偏微分方程数值解法试题与答案

1．若步长趋于零时，差分方程的截断误差，则差分方程的解趋近于微分方程的解. 此结论_______（错或对）；

2．一阶Sobolev空间

关于内积_____________________是Hilbert空间；

3．对非线性（变系数）差分格式，常用 _______系数法讨论差分格式的_______稳定性；

4．写出在区间上的两个一阶广义导数：_________________________________，

________________________________________；

5．隐式差分格式关于初值是无条件稳定的. 此结论_______（错或对）。

（1）用五点菱形差分格式将微分方程在内点离散化；

（2）用截断误差为的差分法将第三边界条件离散化；

（3）整理后的差分方程组为

三．（12）给定初值问题

               ，  

   取时间步长，空间步长。试合理选用一阶偏心差分格式（最简显格式）, 

并以此格式求出解函数在处的近似值。

   1．所选用的差分格式是：

   2．计算所求近似值：

四．（12分）试讨论差分方程   

逼近微分方程   的截断误差阶。

思路一：将r带入到原式，展开后可得格式是在点（l+1/2,k+1/2）展开的。

思路二：差分格式的用到的四个点刚好是矩形区域的四个顶点，可由此构造中心点的差分格式。

五．（12分）对抛物型方程，考虑Du Fort-Frankel格式

试论证该格式是否总满足稳定性的Von-Neumann条件？

六． （12分）（1）由Green 第一公式推导Green第二公式：

（2）对双调和方程边值问题

            ，

选择函数集合（空间）为：

推导相应的双线性泛函和线性泛函：

相应的虚功问题为：

极小位能问题为

七．（12分）设有常微分方程边值问题

   将区间作剖分：

   1．若要求节点基函数为分段三次多项式且有一阶连续导数，试写出基函数所应满足的插值条件：

   2．画出基函数在上的图形：

   3．将有限元解用基函数的形式表示出来：

八．（12分）设有常微分方程边值问题

1.转化为相应的变分问题

选择函数集合（空间）为：

推导相应的双线性性泛函和线性泛函：

2.将[]二等分，采用线性元的有限元方法，导出有限元方程并求解。

参考解答

二．（1）  即  

   （2）  或  

   （3）

三．  

四．Box格式，二阶

五．练习题。总满足。

六．1．在第一公式中

      ①将位置对换，并进一步换  

      ②在原公式中换

 2．取

,由第二公式有

，     

虚工问题：求，使

   极小位能：求，使 

七．1．

2．

八．1. 取 

作内积 ，分部积分

虚工问题：求，使

    极小位能：求，使

2.   构造分段线性的结点基函数并补充

        有限元方程为：  

+   ，

（理论解为：，）