微分方程建模题目(修改)

1、狐狸与野兔（捕食者与被捕食者）问题

在一个封闭的大草原里生长着狐狸和野兔。在大自然的和谐的坏境中，野免并没有因为有狐狸的捕食而灭绝。因为每一种动物都有它们特有的技巧来保护自己。设t时刻野兔和狐狸的数量分别为x(t)和y(t)，已知满足以下微分方程组 

若草原上现在有 50000只野兔， 2000只狐狸。请完成下面任务 

(1) 随机产生服从[0，1]上均匀分布的四个随机数分别作为a,b,c,d, 分析这两个物种的数量变化关系。 

(2) 在什么情况下狐狸和野兔数量出现平衡状态？ 

(3) 建立另一个微分方程来分析人们对野兔进行捕猎会产生什么后果？对狐狸进行捕猎又会产生什么后果？

2、孤岛疾病问题

考虑在一个人口数量为N的孤岛上，一部分到岛外旅游的居民回来使该岛感染了一种高传染性的疾病。请预测在某时刻t将会被感染的人数X。考虑一下模型，其中k>0为常数：

(a)    列出这个模型所隐含的两条主要假设，说明这些假设有什么依据？

(b)   把X作为t的函数，解出前面给出的模型。

(c)   由(b)，当t趋于无穷时求X的极限。

(d)    设岛上的人口有5000人，在传染期的不同时刻被感染人数如下表

(e)   画出关于X的图形

(f)    若初始被感染的人数，画出X关于t的图形；若初始被感染人数为，画出X关于t的图形。

(g) 利用(f)的结果估计模型中的常数，并预测t=ns天(ns为你学号最后两位数字+10)时被感染的人数。

(h) 分析上述模型的优缺点，试给出改进方案。