2020年山东省青岛市中考数学试卷和答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1．（3分）﹣4的绝对值是（　　）

A．4    B．﹣4    C．    D．

2．（3分）下列四个图形中，中心对称图形是（　　）

A．    B．    

C．    D．

3．（3分）2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米＝0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为（　　）

A．2.2×108    B．2.2×10﹣8    C．0.22×10﹣7    D．22×10﹣9

4．（3分）如图所示的几何体，其俯视图是（　　）

A．    B．    

C．    D．

5．（3分）如图，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是（　　）

A．（0，4）    B．（2，﹣2）    C．（3，﹣2）    D．（﹣1，4）

6．（3分）如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，AC交BD于点G．若∠COD＝126°，则∠AGB的度数为（　　）

A．99°    B．108°    C．110°    D．117°

7．（3分）如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O．若AE＝5，BF＝3，则AO的长为（　　）

A．    B．    C．2    D．4

8．（3分）已知在同一直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx和反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝x﹣b的图象可能是（　　）

A．    

B．    

C．    

D．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

9．（3分）计算：（﹣）×＝　   　．

10．（3分）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙两名应聘者进行了测试，测试成绩如下表所示．如果将学历、经验和工作态度三项得分按2：1：3的比例确定两人的最终得分，并以此为依据确定录用者，那么　   　将被录用（填甲或乙）． 

应聘者

12．（3分）抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数）与x轴交点的个数是　   　．

13．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在CD的延长线上，连接AE，点F是AE的中点，连接OF交AD于点G．若DE＝2，OF＝3，则点A到DF的距离为　   　．

14．（3分）如图，在△ABC中，O为BC边上的一点，以O为圆心的半圆分别与AB，AC相切于点M，N．已知∠BAC＝120°，AB+AC＝16，的长为π，则图中阴影部分的面积为　   　．

三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

15．（4分）已知：△ABC．

求作：⊙O，使它经过点B和点C，并且圆心O在∠A的平分线上．

四、解答题（本大题共9小题，共74分）

16．（8分）（1）计算：（+）÷（﹣）；

（2）解不等式组：

17．（6分）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：A，B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．

18．（6分）如图，在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头B，D，某海岛上的观测塔A距离海岸5海里，在A处测得B位于南偏西22°方向．一艘渔船从D出发，沿正北方向航行至C处，此时在A处测得C位于南偏东67°方向．求此时观测塔A与渔船C之间的距离（结果精确到0.1海里）．

（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈）

19．（6分）某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数直方图和扇形统计图．

请根据图中信息解答下列问题：

（1）补全频数直方图；

（2）在扇形统计图中，“70～80”这组的百分比m＝　   　；

（3）已知“80～90”这组的数据如下：81，83，84，85，85，86，86，86，87，88，88，．抽取的n名学生测试成绩的中位数是　   　分；

（4）若成绩达到80分以上（含80分）为优秀，请你估计全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数．

20．（8分）为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为480m3，该游泳池有甲、乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变．同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．

（1）根据图象求游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间的函数关系式，并写出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；

（2）现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水．已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍．求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时？

21．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．

（1）求证：△ADE≌△CBF；

（2）连接AF，CE．当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．

22．（10分）某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．

（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2+m（k≠0）表示．求该抛物线的函数表达式；

（2）现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2．已知GM＝2m，求每个B型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本）

（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大？最大利润是多少？

23．（10分）实际问题：

某商场为鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？

问题建模：

从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取a （1＜a＜n）个整数，这a个整数之和共有多少种不同的结果？

模型探究：

我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．

探究一：

（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？

表①

（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？

表②

（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有　   　种不同的结果．

（4）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有　   　种不同的结果．

探究二：

（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有　   　种不同的结果．

（2）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥4）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有　   　种不同的结果．

探究三：

从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥5）这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有　   　种不同的结果．

归纳结论：

从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取a（1＜a＜n）个整数，这a个整数之和共有　   　种不同的结果．

问题解决：

从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有　   　种不同的优惠金额．

拓展延伸：

（1）从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？（写出解答过程）

（2）从3，4，5，…，n+3（n为整数，且n≥2）这（n+1）个整数中任取a（1＜a＜n+1）个整数，这a个整数之和共有　   　种不同的结果．

24．（12分）已知：如图，在四边形ABCD和Rt△EBF中，AB∥CD，CD＞AB，点C在EB上，∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，延长DC交EF于点M．点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点M出发，沿MF方向匀速运动，速度为1cm/s．过点P作GH⊥AB于点H，交CD于点G．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．

解答下列问题：

（1）当t为何值时，点M在线段CQ的垂直平分线上？

（2）连接PQ，作QN⊥AF于点N，当四边形PQNH为矩形时，求t的值；

（3）连接QC，QH，设四边形QCGH的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；

（4）点P在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点P在∠AFE的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1．【解答】解：∵|﹣4|＝4，

∴﹣4的绝对值是4．

故选：A．

2．【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；

B、不是中心对称图形，不符合题意；

C、不是中心对称图形，不符合题意；

D、是中心对称图形，符合题意．

故选：D．

3．【解答】解：将0.000000022用科学记数法表示为2.2×10﹣8．

故选：B．

4．【解答】解：从上面看是一个矩形，矩形的中间处有两条纵向的实线，实线的两旁有两条纵向的虚线．

故选：A．

5．【解答】解：如图，

△A′B′C′即为所求，

则点A的对应点A′的坐标是（﹣1，4）．

故选：D．

6．【解答】解：∵BD是⊙O的直径，

∴∠BAD＝90°，

∵＝，

∴∠B＝∠D＝45°，

∵∠DAC＝∠COD＝×126°＝63°，

∴∠AGB＝∠DAC+∠D＝63°+45°＝108°．

故选：B．

7．【解答】解：∵矩形ABCD，

∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，

∴∠EFC＝∠AEF，

∴AE＝AF＝3，

由折叠得，FC＝AF，OA＝OC，

∴BC＝3+5＝8，

在Rt△ABF中，AB＝＝4，

在Rt△ABC中，AC＝＝4，

∴OA＝OC＝2，

故选：C．

8．【解答】解：∵二次函数开口向下，

∴a＜0；

∵二次函数的对称轴在y轴右侧，左同右异，

∴b符号与a相异，b＞0；

∵反比例函数图象经过一三象限，∴c＞0，

∴＜0，﹣b＜0，

∴一次函数y＝x﹣b的图象经过二三四象限．

故选：B．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

9．【解答】解：原式＝（2﹣）×

＝×

＝4，

故答案为：4．

10．【解答】解：∵＝＝，＝＝，

∴＜，

∴乙将被录用，

故答案为：乙．

11．【解答】解：∵AB垂直于x轴，垂足为B，

∴△OAB的面积＝|k|，

即|k|＝6，

而k＞0，

∴k＝12，

∴反比例函数为y＝，

∵点P（a，7）也在此函数的图象上，

∴7a＝12，解得a＝．

故答案为．

12．【解答】解：∵抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数），

∴当y＝0时，0＝2x2+2（k﹣1）x﹣k，

∴△＝[2（k﹣1）]2﹣4×2×（﹣k）＝4k2+4＞0，

∴0＝2x2+2（k﹣1）x﹣k有两个不相等的实数根，

∴抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数）与x轴有两个交点，

故答案为：2．

13．【解答】解：∵在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，

∴AO＝DO，∠ADC＝90°，

∴∠ADE＝90°，

∵点F是AE的中点，

∴DF＝AF＝EF＝AE，

∴OF垂直平分AD，

∴AG＝DG，

∴FG＝DE＝1，

∵OF＝2，

∴OG＝2，

∵AO＝CO，

∴CD＝2OG＝4，

∴AD＝CD＝4，

过A作AH⊥DF于H，

∴∠H＝∠ADE＝90°，

∵AF＝DF，

∴∠ADF＝∠DAE，

∴△ADH∽△AED，

∴＝，

∴AE＝＝＝2，

∴＝，

∴AH＝，

即点A到DF的距离为，

故答案为：．

14．【解答】解：如图，连接OM、ON，

∵半圆分别与AB，AC相切于点M，N．

∴OM⊥AB，ON⊥AC，

∵∠BAC＝120°，

∴∠MON＝60°，

∴∠MOB+∠NOC＝120°，

∵的长为π，

∴＝π，

∴r＝3，

∴OM＝ON＝r＝3，

连接OA，

在Rt△AON中，∠AON＝30°，ON＝3，

∴AN＝，

∴AM＝AN＝，

∴BM+CN＝AB+AC﹣（AM+AN）＝16﹣2，

∴S阴影＝S△OBM+S△OCN﹣（S扇形MOE+S扇形NOF）

＝3×（BM+CN）﹣（）

＝（16﹣2）﹣3π

＝24﹣3﹣3π．

故答案为：24﹣3﹣3π．

三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

15．【解答】解：如图所示：⊙O即为所求．

四、解答题（本大题共9小题，共74分）

16．【解答】解：（1）原式＝（+）÷（﹣）

＝÷

＝•

＝；

（2）解不等式2x﹣3≥﹣5，得：x≥﹣1，

解不等式x+2＜x，得：x＞3，

则不等式组的解集为x＞3．

17．【解答】解：用列表法表示所有可能出现的结果如下：

共有6种可能出现的结果，其中配成紫色的有3种，配不成紫色的有3种，

∴P（小颖）＝＝，

P（小亮）＝＝，

因此游戏是公平．

18．【解答】解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥AE于点F，

得矩形CDEF，

∴CF＝DE，

根据题意可知：

AE＝5，∠BAE＝22°，

∴BE＝AE•tan22°＝5×＝2，

∴DE＝BD﹣BE＝6﹣2＝4，

∴CF＝4，

在Rt△AFC中，∠CAF＝67°，

∴AC＝＝4×≈4.3（海里）．

答：观测塔A与渔船C之间的距离约为4.3海里．

19．【解答】解：（1）8÷16%＝50（人），50﹣4﹣8﹣10﹣12＝16（人），补全频数直方图如图所示：

（2）m＝10÷50＝20%，

故答案为：20%；

（3）将50个数据从小到大排列后，处在第25、26位的两个数的平均数为＝84.5，

因此中位数是84.5，

故答案为：84.5；

（4）1200×＝672（人），

答：全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生有672人．

20．【解答】解：（1）设y与t的函数解析式为y＝kt+b，

，

解得，，

即y与t的函数关系式是y＝140t+100，

同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是：（380﹣100）÷2＝140（m3/h）；

（2）∵单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍．

∴甲进水口进水的速度是乙进水口进水速度的，

∵同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是140m3/h，

∴甲进水口的进水速度为：140÷（+1）×＝60（m3/h），

480÷60＝8（h），

即单独打开甲进水口注满游泳池需8h．

21．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝CB，∠ADC＝∠CBA，

∴∠ADE＝∠CBF，

在△ADE和△CBF中，

，

∴△ADE≌△CBF（SAS）；

（2）当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是菱形，

理由：∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC，

∴∠ADB＝∠CBD，

∴∠ABD＝∠ADB，

∴AB＝AD，

∴平行四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∴AC⊥EF，

∵DE＝BF，

∴OE＝OF，

又∵OA＝OC，

∴四边形AFCE是平行四边形，

∵AC⊥EF，

∴四边形AFCE是菱形．

22．【解答】解：（1）∵长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．

∴OH＝AB＝3，

∴EO＝EH﹣OH＝4﹣3＝1，

∴E（0，1），D（2，0），

∴该抛物线的函数表达式y＝kx2+1，

把点D（2，0）代入，得k＝﹣，

∴该抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+1；

（2）∵GM＝2，

∴OM＝OG＝1，

∴当x＝1时，y＝，

∴N（1，），

∴MN＝，

∴S矩形MNFG＝MN•GM＝×2＝，

∴每个B型活动板房的成本是：

425+×50＝500（元）．

答：每个B型活动板房的成本是500元；

（3）根据题意，得

w＝（n﹣500）[100+]

＝﹣2（n﹣600）2+20000，

∵每月最多能生产160个B型活动板房，

∴100+≤160，

解得n≥620，

∵﹣2＜0，

∴n≥620时，w随n的增大而减小，

∴当n＝620时，w有增大值为19200元．

答：公司将销售单价n（元）定为620元时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大，最大利润是19200元．

23．【解答】解：探究一：

（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和最小值为1+2＝3，最大值为4+5＝9，这2个整数之和共有9﹣3+1＝7种不同情况；

故答案为：7；

（4）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和最小值为1+2＝3，最大值为n+n﹣1＝2n﹣1，这2个整数之和共有2n﹣1﹣3+1＝2n﹣3种不同情况；

故答案为：2n﹣3；

探究二：

（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和的最小值为1+2+3＝6，最大值为2+3+4＝9，这3个整数之和共有9﹣6+1＝4种不同情况；

故答案为：4；

（2）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥4）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和的最小值为1+2+3＝6，最大值为n+（n﹣1）+（n﹣2）＝3n﹣3，这3个整数之和共有3n﹣3﹣6+1＝3n﹣8种不同结果，

故答案为：3n﹣8；

探究三：

从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥5）这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和的最小值为1+2+3+4＝10，最大值为n+（n﹣1）+（n﹣2）+（n﹣3）＝4n﹣6，因此这4个整数之和共有4n﹣6﹣10+1＝4n﹣15种不同结果，

归纳总结：

从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥5）这n个整数中任取a个整数，这a个整数之和的最小值为1+2+…+a＝，最大值为n+（n﹣1）+（n﹣2）+（n﹣3）+…+（n﹣a+1）＝na﹣，因此这a个整数之和共有na﹣﹣+1＝a（n﹣a）+1种不同结果，

故答案为：a（n﹣a）+1；

问题解决：

将n＝100，a＝5，代入a（n﹣a）+1得；5×（100﹣5）+1＝476，

故答案为：476；

拓展延伸：

（1）设从1，2，3，…，36这36个整数中任取a个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果，由上述结论得，

a（36﹣a）+1＝204，解得，a＝7或a＝29；

答：从1，2，3，…，36这36个整数中任取7个整数或取29个整数，能使取出的这些整数之和共有204种不同的结果；

（2）根据上述规律，从（n+1）个连续整数中任取a个整数，这a个整数之和共有a（n+1﹣a）+1，

故答案为：a（n+1﹣a）+1．

24．【解答】解：（1）∵AB∥CD，

∴，

∴，

∴CM＝，

∵点M在线段CQ的垂直平分线上，

∴CM＝MQ，

∴1×t＝，

∴t＝；

（2）如图1，过点Q作QN⊥AF于点N，

∵∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，

∴AC＝＝＝10cm，EF＝＝＝10cm，

∵CE＝2cm，CM＝cm，

∴EM＝＝＝，

∵sin∠PAH＝sin∠CAB，

∴，

∴，

∴PH＝t，

同理可求QN＝6﹣t，

∵四边形PQNH是矩形，

∴PH＝NQ，

∴6﹣t＝t，

∴t＝3；

∴当t＝3时，四边形PQNH为矩形；

（3）如图2，过点Q作QN⊥AF于点N，

由（2）可知QN＝6﹣t，

∵cos∠PAH＝cos∠CAB，

∴，

∴，

∴AH＝t，

∵四边形QCGH的面积为S＝S梯形GMFH﹣S△CMQ﹣S△HFQ，

∴S＝×6×（8﹣t+6+8﹣t+）﹣××[6﹣（6﹣t）]﹣×（6﹣t）（8﹣t+6）＝﹣t2+t+；

（4）存在，

理由如下：如图3，连接PF，延长AC交EF于K，

∵AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，AC＝EF＝10cm，

∴△ABC≌△EBF（SSS），

∴∠E＝∠CAB，

又∵∠ACB＝∠ECK，

∴∠ABC＝∠EKC＝90°，

∵S△CEM＝×EC×CM＝×EM×CK，

∴CK＝＝，

∵PF平分∠AFE，PH⊥AF，PK⊥EF，

∴PH＝PK，

∴t＝10﹣2t+，

∴t＝，

∴当t＝时，使点P在∠AFE的平分线上．

观沧海

两汉：曹操

东临碣石，以观沧海。

水何澹澹，山岛竦峙。

树木丛生，百草丰茂。

秋风萧瑟，洪波涌起。

日月之行，若出其中；

星汉灿烂，若出其里。

幸甚至哉，歌以咏志。