高考导数专题

1.导数的有关概念

(1)定义：函数的导数，就是当时，函数的增量与自变量的增量的比的极限，即。

(2)几何意义：函数在点x0处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率。

2.求导的方法：

(1)常用的导数公式：

；   ;   ;   ;          

                        ;      .

(2)两个函数的四则运算的导数: 

(3)复合函数的导数：    （很重要，必须理解清楚）

3.导数的运用：

(1)判断函数的单调性。

当函数在某个区域内可导时，如果，则f(x)为增函数；如果，则为减函数。

(2)极大值和极小值。

设函数在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点，都有,我们就说是函数的一个极大值（或极小值）。

(3)函数在闭区间[a,b]上的最大值和最小值的求法。

4.例题讲解：

定义型1. 设f(x)在点x0处可导，a为常数，则等于(    )

A.f/(x0)         B.2af/(x0)          C.af/(x0)           D.0

2、设在点处可导,且及,则的值等于(   )

A．2           B．1            C．3            D．不存在

3、设f（x）在x处可导，a，b为非零常数，则=            

A、f（x）  B、（a+b）f（x）  C、（a-b）f（x）   D、f（x）  

4、对函数f(x)，已知f(3)=2，f/(3)=-2，则___________。

求导型题目     f（x）=e（sinx+cosx）     f（x）=ln（x+2）  f（x）= （特别是复合函数求导型）

举例：

几何意义（切线型题目）

1、已知抛物线C：y=x2+2x，按下列条件求切线方程：（1）切线过曲线上一点（1，3）。

（2）切线过抛物线外的一点（1，1）。 （3）切线的斜率为2。     易错：（对切线的理解，点在切线上与切线外）

2、点P为抛物线C:：y=x2+2x上任意一点，则点P到直线y=2x-2的最小距离为_______

3、过曲线C：y=x-1（x>0）上的点P作C的切线L与坐标轴交于M,N两点,试求P点的坐标,使OMN的面积最小                                                               4、已知曲线C：y=x-1（x>0），过点P（2，1）作C的切线L与坐标轴交于M,N两点,试求OMN的面积。

5．两条抛物线在交点处的切线所成的角为       。

最重要的应用求单调性、单调区间、极值、最值例题  （重难点问题）

1函数f (x) = (x2－1)3＋2的极值点是（    ）      （对极值点的认识和理解）

A、x=2        B、x=－1        C、x=1或－1或0        D、x=0

2、函数y=+3   则  (      )

A．在x=处有极值  　B．在x=0处有极值    C．在x=处有极值    D．在x=及x=0 处有极值

3、对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）0，则必有（   ）

A． f（0）＋f（2）2f（1）       B，f（0）＋f（2）2f（1）

C.  f（0）＋f（2）2f（1）       D. f（0）＋f（2）2f（1）

4．已知（m为常数），在[-2，2]上有最大值3，那么此函数在[-2，2]上的最小值为（   ）                          

A  -37      B  -29     C  -5     D  -11

5、     (1)求f(x)的极值    (2)求y=f(x)在x∈[0,3]上的最值；

6．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值

（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间

（2）若对x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围。

7．设函数f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1.       (Ⅰ)求f(x)的单调区间；     (Ⅱ)讨论f(x)的极值.

8、设,求函数的单调区间。

9．设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值围．

10.设函数，其中a>0。（1）求f(x)的单调区间；（2）解不等式f(x)≤1。

强化练习、1函数)为增函数的区间是（  ）

    A．   　　 B．   　　 C．   　　　 D． 

2．已知a>0，函数在上是单调增函数，则a的最大值是（    ）

    A  0     B  1     C  2     D  3

3已知函数处的取得极小值－4，使其导函数的x的取值范围为（1，3），求：

   （1）f（x）的解析式；

   （2）f（x）的极大值；

   （3）x∈[2，3]，求的最大值.

4．函数，过曲线上的点的切线方程为y=3x+1

（1）若时有极值，求的表达式；

（2）在（1）的条件下，求在[-3，1]上的最大值；

（3）若函数在区间[-2，1]上单调递增，求b的取值范围。

（提示在[-2，1]上恒有在[-2，1]上恒成立）

5、已知函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是         。

6、 已知f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1，试讨论函数y=f(x)的单调性

7、 设函数f(x)=ax3-2bx2+cx+4d(a、b、c、d∈R)的图象关于原点对称，且x=1时，f(x)取极小值—。

(1)求a、b、c、d的值；

(2)当x∈[-1,1]时，图象上是否存在两点，使得过此两点的切线互相垂直？试证明你的结论；

(3)若x1,x2∈[-1,1]时，求证：|f(x1)-f(x2)|≤        （ 提示 ：|f(x1)-f(x2)|≤|f(x1)|+|f(x2)| ）

8平面向量=(,-1). =(,).    (1)证明⊥；

(2)若存在不同时为零的实数k和t，使=+(t2-3)， =-k+t，⊥，试求函数关系式k=f(t)；

(3)据(2)的结论，讨论关于t的方程f(t)-k=0的解的情况.

压轴题1函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx.

(1)求函数f(x)的最大值；    （2）证明：0＜g(a)+g(b)-2g()＜(b-a)ln2.

2(湖南卷20)(本小题满分12分)已知函数其中a≤0,e为自然对数的底数.

  (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;(Ⅱ)求函数f(x)在区间[0,1]上的最大值. 

3设P0 (x0，y0) 为曲线C : y=x3 (x＞0)上任意一点，过P0作曲线C的切线与x轴交于Q1，过Q1作平行于y轴的直线与曲线C交于P1(x1，y1)，然后再过P1作曲线C的切线交x轴于Q2，过Q2作平行于y轴的直线与曲线C交于P2(x2，y2)，依此类推，作出以下各点：P0，Q1，P1，Q2，P2，Q3，…，Pn，Qn＋1，…，已知x0=9，设Pn (xn，yn) (n∈N)。

（1）求出过点P0的切线方程。 2）设xn=f (n)  (n∈N)，求f (n)的表达式；  3求的值。

4抛物线C:y=x2(x≥0)上的点P0(x0,y0)，过P0做曲线C的切线与x轴交于Q1，过Q1作平行于y轴的直线与曲线C交于P1(x1,y1)，然后再过P1作曲线C的切线交x轴于Q2，过Q2作平行于y轴的直线与曲线交于P2(x2,y2)，仿此作出以下各点：P0,Q1,P1,Q2,P2,Q3…,Pn,Qn+1,…,已知x0=1。

(1)求过P0的切线方程；

(2)求的值。

五.导数强化训练：

1函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围为（    ）

A．0≤a＜1    B．0＜a＜1    C．－1＜a＜1    D．0＜a＜

2.已知曲线C:y=3x-x3及点P(2,2)，则过点P可向C引切线的条数为(     )

A.0           B.1            C.2              D.3

3.下列求导的式子中正确的是(    )

A.[cos(1-x)]/=-sin(-x) B. ，  C.(ax)/=xax-1          D. 

4．函数在处有极值，则（   ）

A.a=2         B.a=1           C.         D.a= -2

5.函数y=x3-3x，的最小值是a2-1，则实数a的值是(   )

A.0           B.        C.       D.1

6已知直线与曲线切于点（1，3），则b的值为（    ）

A．3            B．－3            C．5            D．－5

7点P在曲线上移动，经过点P的切线的倾斜角为，则的取值范围为（  ）

  A.  B.  C.  D. 

8．已知函数在x＝与x＝1处都取得极值，若对，恒成立，则c的取值范围是

9、（广东卷9）设，若函数，，有大于零的极值点，则（   ）

A、    B、   C、    D、

10南卷4）设，若，则（   ）

A.     B.      C.        D. 

11. 已知=（      ）