2017考研数学二真题及答案

一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分）

（1）若函数在处连续，则（    ）

。                                  。

。                                  。

【答案】

【解】，，

因为在处连续，所以，从而，应选。

（2）设二阶可导函数满足，，且，则（    ）

。                              。

。                       。

【答案】

【解】取，显然，应选。

（3）设数列收敛，则                                               （    ）

当时，。   当时，。

当时，。当时，。

【答案】

【解】令，由得。

（4）微分方程的特解可设为           （    ）

。  。

。。

【答案】

【解】特征方程为，特征值为。

对方程，特征形式为；

对方程，特解形式为，

故方程的特解形式为

   ，应选。

（5）设具有一阶偏导数，且对任意的都有，

则     （    ）

。               。

。              。

【答案】

【解】得关于为增函数，从而；

由得关于为减函数，从而，

由得；

由得，故，应选。

（6）甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方（单位：）处，图中，实线表示甲的速度曲线（单位：），虚线表示乙的速度曲线，三块阴影部分面积的数值依次为，计时开始后乙追甲的时刻为（单位：），则（     ）

。          。

。          。

【答案】

【解】

（7）设为3阶矩阵，为可逆矩阵，使得，则

（    ）

。                       。

。                       。

【答案】

【解】由得，

于是，

应选。

（8）已知矩阵，则  （    ）

与相似，与相似。   与相似，与不相似。

与不相似，与相似。与不相似，与不相似。

【答案】

【解】的特征值为，

由得，则可相似对角化，从而；

由得，则不可相似对角化，从而与不相似，应选。

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）

（9）曲线的斜渐近线为。

【答案】。

【解】，

，斜渐近线为。

（10）设函数由参数方程确定，则。

【答案】。

【解】，

，

则。

（11）。

【答案】。

【解】

（12）设函数具有一阶连续的偏导数，且，

，则。

【答案】

【解】由得

，

再由得，故。

（13）。

【答案】

【解】。

（14）设矩阵的一个特征向量为，则。

【答案】。

【解】由得

，解得。

三、解答题

（15）（本题满分10分）求。

【解】，

则

。

（16）（本题满分10分）

设函数具有二阶连续的偏导数，，求，。

【解】，；

，

则。

（17）（本题满分10分）求。

【解】

。

（18）（本题满分10分）

已知函数由方程确定，求的极值。

【解】两边对求导得

，令得，对应的函数值为，；

两边再对求导得

  ，

由得为极小点，极小值为；

由得为极大点，极大值为。

（19）（本题满分10分）

设函数在上二阶可导且，。

证明：（）方程在内至少有一个实根；

（）方程在内至少有两个不同的实根。

【证明】（）由得，

又存在，当时，，即当时，

于是存在，使得，

因为，所以存在，使得。

（）令，

因为，

所以由罗尔定理，存在，使得，

而，故，

即在内至少一个实根。

（20）（本题满分11分）

已知平面区域，计算二重积分。

【解】由对称性得

，

令（），则

。

（21）（本题满分11分）设是区间内的可导函数，且。点是曲线上的任意一点，在点处的切线与轴相交于点，法线与轴相交于点，若，求上的点的坐标满足的方程。

【解】切线为，

由得；

法线为，

由得。

由得

，整理得，即，

令，则，整理得，

分离变量得，积分得

，

由得，故满足的方程为。

（22）（本题满分11分）设3阶矩阵有三个不同的特征值，

且。

（）证明：

（）若，求方程组的通解。

【证明】（）设的特征值为，

因为有三个不同的特征值，所以可以相似对角化，即存在可逆矩阵，使得

   ，

因为两两不同，所以，

又因为，所以线性相关，从而，于是。

（）因为，所以基础解系含一个线性无关的解向量，

由得的通解为

   （为任意常数）。

（23）（本题满分11分）

设二次型在正交变换下的标准型为，求的值及一个正交矩阵。

【解】，，，

因为，所以。

由得。

由得。

由得

对应的线性无关的特征向量为；

由得

对应的线性无关的特征向量为；

由得对应的线性无关的特征向量为。

规范化得

，，，

故正交矩阵为。