2012年北京大学保送生数学真题及答案

1．已知数列为正项等比数列，且，求的最小值．

解：设数列的公比为，则，

．由知．

            ，

      当且仅当即时，有最小值．

2．已知为二次函数，且成正项等比数列，求证：．

证法一：设，数列的公比为，

则，

①   ②    ③

①②得，

②③得．

若，则；

若，则与矛盾．．

证法二：由成等比数列得，

        ．

        三点满足，

        三点共线，与三点在抛物线上矛盾，．

3．称四个顶点都落在三角形三边上的正方形叫三角形的内接正方形．若锐角三角形的三边满足，证明：这个三角形的内接正方形边长的最小值为．

 解：如图所示，设正方形的边长为，，

     ，．

     同理可得其它两用人才种情况下内接正方形边长为

     ．

，，

这个三角形的内接正方形边长的最小值为．

4．从点发出两条射线，已知直线交于两点，且（为定值），记中点为，

求证：的轨迹为双曲线．

解：以的角平分线所在直线为轴建立如图所示的直角坐标系．

   设，，，

   则，．

   ，

   得，

   的轨迹为双曲线．

5．已知满足，求证：，使．

   证明：用反证法，假设，．

         令，则，且．

                     与矛盾，

          ，使．