第23届“希望杯”全国数学邀请赛初二第二试试题及答案

第2试

一、选择题（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，

请将表示正确答案的英文字母写在后面的圆括号内。

1.实数满足： ； ； ，则的大小关系是（  ）

（A）         （B）

（C）         （D）

2.下列等式中不恒成立的是（  ）

(A)            (B) 

（C）               （D）

3.一组数据由五个正整数组成，中位数是4，且唯一的众数是7，则这五个正整数的平均数等于（  ）

（A）4.2或4.4     （B）4.4或4.6      （C）4.2或4.6      （D）4.2或4.4或4.6

4.化简：（  ）

（A）1           （B）          （C）         （D）2

5.Put 8 identical balls into 3 different boxes, each box has at least 2 balls. 

How many different ways to put the balls?(  )

(A)6        (B)12        (C)18        (D)36

(英汉词典：identical完全相同)

6.如图1，在平面直角坐标系内，A、B、C三点的坐标分别是（0，0），（4，0），（3，-2），以A、B、C

三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（  ）

（A）第一象限    （B）第二象限        （C）第三象限    （D）第四象限

7.如图2，设点A、B是反比例函数图象上的两点，AC、BD都垂直于y轴，垂足分别是C、D。

连接OA、OB，若OA交BD于点E，且的面积是2011，则梯形AEDC的面积是（  ）

（A）2009        （B）2010        （C）2011        （D）2012

8.如图3，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，P是AD上的动点，PEBD于F，则PE+PF的值是（  ）

（A）4.6        （B）4.8        （C）5        （D）7

9.设是实数，且，则的值是（  ）

（A）3        （B）-3        （C）    （D）无法确定的

10.循环节长度是4的纯循环小数化成最简分数后，分母是三位数，这样的循环小数有   （  ）

（A）798个        （B）8个        （C）900个        （D）998个

二、填空题（每小题4分，共40分）

11.若，计算：                 

12.若以x为未知数的方程的根是负数，则实数的取值范围是              

13.若是以x为未知数的方程的根，则m-n的值是          

14.正整数满足等式，那么          ，             

15.已知，则的值是              

16.已知点A（4，m），B（-1，n）在反比例函数的图象上，直线AB与x轴交于C，

如果点D在y轴上，且DA=DC，则点D的坐标是             

17.如图4，等腰直角中，，底边BC的长为10，点D在BC上，

从D作BC的垂线交AC于点E，交BA的延长线于点F，则DE＋DF的值是　　　　　　　　

18.如图5，在边长为6的菱形ABCD中，DEAB于点E，并且点E是AB的中点，

点F在线段AC上运动，则EF+FB的最小值是       ，最大值是           

19.若实数满足，则的值是         

20.Suppose  is a 6-digit number, are three different 1-digit numbers, 

and not less than 4. If M is a multiple of 7, then the minimum value of M is                

(英汉词典：multiple倍数)

三、解答题

每题都要写出推算过程

21.（本题满分10分）

如图6，直线交坐标轴于A、B两点，交双曲线于点D，从点D分别作两坐标轴的垂线DC、DE，垂足分别为C、E，连接BC、OD。

（1）求证：AD平分。

（2）对任意的实数，求证：AD·BD为定值。

（3）是否存在直线AB，使得四边形OBCD为平行四边形？若存在，求出直线的解析式；

若不存在，请说明理由。

22.（本题满分15分）

如图7，在一条平直的公路的前方有一陡峭的山壁，一辆汽车正以恒定的速度沿着公路向山壁驶去。

（1）若汽车的行驶速度是30m/s，在距离山壁925m处时汽车鸣笛一声，则经过多长时间后司机听到回声？

（2）某一时刻，汽车第一次鸣笛，经过4.5s再次鸣笛，若司机听到两次鸣笛的回声的时间间隔是4s，

求汽车的行驶速度。

（已知声音在空气中的传播速度是340m/s）

23.生产某产品要经过三道工序，同一个人在完成这三道工序时所用的时间相同，甲、乙二人同时开始生产，

一段时间后，甲恰好完成第k个产品的生产，此时，乙正好在进行某个产品的第一道工序的操作，

若甲、乙的生产效率比是6:5，问此时乙至少生产了多少产品？

参

一、选择题

21.（1）因为A、B是直线和坐标轴的交点，所

由及

得A（-b,0）,B(0,b)

所以

又DC⊥x轴，DE⊥y轴

所以∠CDE=

因此

即AD平分

（2）由（1）知和都是等腰直角三角形，所以

， 

即为定值。

（3）若存在直线AB，使得四边形OBCD为平行四边形，则

AO=AC，OB=CD

由（1）知AO=BO，AC=CD。

并且B（0，b）

所以得D（-2b,-b）

因为（正数舍去）

即存在直线AB：y=x-1，使得四边形OBCD为平行四边形。

22.（1）如图1，设经过ts后司机听到回声，则有30t+340t=2×925，解得t=5.

所以，经过5s后司机听到回声。

（2）设汽车的行驶速度是，声音传播的速度是，汽车两次鸣笛的时间间隔是；汽车第一次鸣笛时间后，司机第一次听到回声；汽车第二次鸣笛时间后，司机第二次听到回声；汽车第一次鸣笛时距离山壁为.

如图2，如果司机先听到第一次鸣笛的回声，则有

两式相减，得

即

司机两次听到回声的时间间隔是

代入数据，得

解得

如图3，如果司机先听到第二次鸣笛的回声，同理，得

司机两次听到回声的时间间隔是

代入数据，得

解得

这样的速度不切合实际。

所以，汽车的行驶速度是20m/s

23.设甲生产一个产品所用的时间为t，则乙生产一个产品所用的时间为。

用[a]表示不大于a的最大整数，{a}=a-[a],如[3.14]=3,{3.14}=0.14

甲生产k个产品所用的时间为kt，此时乙生产了个产品

由题知，乙正在进行某个产品的第一道工序的操作，所以

而可能取值是（见下表）

从表中可以看出，满足的最小的k的值是5，

因此，乙至少已经生产了=4个产品。