高中数学《圆锥曲线》原创题

1.    已知椭圆E的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，若椭圆右焦点到椭圆E的中心的距离是。

(1)求椭圆E的方程；

(2)设直线l：y＝kx＋m(k≠0)与该椭圆交于不同的两点B、C，若坐标原点O到直线

   l的距离为，求△BOC的面积的最大值。

2.    椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的长轴长为2，P是椭圆C上异于顶点的一个动点，O为坐标原点。A2为椭圆C的右顶点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与直线OM的斜率之积为－。

(1)求C椭圆的方程；

(2)过椭圆C的左焦点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB

   的垂直平分线与x轴相交点N，点N的横坐标的取值范围是(－,0)，求线段AB

   长的取值范围。

3.    已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A、B，其离心率e＝，点P为椭圆上的一个动点，△PAB面积的最大值为2。

(1)求椭圆的标准方程；

(2)动直线l过椭圆的左焦点F1，且l与椭圆C交于M、N两点，试问在x轴上是否存

   在定点D，使得·为定值？若存在，求出点D坐标并求出定值；若不存

   在，请说明理由。

4.    已知在平面直角坐标系中，O是坐标原点，动圆P经过点F(0，1)，且与直线l：y＝－1相切。

(1)求动圆圆心P的轨迹方程；

(2)过F(0，1)的直线m交曲线C于A、B两点，过A、B做曲线C的切线l1、l2，直

   线l1、l2交于点M，求△MAB的面积的最小值。

5.    已知F是抛物线C：x2＝4y的焦点，A(x1，y1)、B(x2，y2)为抛物线C上不同的两点，l1、l2分别是抛物线C在点A、点B处的切线，P(x0，y0)是l1、l2的交点。

(1)当直线AB经过焦点F时，求证：点P在定直线上；

(2)若|PF|＝2，求|AF|·|BF|的值。

6.    已知抛物线E：x2＝2py(p＞0)，其焦点为F，过F且斜率为1的直线被抛物线截得的弦长为8。

(1)求抛物线E的方程；

(2)设A为E上的一动点(异于原点)，E在点A处的切线交x轴于点P，原点O关于

   直线PF的对称为点B，直线AB与y轴交与点C，求△OBC面积的最大值。

7.    已知圆O：x2＋y2＝4与x轴交于A、B两点，点M为圆O上异于A、B的任意一点，圆O在点M处的切线与圆O在点A、B处的切线分别交于C、D，直线AD和BC交于点P，设P点的轨迹为曲线E。

(1)求曲线E的方程；

(2)曲线E与y轴正半轴交点为H，则曲线E是否存在直角顶点为H的内接等腰直角

   三角形Rt△GHK，若存在，求出所有满足条件的Rt△GHK的两条直角边所在直线

   的方程，若不存在，请说明理由。

8.    已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1、F2，上顶点为B。Q为抛物线y2＝24x的焦点，且·＝0，2＋＝0。

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过定点P(0，4)的直线l与椭圆C交于M、N两点(M在P、N之间)，设直线l的

   斜率为k(k＞0)，在x轴上是否存在点A(m，0)，使得以AM、AN为邻边的平行

   四边形为菱形？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由。

9.    经过点F1(，0)的圆P与圆F2：(x＋)2＋y2＝16相内切。

(1)求圆心P的轨迹C的方程；

(2)直线l：y＝kx＋m(k∈R)与曲线C交于点A、B，是否存在实数m，使得|＋|

   ＝|－|，若存在，求出实数m的值，若不存在，说明理由。

10.    已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆，离心率e＝且椭圆过点(1，)。

(1)求椭圆的方程；

(2)设椭圆左、右焦点分别为F1、F2，过F2做互相垂直的直线AB，MN直线AB交椭

   圆交于不同的两点A、B，MN与y2＝4x交于M、N，试求。

11.    已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆，离心率e＝且椭圆过点(1，)。

(1)求椭圆的方程；

(2)设椭圆左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，则

   △F1AB的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线

   方程；若不存在，请说明理由。

12.    已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)经过点P(2，)，离心率e＝，直线l的方程为x＝4。

(1)求椭圆C的方程；

(2)经过椭圆右焦点F的任一直线(不经过点P)与椭圆交于两点A、B，设直线AB与

   l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1、k2、k3，问：k1＋k2－2k3是否为

   定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由。

13.    已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)经过点P(2，)，离心率e＝，直线l的方程为x＝4。

(1)求椭圆C的方程；

(2)经过椭圆右焦点F的任一直线(不经过点P)与椭圆交于两点A、B，设直线AB与

   l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1、k2、k3，问：是否存在常数λ，

   使得k1＋k2＝λk3若是，求出λ值，若不是，请说明理由。

13.    在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)经过点A(，0)和点B(0，2)，斜率为k(k≠0)的直线经过点P(2，0)且交E于M、N两点。

(1)求椭圆E的方程；

(2)当△AOM与△AON面积比值为λ，求实数λ的取值范围。

14.    在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)经过点A(，0)和点B(0，2)，斜率为k(k≠0)的直线经过点P(2，0)且交E于M、N两点。

(1)求椭圆E的方程；

(2)当△AOM与△AON面积比值为7，求实数k的值。

15.    在直角坐标系中xOy中，F是抛物线C：y2＝2px(p＞0)的交点M是抛物线C上的任意一点，M位于第一象限内时，△OFM外接圆的圆心到抛物线C的准线的距离为。

(1)求抛物线C的方程；

(2)过K(－1，0)的直线l交抛物线C于A、B两点，且＝，(λ∈[2，3])，点

   G为x轴上一点，且|GA|＝|GB|，求G的横坐标x0的取值范围。

16.    已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1(－c，0)、F2(c，0)，过椭圆中心的弦PQ满足|PQ|＝2，∠PF2Q＝90°且三角形△PF2Q的面积为1。

(1)求椭圆C的方程；

(2)直线l不经过点A(0，1)且与椭圆交于M，N两点，若以MN为直径的圆经过点A，

   求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。

17.    已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1(－c，0)、F2(c，0)，过椭圆中心的弦PQ满足|PQ|＝2，∠PF2Q＝90°且三角形△PF2Q的面积为1。

(1)求椭圆C的方程；

(2)设A1、A2分别为椭圆C的左右顶点S为直线x＝2上一动点，直线A1S交椭圆C

   于点M，直线A2S交椭圆于点N，设S1、S2分别为△A1SA2、△MSN的面积，求

   的最大值。

18.    已知抛物线G：y2＝2px(p＞0)，过焦点F的动直线l与抛物线交于A、B两点，线段AB的中点为M。

(1)当直线l的倾斜角为时，|AB|＝16。求抛物线G的方程；

(2)对于(1)问中的抛物线G，是否存在x轴上一定点N，使得|AB|－2|MN|为定值，

   若存在求出点N的坐标及定值，若不存在说明理由。