3、自由落体和竖直上抛 追及相遇问题

重点、难点

学

过

程

[知 识 梳 理]

知识点一、自由落体运动

1．条件：物体只受重力，从静止开始下落。

2．运动性质：初速度v0＝0，加速度为重力加速度g的匀加速直线运动。

3．基本规律

(1)速度公式：v＝gt。

(2)位移公式：h＝gt2。

(3)速度位移关系式：v2＝2gh。

知识点二、竖直上抛运动

1．运动特点：加速度为g，上升阶段做匀减速直线运动，下降阶段做自由落体运动。

2．基本规律

(1)速度公式：v＝v0－gt。

(2)位移公式：h＝v0t－gt2。

(3)速度位移关系式：v2－v＝－2gh。

(4)上升的最大高度：H＝。

(5)上升到最高点所用时间t＝。

思维深化

判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”。

(1)雨滴随风飘落，就是我们常说的自由落体运动中的一种。(　　)

(2)羽毛下落得比玻璃球慢，是因为空气阻力的影响。(　　)

(3)只要物体运动的加速度a＝9.8 m/s2，此物体的运动不是自由落体运动，就是竖直上抛运动。(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)×

[题 组 自 测]　　　　　　　　　　　　　　　　　　

题组一　自由落体和竖直上抛运动

1．某人估测一竖直枯井深度，从井口静止释放一石头并开始计时，经2 s听到石头落底声。由此可知井深约为(不计声音传播时间，重力加速度g取10 m/s2)(　　)

A．10 m  B．20 m  C．30 m  D．40 m

解析　从井口由静止释放，石头做自由落体运动，由运动学公式h＝gt2可得h＝×10×22m＝20 m。

答案　B

2．A、B两小球从不同高度自由下落，同时落地，A球下落的时间为t，B球下落的时间为，当B球开始下落的瞬间，A、B两球的高度差为(　　)

A．gt2  B. gt2  C. gt2  D. gt2

解析　A球下落高度为hA＝gt2，B球下落高度为hB＝g2＝gt2，当B球开始下落的瞬间，A、B两球的高度差为Δh＝hA－g2－hB＝gt2，所以D项正确。

答案　D

3．(多选)在某一高度以v0＝20 m/s的初速度竖直上抛一个小球(不计空气阻力)，当小球速度大小为10 m/s时，以下判断正确的是(g取10 m/s2)(　　)

A．小球在这段时间内的平均速度大小可能为15 m/s，方向向上

B．小球在这段时间内的平均速度大小可能为5 m/s，方向向下

C．小球在这段时间内的平均速度大小可能为5 m/s，方向向上

D．小球的位移大小一定是15 m

解析　小球被竖直向上抛出，做的是匀变速直线运动，平均速度可以用匀变速直线运动的平均速度公式＝求出，规定竖直向上为正方向，当小球的末速度大小为10 m/s、方向竖直向上时，v＝10 m/s，用公式求得平均速度为15 m/s，方向竖直向上，A正确；当小球的末速度大小为10 m/s、方向竖直向下时，v＝

－10 m/s，用公式求得平均速度大小为5 m/s，方向竖直向上，C正确；由于末速度大小为10 m/s时，球的位置一定，距起点的位移h＝＝15 m，D正确。

答案　ACD

题组二　追及相遇问题

4．(多选)如图1所示为两个物体A和B在同一直线上沿同一方向同时做匀加速运动的v－t图象。已知在第3 s末两个物体在途中相遇，则下列说法正确的是(　　)

图1

A．两物体从同一地点出发

B．出发时B在A前3 m处

C．3 s末两个物体相遇后，两物体不可能再次相遇

D．运动过程中B的加速度大于A的加速度

解析　已知在第3 s末两个物体在途中相遇，由题图可求得3 s内的位移，xA＝6 m，xB＝3 m，因此A错误，B正确；3 s后物体A的速度永远大于物体B的速度，故二者不会再次相遇，C正确；由题图象的斜率可以比较得出物体B的加速度小于物体A的加速度，D错误。

答案　BC

5．(2015·驻马店高中高三第一次月考)2012年10月4日，云南省彝良县发生特大泥石流。如图2所示，一汽车停在小山坡底，突然司机发现在距坡底240 m的山坡处泥石流以8 m/s的初速度、0.4 m/s2的加速度匀加速倾泄而下，假设泥石流到达坡底后速率不变，在水平地面上做匀速直线运动。已知司机的反应时间为1 s，汽车启动后以0.5 m/s2的加速度一直做匀加速直线运动。试分析汽车能否安全脱离？

图2

解析　设泥石流到达坡底的时间为t1，速率为v1，

则x1＝v0t1＋a1t，v1＝v0＋a1t1

代入数据得t1＝20 s，v1＝16 m/s

而汽车在t2＝19 s的时间内发生位移为x2＝a2t＝90.25 m，速度为v2＝a2t2＝9.5 m/s

令再经时间t3，泥石流追上汽车，则有

v1t3＝x2＋v2t3＋a2t

代入数据并化简得t－26t3＋361＝0，因Δ<0，方程无解。

所以泥石流无法追上汽车，汽车能安全脱离。

答案　见解析

考点一　自由落体和竖直上抛运动规律　　　　　　　　　　　　　　　　　　

竖直上抛运动的处理方法

(1)分段法：把竖直上抛运动分为匀减速上升运动和自由落体运动两个过程来研究。

(2)整体法：从整个过程看，利用匀减速直线运动来处理。

(3)巧用竖直上抛运动的对称性

①速度对称：上升和下降过程经过同一位置时速度等大反向。

②时间对称：上升和下降过程经过同一段高度的上升时间和下降时间相等。

【例1】　某校一课外活动小组自制一枚火箭，设火箭从地面发射后，始终在垂直于地面的方向上运动。火箭点火后可认为做匀加速直线运动，经过4 s到达离地面40 m高处时燃料恰好用完，若不计空气阻力，取g＝10 m/s2，求：

(1)燃料恰好用完时火箭的速度；

(2)火箭上升离地面的最大高度；

(3)火箭从发射到残骸落回地面过程的总时间。

解析　设燃料用完时火箭的速度为v1，所用时间为t1。

火箭的运动分为两个过程，第一个过程为做匀加速上升运动，第二个过程为做竖直上抛运动至到达最高点。

(1)对第一个过程有h1＝t1，代入数据解得v1＝20 m/s。

(2)对第二个过程有h2＝，代入数据解得h2＝20 m

所以火箭上升离地面的最大高度h＝h1＋h2＝40 m＋20 m＝60 m。

(3)方法一　分段分析法

从燃料用完到运动至最高点的过程中，由v1＝gt2得t2＝＝s＝2 s

从最高点落回地面的过程中由h＝gt，而h＝60 m，代入得t3＝2 s

故总时间t总＝t1＋t2＋t3＝(6＋2) s。

方法二　整体分析法

考虑从燃料用完到残骸落回地面的全过程，以竖直向上为正方向，全过程为初速度v1＝20 m/s，加速度a＝－g＝－10 m/s2，位移h′＝－40 m的匀减速直线运动，即有h′＝v1t－gt2，代入数据解得t＝(2＋2) s或t＝(2－2) s(舍去)，故t总＝t1＋t＝(6＋2) s。

答案　见解析

匀变速直线运动的基本公式和推论在自由落体和竖直上抛运动中均成立，不同的是公式中的加速度a＝g。

【变式训练】

1.我国空降兵装备新型降落伞成建制并完成超低空跳伞。如图3所示，若跳伞空降兵在离地面224 m高处，由静止开始在竖直方向做自由落体运动，一段时间后，立即打开降落伞，以大小为12.5 m/s2的平均加速度匀减速下降，为了空降兵的安全，要求空降兵落地速度最大不得超过5 m/s(g取10 m/s2)。则(　　)

图3

A．空降兵展开伞时离地面高度至少为125 m，相当于从2.5 m高处自由落下

B．空降兵展开伞时离地面高度至少为125 m，相当于从1.25 m高处自由落下

C．空降兵展开伞时离地面高度至少为99 m，相当于从1.25 m高处自由落下

D．空降兵展开伞时离地面高度至少为99 m，相当于从2.5 m高处自由落下

解析　若空降兵做自由落体运动的高度为h时的速度为v，此时打开降落伞并开始做匀减速运动，加速度a＝－12.5 m/s2，落地时速度刚好为5 m/s，故有：v2＝2gh，v－v2＝2a(H－h)，解得h＝125 m，v＝50 m/s。为使空降兵安全着地，他展开伞时的高度至少为：H－h＝99 m，A、B错误；由v＝2gh′可得h′＝1.25 m，故D错误，C正确。

答案　C

考点二　追及相遇问题

1．追及、相遇问题的实质

讨论追及、相遇问题，其实质就是分析讨论两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置的问题。

(1)两个等量关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可以通过画草图得到。

(2)一个临界条件：即二者速度相等，它往往是物体能否追上、追不上或两者相距最远、最近的临界条件。

2．解答追及、相遇问题的常用方法

(1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立一幅物体运动关系的图景。

(2)数学极值法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于时间t的一元二次方程，用根的判别式进行讨论。若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇。

(3)图象法：将两个物体运动的速度—时间关系在同一图象中画出，然后利用图象分析求解相关问题。(下一课时讲)

【例2】　甲、乙两车同时同地同向出发，在同一水平公路上做直线运动，甲的初速度v甲＝16 m/s，加速度大小a甲＝2 m/s2，做匀减速直线运动，乙以初速度v乙＝4 m/s，加速度大小a乙＝1 m/s2，做匀加速直线运动，求：

(1)两车再次相遇前二者间的最大距离；

(2)到两车再次相遇所需的时间。

解析　解法一　用物理分析法求解

(1)甲、乙两车同时同地同向出发，甲的初速度大于乙的初速度，但甲做匀减速运动，乙做匀加速运动，则二者相距最远时的特征条件是：速度相等，

即v甲t＝v乙t

v甲t＝v甲－a甲t1；v乙t＝v乙＋a乙t1，得：t1＝＝4 s

相距最远Δx＝x甲－x乙＝(v甲t1－a甲t)－(v乙t1＋a乙t)＝(v甲－v乙)t1－(a甲＋a乙)t＝24 m。

(2)再次相遇的特征是：二者的位移相等，即

v甲t2－a甲t＝v乙t2＋a乙t，代入数值化简得

12t2－t＝0

解得：t2＝8 s，t2′＝0(即出发时刻，舍去)

解法二　用数学极值法求解

(1)两车间的距离Δx＝x甲－x乙＝(v甲t－a甲t2)－(v乙t＋a乙t2)＝(v甲－v乙)t－(a甲＋a乙)t2＝12t－t2＝－[(t－4)2－16]

显然，t＝4 s时两者距离最大，有Δxm＝24 m。

(2)当Δx＝12t－t2＝0时再次相遇，

解得：t2＝8 s，t2′＝0(舍去)。

答案　(1)24 m　(2)8 s

1．解题思路和方法

2．解题技巧

(1)紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式。

(2)审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，它们往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。

【变式训练】

2．A、B两车在同一直线上，同向做匀速运动，A在前，速度为vA＝8 m/s，B在后，速度为vB＝16 m/s，当A、B两车相距x＝20 m时，B车开始刹车，做匀减速运动，为避免两车相撞，刹车后B车的加速度应为多大？

解析　如图所示，两物体相撞的条件为：同一时刻位置相同。设此时A的位移为xA，则B的位移为xB＝xA＋x，由运动学公式得：vBt－at2＝vAt＋x①

当B车追上A车时，若B的速度等于A的速度，则两车刚好相撞，vA＝vB－at②

由①②得a＝1.6 m/s2

故为避免两车相撞，B车的加速度应大于1.6 m/s2。

答案　大于1.6 m/s2

1．(2014·北京大学附属中学河南分校高三第一次月考)如图4所示，在地面上一盘子C的正上方A处有一金属小球a距C为20 m，在B处有另一个金属小球b距C为15 m，小球a比小球b提前1 s由静止释放(g取10 m/s2)。则(　　)

图4

A．b先落入C盘中，不可能在下落过程中相遇

B．a先落入C盘中，a、b下落过程相遇点发生在BC之间某位置

C．a、b两小球同时落入C盘

D．在a球下落过程中，a、b两小球相遇点恰好在B处

解析　小球a、b释放后均做自由落体运动，则有h＝gt2，代入计算得ta＝2 s，tb＝s，小球a提前1 s释放，所以b释放后a运动ta－1 s＝1 s落入C盘，比b球早落入。选项A、C错。b球释放时a下落1 s，此时下落的高度h＝gt′2＝5 m，刚好到达小球b的同高处，此时b开始释放，所以二者在B点相遇，然后a球超过b球先落入盘中。选项D对，B错。

答案　D

2．(多选)在塔顶上将一物体竖直向上抛出，抛出点为A，物体上升的最大高度为20 m。不计空气阻力，设塔足够高。则物体位移大小为10 m时，物体通过的路程可能为(　　)

A．10 m  B．20 m  C．30 m  D．50 m

解析　物体从塔顶上的A点抛出，位移大小为10 m的位置有两处，如图所示，一处在A点之上，另一处在A点之下。在A点之上时，位移为10 m又有上升和下降两种过程。上升通过时，物体的路程L1等于位移x1的大小，即L1＝x1＝10 m；下落通过时，路程L2＝2H－x1＝2×20 m－10 m＝30 m。在A点之下时，通过的路程L3＝2H＋x2＝2×20 m＋10 m＝50 m。

答案　ACD

3．(多选)(2014·湖南十二校联考)汽车A在红绿灯前停住，绿灯亮起时启动，以0.4 m/s2的加速度做匀加速直线运动，30 s后以该时刻的速度做匀速直线运动，设在绿灯亮的同时，汽车B以8 m/s的速度从A车旁边驶过，且一直以此速度做匀速直线运动，运动方向与A车相同，则从绿灯亮时开始(　　)

A．A车在加速过程中与B车相遇

B．A、B两车相遇时速度相同

C．相遇时A车做匀速运动

D．A车追上B车后，两车不可能再次相遇

解析　A车在匀加速直线运动过程中的位移xA1＝aAt＝180 m，此过程中B车的位移xB1＝vBt1＝240 m>xA1，故A车在加速过程中没有与B车相遇，A错，C对；之后因vA＝aAt1＝12 m/s>vB，故A车一定能追上B车，相遇之后不能再相遇，A、B相遇时的速度一定不相同，B错，D对。

答案　CD

4．A、B两列火车，在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度vA＝20 m/s，B车速度vB＝30 m/s，因大雾能见度低，B车在距A车600 m时才发现前方的A车，因此B车立即刹车，但B车要减速运动1 800 m才能够停止。

(1)B车刹车后减速运动的加速度多大？

(2)若B车刹车10 s后，A车以加速度a2＝0.5 m/s2加速前进，问能否避免事故？若能避免，则两车最近时相距多远？

解析　(1)设B车减速运动的加速度大小为a1，则

0－v＝－2a1x1　解得a1＝＝0.25 m/s2。

(2)设B车减速时间t时两车的速度相同，则

vB－a1t＝vA＋a2(t－Δt)

代入数值解得t＝20 s

在此过程中A、B两车前进的位移分别为：

xA＝vAΔt＋vA(t－Δt)＋a2(t－Δt)2＝425 m

xB＝vBt－a1t2＝550 m

有xA＋x>xB，所以两车不会发生撞车事故

此时两车相距最近，为Δx＝xA＋x－xB＝475 m。

答案　(1)0.25 m/s2　(2)见解析

基本技能练

1．(2014·海南卷，3)将一物体以某一初速度竖直上抛。物体在运动过程中受到一个大小不变的空气阻力作用，它从抛出点到最高点的运动时间为t1，再从最高点回到抛出点的运动时间为t2，如果没有空气阻力作用，它从抛出点到最高点所用的时间为t0，则(　　)

A．t1>t0　t2t1

C．t2>t0　t2>t1  D．t1解析　由题可知，空气阻力大小不变，故三段时间内均为匀变速直线运动，根据匀变速直线运动的特点，将三个过程均看成初速度为零的匀变速直线运动，由h＝at2可知，加速度大的用时短，故正确答案为B。

答案　B

2．某同学在实验室做了如图1所示的实验，铁质小球被电磁铁吸附，断开电磁铁的电源，小球自由下落，已知小球的直径为0.5 cm，该同学从计时器上读出小球通过光电门的时间为1.00×10－3 s，g取10 m/s2，则小球开始下落的位置距光电门的距离为(　　)

图1

A．1 m  B．1.25 m  C．0.4 m  D．1.5 m

解析　小球通过光电门的时间很短，这段时间内的平均速度可看成瞬时速度，v＝＝5 m/s，由自由落体运动规律可知h＝＝1.25 m，B正确。

答案　B

3．(多选)(2014·郑州第47中学高三第一次月考)甲、乙两物体，甲的质量为2 kg，乙的质量为4 kg，甲从20 m高处自由落下，1 s后乙从10 m高处自由落下，不计空气阻力，重力加速度为10 m/s2。在两物体落地之前，下列说法中正确的是(　　)

A．同一时刻甲的速度大

B．同一时刻两物体的速度相同

C．两物体从起点各自下落1 m时的速度是相同的

D．落地之前甲和乙的高度之差保持不变

解析　甲比乙先下落1秒，即t甲＝t乙＋1，由速度公式知，v甲＝gt甲>v乙＝gt乙，故A项正确，B项错误；由位移公式知，h甲－h乙＝gt－gt＝gt乙＋g，故D项错误；由速度－位移关系式知，自起点各自下落1 m时的速度均为v＝＝m/s＝2 m/s，故C项正确。

答案　AC

4．(多选)一物体自距地面高H处自由下落，经时间t落地，此时速度为v，则(　　)

A.时物体距地面高度为

B.时物体距地面高度为

C．物体下落时速度为

D．物体下落时速度为

解析　由于物体自由下落，所以H＝gt2

所以h′＝g()2＝，距地面为H，选项B正确，选项A错误；根据v2＝2gH及v′2＝2g·知，物体下落时速度为v′＝v，选项D正确，选项C错误。

答案　BD

5．(2014·山东省潍坊一中阶段性检测)甲车以3 m/s2的加速度由静止开始做匀加速直线运动，乙车落后2 s在同一地点由静止出发，以加速度4 m/s2做匀加速直线运动，两车速度方向一致，在乙车追上甲车之前，两车距离的最大值是(　　)

A. 18 m  B. 24 m  C. 22 m  D. 28 m

解析　乙车从静止开始做匀加速运动，落后甲2 s，则开始阶段甲车在前，当乙车速度小于甲车的速度时，两者距离增大；当乙车速度大于甲车的速度时，两者距离减小，则当两者速度相等时距离最大。即：a甲(t乙＋2)＝a乙t乙，得：t乙＝6 s；两车距离的最大值为Δx＝x甲－x乙＝a甲(t乙＋2)2－a乙t＝24 m，故选B。

答案　B

6．(多选)一物体做竖直上抛运动(不计空气阻力)，初速度为30 m/s，当物体的位移为25 m时，经历的时间为(g取10 m/s2)(　　)

A．1 s  B．2 s  C．5 s  D．3 s

解析　根据竖直上抛运动的规律有h＝v0t－gt2

代入数据得关系式25＝30t－×10t2

解得t1＝1 s，t2＝5 s

t1＝1 s物体在上升阶段，t2＝5 s物体在下降阶段。选项A、C正确。

答案　AC

7．(2014·上海单科，8)在离地高h处，沿竖直方向同时向上和向下抛出两个小球，它们的初速度大小均为v，不计空气阻力，两球落地的时间差为(　　)

A.  B.  C.  D. 

解析　以竖直向下为正方向，对向上和向下抛出的两个小球，分别有h＝－vt1＋

gt，h＝vt2＋gt，Δt＝t1－t2，解以上三式得两球落地的时间差Δt＝，故A正确。

答案　A

8．(2014·江苏南通期末)科技馆中的一个展品如图2所示，在较暗处有一个不断均匀滴水的水龙头，在一种特殊的间歇闪光灯的照射下，若调节间歇闪光间隔时间正好与水滴从A下落到B的时间相同，可以看到一种奇特的现象，水滴似乎不再下落，而是像固定在图中的A、B、C、D四个位置不动，对出现的这种现象，下列描述正确的是(g＝10 m/s2)(　　)

图2

A．水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间满足tABB．闪光的间隔时间是s

C．水滴在相邻两点间的平均速度满足AB∶BC∶CD＝1∶4∶9

D．水滴在各点的速度之比满足vB∶vC∶vD＝1∶3∶5

解析　由题图可知∶∶＝1∶3∶5，水滴做初速度为零的匀加速直线运动，由题意知水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间相等，A错；由h＝

gt2可得水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间为s，即闪光的间隔时间是s，B对；由＝知水滴在相邻两点间的平均速度满足AB∶BC∶CD＝1∶3∶5，C错；由v＝gt知水滴在各点的速度之比满足vB∶vC∶vD＝1∶2∶3，D错。

答案　B

能力提高练

9．(多选)从地面竖直上抛物体A，同时在某高度有一物体B自由落下，两物体在空中相遇时的速率都是v，则(　　)

A．物体A的上抛初速度大小是两物体相遇时速率的2倍

B．相遇时物体A已上升的高度和物体B已下落的高度相同

C．物体A和物体B落地时间相等

D．物体A和物体B落地速度相等

解析　相遇时刻为B下落的中间时刻，可得：v＝，即v0＝2v，A正确；从竖直上抛运动速度的对称性可知，A上升的最大高度与B自由下落的高度相同，因此两物体落地速度相等，D正确；由初速度为0的匀变速直线运动规律可知，B下落高度与A上升高度之比为1∶3，B错误；A运动时间为B运动时间的两倍，C错误。

答案　AD

10．(2014·河南灵宝质检)如图3所示，一个小球从地面竖直上抛。已知小球两次经过较低点A的时间间隔为TA，两次经过较高点B的时间间隔为TB，重力加速度为g，则A、B两点间的距离为(　　)

图3

A.       B. 

C.       D. 

解析　根据竖直上抛运动的对称性可知，A、B两点离最高点的高度分别为hA＝g2＝gT，hB＝g2＝gT，A、B两点间的距离Δh＝hA－hB＝，故D正确。

答案　D

11．(多选)酒后驾驶存在许多安全隐患，原因在于酒后驾驶员的反应时间变长。反应时间是指驾驶员发现情况到采取制动的时间。表中思考距离是指驾驶员从发现情况到采取制动的时间内汽车行驶的距离；制动距离是指驾驶员从发现情况到汽车停止行驶的距离(假设汽车制动时的加速度大小不变)。

速度/(m·s－1)