圆中典型计算题

 例1. 如图所示，OC为圆O的半径，M是OC的中点，弦AB⊥OC于M，如果OC=4，求AB的长。

    分析：由于这是弦与半径互相垂直的计算问题，可联想到垂径定理的运用。连半径可以出现直角三角形，运用勾股定理即可求得弦AB的长。

    解法1：（利用垂径定理和勾股定理）

    连接OA，∵OC⊥AB于M，M为OC的中点，且OC=4

    ∴

    在Rt△AOM中

    由勾股定理，得

    ∴

    解法2：（利用垂径定理和锐角三角函数）

    连接OA，∵OC⊥AB于M，M为OC的中点，且OC=4

    在Rt△AOM中，∵

    ∴∠A=30°

    ∴AM=OA·cos30°=

    ∴

   说明：在圆中解决弦的问题时，常用到垂径定理、勾股定理或锐角三角函数等知识，经常添加的辅助线是连接半径或过圆心作已知弦的垂线，构造以半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，然后运用垂径定理、勾股定理或锐角三角函数来求解。

  例2. 如图所示，在圆O中，弦AB=1.8cm，圆周角∠ACB=30°，求圆O的直径。

    分析：此题要求直径，但图中没有直径，因此可先作出直径，构造直角三角形，并利用圆周角定理的推论，将特殊角转移到直角三角形中，然后运用勾股定理或锐角三角函数等求出直径的长。

    解法1：如图所示，作直径AD，连接BD

    ∴∠ABD=90°

    ∵∠ACB=30°

    而∠D与∠ACB所对的是同一条弧

    ∴∠D=∠ACB=30°

    在Rt△ABD中，∠ABD=90°，∠D=30°，AB=1.8cm

    ∴AD=2AB=3.6cm

    即圆O的直径为3.6cm

    或由，得

    解法2：如图所示，连接OA、OB

    ∵∠AOB和∠ACB分别是弧AB所对的圆心角和圆周角

    ∴∠AOB=2∠ACB=60°

    又OA=OB

    ∴△AOB是等边三角形

    ∴OA=OB=AB=1.8cm

    ∴圆O的直径为3.6cm

    说明：要求直径可先求半径，或作出直径，构造直角三角形，运用勾股定理等求出直径的长。

  例3. 如图所示，△ABC内接于圆O，AE为圆O的直径，AD为△ABC的高，求证：∠BAE=∠CAD。

    分析：这两个角既可以看做是同一个圆的两个圆周角，又可以看做是两个三角形的对应角，因此，可以添加不同的辅助线，利用圆中角的关系及三角形中角的关系来证明它们相等。

    证法1：连接BE，如图（1）所示

    ∵AE是圆O的直径，∴∠ABE=∠ADC=90°

∵∠E=∠C，∴∠BAE=∠CAD

图（1）

    证法2：连接EC，如图（2）所示

    ∵AE是圆O的直径，∴∠ACE=∠ADB=90°

    ∵∠E=∠B，∴∠BAD=∠EAC

    ∴∠BAD－∠EAD=∠EAC－∠EAD

即∠BAE=∠CAD

图（2）

    证法3：如图（3）所示，过点O作ON⊥AB，交AB于M，交圆O于N

    ∴

    ∴

    ∵，∴∠ADC=∠AMO=90°

    ∴∠BAE=∠CAD

图（3）

    说明：（1）如果已知条件中有关于圆直径的条件，可连接圆上有关的点，以构成直径所对的圆周角，这是圆的证明与计算题中常见的一条辅助线。

    （2）证法3中由ON⊥AB，得到，从而得到，即∠AOM=∠C，这是一种常用的证明角相等的方法，在证明与计算中要能灵活运用。

  例4. 已知：如图所示，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，圆O与腰AB相切于点D。

    求证：AC是圆O的切线。

    分析：由于AC与圆O有没有交点，已知条件中并没有指出，因此要证明AC是圆O的切线，就需要过点O作AC的垂线OE（垂足是E），再证明OE是圆O的半径即可。

    证法1：如图所示，连接OD，AO，过点O作OE⊥AC，垂足是E

    ∵AB与圆O相切于点D

    ∴OD⊥AB

    又AB=AC，OB=OC

    ∴∠BAO=∠CAO

    ∴OD=OE

    ∵OD为圆O的半径

    ∴OE为圆O的半径

    又OE⊥AC，∴AC是圆O的切线

    证法2：连接OD，过点O作OE⊥AC，垂足是E，证明△BDO≌△CEO，得到OD=OE

    说明：判定直线为圆的切线时，主要辅助线的添加方法：①如果已知直线经过圆上一点，那么连半径，证垂直（如例5）；②如果已知直线与圆是否有公共点在条件中没有给出，那么作垂直，证半径（如此例）。

  例5. 如图所示，△ABC中，∠C=90°，以DB为直径作半圆切AC于E点，O是圆心，若AB=10，BC=6，求AD的长。

    分析：如图所示，连接OE，在两个直角三角形中，由，可以求得AD的长。

    解：连接OE，∵AC与圆O相切于点E

    ∴OE⊥AC，又∠C=90°

    ∴在Rt△AOE与Rt△ABC中，有

    设OE=x，则

    ∴

    ∴

    ∴

    说明：（1）此题也可以用三角形相似求得比例式。（2）此题设OE=x，则，列方程求解，化未知为已知从而建立了OE与AO的联系，这种方程思想是解决几何问题常用的一种思想方法。

  例6. 已知，两圆外切时，圆心距为10cm，两圆内切时，圆心距为4cm。求两圆半径的长。

    分析：根据两圆位置关系中，两圆的半径与圆心距之间的关系，可列出方程组求出这两个圆的半径的长。

    解：设这两个圆的半径分别为Rcm和rcm（R>r）

    根据题意，得

    解得

    即大圆的半径为7cm，小圆的半径为3cm。

  例7. 如图所示，圆O1与圆O2相交于点A、B，过A点的直线分别交两圆于点C、D，点M是CD的中点，直线BM分别交两圆于点E、F。求证：

    （1）CE//DF；

    （2）ME=MF

    分析：遇到两圆相交时，可连公共弦AB，由∠B为桥梁，把∠C与∠D联系起来，从而解决问题。

    证明：（1）如图所示，连接AB，在圆O1中，∠C=∠B

    在圆O2中，∠B=∠D，∴∠C=∠D

    ∴CE//DF

    （2）∵∠C=∠D，CM=DM，∠CME=∠DMF

    ∴

    ∴ME=MF

  例8. 如图所示，AB是圆O的直径，AC是弦，D是弧BC的中点，过点D作AC的延长线的垂线DP，垂足为P，若PD=12，PC=8。

    （1）求证：PD是圆O的切线；

    （2）求圆O的半径R的长。

    分析：由AB是圆O的直径，点D是弧BC的中点，AP⊥PD，故连接BC、OD后，由垂径定理可以得到四边形PDEC为矩形（如图所示），则PD为圆O的切线可得证，再由勾股定理便可以求出圆O的半径R的长。

    （1）证明：连接BC、OD，相交于点E

    ∵点D是弧BC的中点，则OD⊥BC，且BE=CE

    ∵AB是圆O的直径，且AP⊥PD

    ∴∠ACB=∠APD=90°

    ∴PD//BC，∴OD⊥PD

    又OD为圆O的半径，∴PD是圆O的切线

    （2）解：由（1）得∠BCP=∠APD=∠PDO=90°

    ∴四边形PDEC为矩形

    ∴CE=PD=12，∴BE=CE=12

    在Rt△BEO中，OE=OD－DE=OD－PC=R－8

    由勾股定理，得，∴

    解得R=13

    ∴圆O的半径R=13

  例9. 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，，将△ABC绕点B旋转至△A’BC’的位置，且使A、B、C’三点在同一直线上，求点A移动到点A’所经过的路径的长度。

    分析：将△ABC绕点B旋转至△A’BC’的位置，顶点A移动到点A’所经过的路径是以点B为圆心，AB长为半径，圆心角是150°的一段圆弧，如图所示，用弧长公式计算即可得出结论。

    解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=

    ∴∠ABC=30°，AB=4cm

    又△A’BC’是将△ABC绕点B旋转得到的

    ∴△ABC≌△A’BC’

    ∴∠A’BC’=∠ABC=30°

    ∴∠ABA’=180°－∠A’BC’=180°－30°=150°

    ∴

    即点A移动到点A’所经过的路径长是。

  例10. 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，点O在斜边AB上，半径为2cm的圆O过点B，切AC边于点D，交BC边于点E。求由线段CD、CE及弧DE围成的阴影部分的面积。

    分析：这是求一个不规则图形的面积，应设法转化为规则图形的面积的和或差来计算，我们可以采用割补法，如图所示，连接OD，OE，利用梯形ODCE的面积与扇形ODE的面积的差，可以求得阴影部分的面积。

    解：连接OD，OE

    ∵AD切圆O于点D，∴OD⊥AC

    ∵∠C=90°，∴四边形ODCE是直角梯形

    过点E作EF⊥OD于F

    在Rt△ABC中

    ∵∠A=30°，∴∠B=60°

    则∠OEB=∠B=60°

    ∴∠EOD=60°，∠OEF=30°

    在Rt△OEF中，∠OEF=30°，OE=2cm

    ∴OF=1cm，

    ∴

    ∴

    即阴影部分的面积是

    说明：求与圆有关的阴影部分的面积问题，常用的方法有：“公式法”、“和差法”、“割补法”、“等积代换法”、“几何变换法”等。主要思路是将不规则图形的面积转化为规则图形的面积。

  例11. 如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，分别以B、C为圆心，2为半径画弧，求阴影部分的面积。

    分析：仔细观察图形，会发现这是两个扇形（扇形BAE与扇形CAD）重叠的一个组合图形，因此我们可以用如下方法来求解。

    解法1：如图所示，过点A作AF⊥BC，垂足为F，则阴影部分面积=扇形BAE的面积+扇形CAD的面积－△ABC的面积。

    即

    解法2：如图所示，过点A作AF⊥BC，垂足为F，以点F为旋转中心，分别将阴影ADF部分逆时针旋转90°，将阴影AEF部分顺时针旋转90°，则阴影部分面积=扇形ABC的面积－△ABC的面积。过程略。

    解法3：我们还可以采用代数方法，利用图形中面积的和差所隐含的等量关系来构造方程。如图所示，设阴影部分面积为X，每一处空白部分面积为Y，因此有

    解这个方程组，得