高中数学解题技巧归纳

  主讲人： 徐德桦（绍兴一中）

一、列举法

  【方法阐释】列举法就是通过枚举集合中所有的元素，然后根据集合的基本运算进行求解的方法。这种方法适用于数集的有关运算以及集合类型的新定义运算问题，也适用于一些集合元素比较少而且类型比较单一类型的题目，如排列组合等等。

  【典型实例】

    A.2     B.3     C.4    D.5

二、定义法

  【方法阐释】利用定义判断充分条件和必要条件的方法就是最基本的、最常规的方法（回忆一下这些条件的判断方法），一般拿到陌生的题目或者一些新定义类型的题目都需要从定义和性质出发寻找突破口。

  【典型实例】

“（m-1）(a-1)>0”是“logam>0”的（ ）（logam 意思就是以a为底m的对数）

三、特殊函数法

  【方法阐释】对于一些小题目（譬如，选择题和填空题）一般不需要详细的过程和步骤，只要有一种预感和能说服自己的理由可以尝试地使用一些特定的函数或者说特殊值。给定函数f(x)具备的一些性质来研究它另外的一些性质。对于能看出来是定值的题目一般也宜用特殊值法。

  【典型实例】

定义在R上的函数f（x）关于（2,0）对称，且在[2,+无穷）上单调递增，如果x1+x2>4,且（x1-2）(x2-2)<0,则f(x1)+f(x2)与0的大小关系是（ ）

A.f(x1)+f(x2)>0

  B.f(x1)+f(x2)=0

C.f(x1)+f(x2)<0

  D.无法判断

四、换元法

  【方法阐释】这是一种高中阶段最常用的数学解题方法，贯穿于高中所有的阶段。解题过程就是将复杂的抽象的难以分辨和讨论的问题转化为简单具体直接而且熟悉的问题。例如，求函数y = x^4+2x^2-8的最值，就可以t=x^2(t>=0),这里t的范围需要特别注意。

  【典型实例】

五、单调性分析法

  【方法阐释】单调性一直是函数里面考察的重点，单调性分析方法就是利用函数的单调性来解决零点问题的方法，主要涉及两个方法的问题：一是根据函数在某个范围内的零点个数；二是根据“在单调区间上存在零点的函数，在零点两侧函数值的符号相反”这一性质求解参数的取值范围。

  【典型实例】

函数f(x)为分段函数，在x>0,为2x-6+lnx,在x<=0，为x^2-2 的零点个数是_________.

六、构造函数法

【方法阐释】导数是解决函数问题的一个有力的工具，但是有些与函数有关的问题无法直接用导数直接来处理，而需要通过构造新的函数才能解决问题。特定地，当给定关于导数的不等关系时，常常需要构造对应的函数。

【典型实例】

函数f(x)的定义域为R，f(-1)=2,对任意x∈R，f’(x)>2,则f(x)>2x+4的解集( )

A.(-1,1)    B.(-1,+无穷)   C.(-无穷，-1)    D.(-无穷，+无穷)

已知偶函数f(x)在区间[0,+无穷)上满足f’(x)>0,则满足f(x^2-2x)A.（-3,1）

B.（-无穷，-3)∪（3，+无穷）

C.（-3,3）

D.（1,3）

七、拆分变角法

【方法阐释】拆分变角法一般常用于特征比较明显的题目，三角的题目里面，“1”的代换，二倍角公式等等一些应用。拆分变角法是指将已知角灵活的拆分，配凑成待求角或那种形式的方法。多做一些题目，都是一个样的解题步骤和模式，熟能生巧。常见的变换有：(1.)单角变为和差角x=(x-y)+y,y=1/2(x+y)-1/2(x-y)...(2)倍角化为和差角，2x=(x+y)+(x-y),2y=(x+y)-(x-y),（3.)未知和差角化为已知和差角，如：2x+y=(x+y)+x,2x-y=(x-y)+x...

【典型实例】

 已知tan(x+y)=2/5,tan(y-π/4)=1/4,则tan(π/4+x)的值为_______.

已知锐角A,B满足2tanA = tan(A+B),则tanB 的最大值（）

A.二根号二

B.根号二

C.二分之根号二

D.四分之根号二

八、变角互化法

 【方法阐释】这一类型的题目一般有一个特点就是比较烦，计算量可能比较大，但是只要有想法有方法还是很容易拿全分的，一般出现在大题目第一题。常解决的方法就是利用正弦和余弦定理将已知条件转化为边边的关系或者通过因式分解、配方等得出相应的关系

 【典型实例】

  在三角形ABC中，设a,b,c分别是角A,B,C的对边，且直线bx+ycosA+cosB=0与ax+ycosB+cosA=0平行，则三角形ABC一定是（ ）

A.锐角三角形

B.等腰三角形

C.直角三角形

D.等腰或直角三角形

在三角形ABC中，tanA+tanB+根号三 = 根号三tanAtanB,且 sinAcosA=根号三/4,则此三角形为  （ ）

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.等边三角形

D.钝角三角形

九、特殊值法

 【方法阐释】由于选择题仅要求结论正确，以至于如何获得这个结论并不重要，虽然特殊代替不了一般情况，但是就像马克思主义哲学里面讲的特殊反应普遍性，所以在特定情况下，特殊值法是一种常用而且高效的一种解决小题的方法。

 【典型实例】

  对于任意向量a,b,c，下列命题中正确的是（ ）

A、|ab| = |a||b|

B、|a+b| = |a| + |b|

C、(ab)c = a(bc)

D、aa=|a|^2

  若a,b,c均为单位向量，且（a+2b）^2 = 5,则|a+b-c|的最小值为  （ ）

A.根号二-1

B.1

C.根号二+1

D..根号二

十、数形结合法

  【方法阐述】这时高中阶段考察最为频繁的一种数学思想方法，可以说几乎每一张数学试卷都会重点考察这种方法，我们要养成一种习惯就是拿到一道题目要尽量的将其转化为图形模型，因为只有图形是最为客观最容易观察的

 【典型实例】

  若直线y= kx+1 与圆x^2+y^2=1相交于P,Q两点，且∠POQ = 120°（其中O为原点），则k值为  （ ）

A.±根号

B.根号三

C.±根号二

D.根号二

 “a=3”是“直线ax+2y+2a=0和直线3x+(a-1)y-a+7=0”的（ ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.冲要条件

D.既不充分也不必要  

十一、判别式法

 【方法阐释】判别式法就是将直线与曲线方程联立，得到一个一元二次方程，通过判别式建立所含参数的不等式

 【典型实例】

  直线y=x+2,与椭圆x^2/m+y^2/3=1,有两个公共点，则m的取值范围是（ ）

A.m>1

B.m>1且m≠3

C.m>3

D.m>0且m≠3

 已知双曲线x^2/14-y^2/2=1,的左右焦点为F1,F2，P为双曲线左支上一点，M为双曲线渐近线上一地（渐近线的斜率大于0）,则|PF2|+|PM|的最小值为___________

十二、定义法

 【方法阐释】定义方法就是直接利用我们学习的知识来做题目，一般我们遇到陌生的题目我们就会先采用这种方法

 【典型实例】

  已知单调递增的等比数列{an}满足：a2+a3+a4=28,且a3+2是a2、a4的等差中项，则数列{an}的通项公式为（ ）

  A.2n    B.2^n     C.2^(n-1)    D.2n+1

  在等比数列{an}中，若a4,a8是方程x^2-3x+2=0的两个根，则a6的值为（ ）

  A.正负根号二    B.负根号二     C.根号二    D.正负二

十三、错位相减法

 【方法阐释】这是数列里面最常用的一种手法，也是最基本的方法。必须熟练掌握，仔细运算

 【典型实例】  

  已知等比数列{an}的首项为a1=1/4,公比q=1/4，设bn+2=3log1/4an (n∈N*)，数列{cn}满足cn=an*bn.则数列{cn}的前n项和Sn=___.

十四、分类讨论法

 【方法阐释】分类讨论也是高中数学最基本的数学思想方法，我们运用分类讨论的方法，必须要抓住要讨论的源头在哪里，抓住这个源头再来分情况讨论那么思路就会顺势而来

 【典型实例】

不等式|x-2-|-|x-1|>0的解集（ ）

  A.（-无穷，3/2）

  B.(-无穷，-3/2)

  C.(3/2,+无穷)

  D.(-3/2,+无穷)

  设二次函数f(x)=ax^2-4x+c(x∈R)的值域为[0,+无穷），则1/(c+1) +9/(a+9)的最大值（ ）

  A.6/5

  B.根号五/4

  C.4/3

  D.2

十五、等价转化法

 【方法阐释】等价转化法就是把所求的问题转化为已有的知识法范围内的可解问题的一种极为重要的思想方法

 【典型实例】

  一元二次方程x^2+ax+2b=0有两个根，一个根在（0,1）内，一个在区间（1,2)内，则点（a,b）对应的区域面积为（ ）

  A.1/2   B.1   C.2   D.3/2

实数x,y满足y>=|x-1|和y<=1，则不等式所组成的图形的面积为（ ）

  A.4

  B.2

  C.1/2

  D.1

十六、割补法

  【方法阐释】割补法常用于求解不规则几何体的体积或者用于分析，通过割或者补对几何体的体积之和或差来表示

  【典型实例】

十七、向量法

  【方法阐释】一般用在空间几何的题目上面，在建立空间直角坐标系后，就可以用坐标表示相关的向量，这样，线面关系的逻辑推理就转化为了相应的直线方向向量和平面的法向量之间的坐标代数运算，用代数运算代替了空间线面关系的逻辑推理，使得证明和运算过程化和程式化

  【典型实例】

十八、正难则反法

  【方法阐释】求事件A的概率，如果事件A包含的基本事件比较多或者比较复杂，其反面比较简单，这是可以先求出反面，再用1-反面就可以得到解，这就是正难则反思想的体现

  【典型实例】

A.63/125

B.62/125

C.60/125

D.65/125