z与小亮设计方案中的x取值相同）．

巅 峰 突 破

19.如图21-3 -4所示，在△ABC中，点P从点A开始，沿AB边向点B以lcm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果两点同时出发，

(1)几秒后△PBQ的面积等于？

(2)如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后PQ的长度等于5cm?

(3)在(1)中，△PQB的面积能否等于？说明理由．

20.如图21-3 -5所示，在△ABC中，于点D，将△ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处；将△ACD沿AC所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB、FC使其交于点M.

(1)判断四边形AEMF的形状，并给予证明．

(2)若试求四边形AEMF的面积，