高中数学建模教学分析

型人才，成为当前教育界面临的一个重要问题。高中数学的改革，无疑是教育改革的一个重要部分。数学是很多学科和专业的基础，对于培养学生的严谨思维、数学精神以及创新能力具有重要的意义。对此，新课标也指出，要在数学教学中开展数学建模的学习活动。

新课改数学建模

摘要关键词《教学与管理》２０14年7月１日

一、数学模型的分类情况

数学模型在人类历史上可谓是源远流长，并且发挥了巨大的作用。从人类使用文字开始，就逐渐建立数学模型并利用它处理问题。可以说，数学模型作为一种数学工具，它的建立对于解决实际问题起到了巨大的作用。在当前，数学理论主要有四大类，它们为人们解决数学中的难题指明了方向，提供了很好的解题方法，从而人们能够利用这些数学工具来将实际问题转化成数学问题加以解决。基于此，我们将数学模型分为以下几类。

1.与必然现象有关的模型通常情况下，我们用与必然现象有关的模型来表述那些必然现象，这也是比较容易见到的一类数学模型，通常用经典数学的各种方程式来表示。

2.与或然现象有关的模型

当我们来表述那些或然现象的各种可能结果的分布规律时，一般来说，可以用概率论和数理统计等方法建立数学模型。

3.与突变现象有关的模型我们描述那些突变现象时，用到的是与突变现象有关的模型，从而来解释其中发生突变和渐变的原因以及事物如何发生变化。

4.与模糊现象有关的模型

当我们描述那些不确定的各种现象或信息时，通常建立与模糊现象有关的模型来解决这一问题。

以下是关于必然现象的数学模型和或然现象的数学模型的例子。

（1）指数函数模型———细菌增长

在养分充足的情况下，细菌的数量会以指数函

数的方式成长。假设细菌A 的数量每两小时可以成长为原来的2倍，细菌B 的数量每5小时可以成长

为原来的4倍。现在若养分充足且一开始两种细菌的数量相等，则经过多少小时后，细菌A 的数量是细菌B 的数量的两倍？

说明：开始数量为A，时间为T。A 乘2的2分之T 次方=2乘A 乘4的5分之T，变为2的2分之T 次方=2的5分之2T 加1次方，就是2分之T=5分之2T+1T=10。所以是经过10小时。（2）

几何概率模型设在400ml 自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出20ml 水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率是多少？这道题应该这样理解：大肠杆菌生存在自来水中任一地方是可能的，生存在20ml 水中也是可能的，并且生活在400ml 水中的任意处的概率只与这部分的容积有关，所以说，在此题中，发现大肠杆菌的概率是：p=20/400=1/20

很多情况下，假设试验的总的基本事件有N 个，通常情况下我们用某些字母来表示其总和。例如：我们可以表示为N，假设实验中的随机事件A 所包含的基本事件数为n，则随机事件A 的概率定义如下：P=n/N。

例：两人相约在18∶00至19∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去。如果两人出发是各自的，在18∶00至19∶00各时刻相见的可能性相等，求两人在约定的时间内相见的概率。

解：设两人分别在x 时和y 时到达约见地点，要使两人能在约定的时间范围内相见，当且仅当|x-y|≤2/3在阴影部分的范围内两人能在约定的时

高中数学建模教学分析

张亚

（江苏省建湖高级中学）

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二、数学建模的过程

建立模型对于解决数学难题是十分有帮助的，它能够把那些抽象难懂的问题很形象地表示出来，是用数学语言描述实际现象的过程。而且，从不同的角度、不同的侧面去考察问题，就会得到不同的数学模型，所以数学建模的过程又具有艺术性。从本质上讲，自然界中凡是能用定量的术语来描述的现实情形，都能通过建立模型使它服从解析的规律。

尽管问题不同，数学建模也不尽相同，但建模的思想和方法基本是一致的。通常来说，完整的数学模型通常需要对问题进行分析推理并考虑实际问题，最后应用到实际中。那么，如何建模才是合理的呢？建模方法又是什么呢？笔者认为，具体说可分为以下几步。

第一，我们要仔细分析所要研究的问题所具有的性质，根据研究结果确定使用哪种数学模型以及使用何种数学方法来解决问题。

第二，分辨出所要研究的问题的重点与次重点，确定量与量之间的关系的主次性，当然，必要的情况下还要作出假设来辅助解决问题。

第三，根据这些量之间的关系建立相应的模型，用数学中常用的数学符号对实际系统进行简化，找出重点，简化到能够进行数学描述的程度。

第四，根据分析列出相应表达式并建立相应数学模型，求出结果。

第五，对模型进行反复检验。方法是将最后得出的结果代入到原型中进行检验，如果模型基本符合原型，那它就是一个成功的模型，反之则要再次进行研究探索，找出问题之所在，根据出现的问题予以纠正，然后再重新建立模型。

第六，模型的建立就是为了将其应用到实际当中，用于解决实际问题，而模型的建立需要一定的过程，假如在检验时验证出模型是对的、可行的，那么就可以将其应用到实际当中，如果模型是不可行的，那么就需要对其进行分析，找出不合理的地方，然后对其进行修，再重新建立数学模型，一直到结果正确为止。

由上可知，数学建模是一个过程，是由实际问题开始，对之进行抽象、简化，然后建立数学模型，利用此数学模型解析这个实际问题，再解释、反复验证和修改，直到通过才能投入使用的过程。

三、数学模型的建立与实际教学应用

教师在日常教学中，应该经常将比较容易的数学应用和数学建模的问题渗透到课堂中，联系教材内容，让学生在课堂上更多的掌握这种方法，逐步培养起这种数学思维能力和创新能力。而具体的求解过程，则应更多地留在课外让学生完成。让学生感受到数学课是充满探索意义的而非枯燥灌输的。

例如，某污水处理厂打算建造一座地面是矩形并且面积是35平方米的污水处理池，已知处理池的深度是4米，池深建造单价是50元每平方米，池底建造单价是60元每平方米，水池厚度不计，求当污水处理池的长和宽各为多少时，使得花费的钱最少，并求出最少时多少。

解，由问题知，假设污水处理池的宽为x米，则长为35/x米。

则总造价f（x）=35*60+2*50*4x+2*50*4*35/x

=2100+400x+14000/x

≥2100+240=2340（元）

当且仅当x=5.9时取等号

∴当长为5.9米，宽为5.9米时总造价最低，最低总造价为2340元。

对于数学应用和数学模型，教师需要结合所教内容在课堂中合理切入、启迪学生。这样才能实现真正意义上的教学改革，为祖国培养一批批真正的杰出人才。

综上所述，在新课改背景下的高中数学教学中的建模学习方法的应用是一个长期的过程。在以后的教学中，要注意解决好这几个问题：首先要正确地分析出现的问题，其次要选取正确的方法去解决问题，最后要检验问题是否真正地解决与是否真正起到了预期的作用。只有这样，才可真正地适应新课改的需要，提高我国数学教学质量水平。

参考文献

[1]梁世日.新课程背景下中学数学建模教学的几点思考.考试周刊，2007（31）.

[2]黄诚.新课程背景下高中数学建模教学研究.上海师范大学，2009.

[3]张灵敏.贯彻数学建模意识，培养创新型人才.学苑教育，2012（19）.

[4]李明振，齐建华.中学数学教师数学建模能力的培养.河南教育学院学报（自然科学版），2002（4）.

【责任编辑郑雪凌】

张亚：高中数学建模教学分析61

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高中数学建模教学分析

作者：张亚

作者单位：江苏省建湖高级中学

刊名：

教学与管理（中学版）

英文刊名：Journal of Teaching and Management

年，卷(期)：2014(7)

本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_jxygl201407021.aspx