2017考研数学二真题及答案解析

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．

指定位置上.（1）

）若函数1cos ,0(),0x f x ax

b x ⎧->⎪

=⎨⎪≤⎩

在0x =处连续，则（）

(A)12

ab =

(B)12

ab =-

(C)0ab =(D)2

ab =【答案】A

【解析】001112lim lim ()2x x x

f x ax ax a ++

→→-== 在0x =处连续11.22

b ab a ∴=⇒=选A.（2）设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且''

()0f x >，则（

）

()()1

1

110

1

1

1

10()()0

()0()()()()()A f x dx B f x dx C f x dx f x dx

D f x dx f x dx

----><><⎰⎰⎰⎰⎰⎰【答案】B 【解析】

()f x 为偶函数时满足题设条件，此时01

1

()()f x dx f x dx -=⎰⎰，排除C,D.

取2

()21f x x =-满足条件，则

()1

1

2

1

1

2

()2103

f x dx x

dx --=-=-

<⎰

⎰

，选B.（3）设数列{}n x 收敛，则（

）

()A 当lim sin 0n n x →∞

=时，lim 0n n x →∞

=()B

当lim(0n n x →∞+

=时，lim 0

n n x →∞=()C 当2lim()0n n n x x →∞

+=时，lim 0

n n x →∞

=()D 当lim(sin )0n n n x x →∞

+=时，lim 0

n n x →∞

=【答案】D

【解析】特值法：（A ）取n x π=，有lim sin 0,lim n n n n x x π→∞

→∞

==，A 错；

取1n x =-，排除B,C.所以选D.（4）微分方程的特解可设为

（A ）22(cos 2sin 2)x

x Ae e B x C x ++（B ）22(cos 2sin 2)x

x Axe

e B x C x ++（C ）22(cos 2sin 2)

x

x Ae

xe B x C x ++（D ）22(cos 2sin 2)

x

x Axe

e B x C x ++【答案】A

【解析】特征方程为：2

1,248022i

λλλ-+=⇒=±222*2*212

()(1cos 2)cos 2,(cos 2sin 2),x x x x x

f x e x e e x y Ae y xe B x C x =+=+∴==+ 故特解为：***2212(cos 2sin 2),x

x y y y Ae

xe B x C x =+=++选C.

（5）设(,)f x y 具有一阶偏导数，且对任意的(,)x y ，都有

(,)(,)

0,0f x y f x y x y

∂∂>>∂∂，则（A ）(0,0)(1,1)f f >（B ）(0,0)(1,1)f f <（C ）(0,1)(1,0)f f >（D ）(0,1)(1,0)f f <【答案】C 【解析】

(,)(,)

0,0,(,)f x y f x y f x y x y

∂∂><⇒∂∂是关于x 的单调递增函数，是关于y 的单调递减函数，所以有(0,1)(1,1)(1,0)f f f <<，故答案选D.

（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（

）

（A ）010t =（B ）01520t <<（C ）025t =（D ）025

t >【答案】B

【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为

120

(t),(t),t t v dt v dt ⎰

⎰则乙要追上甲，则

210

(t)v (t)10t v dt -=⎰

，当025t =时满足，故选C.

（7）设A 为三阶矩阵，123(,,)P ααα=为可逆矩阵，使得1

012P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

，

则123(,,)A ααα=（）

（A ）12αα+（B ）23

2αα+（C ）23

αα+（D ）12

2αα+【答案】B

【解析】

11231232300011(,,)(,,)12222P AP AP P A αααααααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪

=⇒=⇒==+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

,

因此B 正确。

（8）设矩阵200210100021,020,020*********A B C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

,则（）（A ）,A C B C 与相似与相似（B ）,A C B C 与相似与不相似（C ）,A C B C 与不相似与相似

（D ）,A C B C 与不相似与不相似

【答案】B 【解析】由

0E A λ-=可知A 的特征值为2,2,1,

因为3(2)1r E A --=，∴A 可相似对角化，即100~020002A ⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

由0E B λ-=可知B 特征值为2,2,1.

因为3(2)2r E B --=，∴B 不可相似对角化，显然C 可相似对角化，∴~A C ，但B 不相似于C.

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．

指定位置上.

(9)曲线21arcsin y x x ⎛⎫

=+ ⎪⎝

⎭

的斜渐近线方程为_______【答案】2y x =+【解析】

()22lim

lim(1arcsin )1,lim lim arcsin 2,2

x x x x y y x x x x x y x →∞→∞→∞→∞=+=-==∴=+ (10)设函数()y y x =由参数方程sin t x t e y t ⎧=+⎨=⎩确定，则22

t d y

dx ==______【答案】1

8

-【解析】

()

'

220222

cos cos ,11cos sin (1)cos 118

1t t

t t

t t t dy dx dy t t e dt dt dx e t d y t e te d y e dx dx dx e dt

===+⇒=+⎛⎫

⎪-+-+⎝⎭⇒==⇒=-

+(11)

2

ln(1)

(1)x dx x +∞

+=+⎰

_______

【答案】1【解析】

20

20

2

ln(1)1

ln(1)(1)1ln(1)1

1(1)1

1.(1)

x dx x d x x x dx x

x dx x +∞

+∞

+∞

+∞+∞

+=-+++⎤+⎡=--

⎥⎢

++⎣⎦

=

=+⎰

⎰⎰

⎰

(12)设函数(,)f x y 具有一阶连续偏导数，且(,)(1)y

y

df x y ye dx x y e dy =++，(0,0)0f =，则

(,)______

f x y =【答案】y

xye

【解析】,(1),(,)(),y

y

y y x y f ye f x y e f x y ye dx xye c y ''==+=

=+⎰

故

()y y y y y f xe xye c y xe xye ''=++=+，

因此()0c y '=，即()c y C =，再由(0,0)0f =，可得(,).y

f x y xye =【答案】【解析】（13）

1

1

tan ______y x

dy dx x

=⎰

⎰

【答案】ln cos1.

【解析】交换积分次序：

1

1

110000tan tan tan ln cos1x y x

x dy dx dx dy xdx x x ===⎰⎰⎰⎰⎰.（14）设矩阵41212311A a -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥-⎣⎦的一个特征向量为112⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

，则_____a =【答案】-1

【解析】设112α⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，由题设知A αλα=，故4121111211323112222a a λλλλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⇒+= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

故1a =-.

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10

分）求极限0

lim t x dt +

→【答案】

2

3

【解析】0

x

t x dt →，令x t u -=

，则有

t x u x u x dt du du

++=-=⎰

⎰⎰

3300

2

2

3

1

2

2=lim

lim

2lim

lim

3

32

x

x u x u x x u x x x du e du x

x

du x

x +→→→→====

⎰

⎰

⎰原式（16）（本题满分10分）设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(,cos )x

y f e x =，求

x dy

dx

=，220

x d y dx =【答案】

2'''1112

(1,1),(1,1),x x dy

d y

f f dx

dx

====【解析】

()()

'''''121210

2''2''''''2''111221221222''''111220

(,cos )(0)(1,1)sin (1,1)1(1,1)0(1,1)

(sin )(sin )sin cos (1,1)(1,1)(1,1)x x

x x x x x x x x y f e x y f dy

f e f x f f f dx

d y f

e

f e x f e x f x f e f x dx d y f f f dx =====⇒=⇒=+-=⋅+⋅=⇒=+-+-++-⇒=+-结论：

'10

2''''11122

(1,1)

(1,1)(1,1)(1,1)

x x dy f dx

d y

f f f dx ====+-（17）（本题满分10分）求21

lim

ln 1n

n k k k n n →∞=⎛⎫

+ ⎪⎝⎭∑【答案】1

4

【解析】

2111

22

10

2000

111

111

lim ln(1)ln(1)ln(1)(ln(1))2214

n

n k k k x x x dx x dx x x dx n

n x →∞=-++=+=+=+⋅-=+∑⎰⎰⎰

（18）（本题满分10分）已知函数()y x 由方程3

3

3320x y x y +-+-=确定，求()y x 的极值

【答案】极大值为(1)1y =，极小值为(1)0y -=【解析】

两边求导得：

2233'33'0

x y y y +-+=（1）

令'0y =得1x =±对（1）式两边关于x 求导得

()2

266'3''3''0

x y y y y y +++=（2）

将1x =±代入原题给的等式中，得11

10x x or y y ==-⎧⎧⎨

⎨==⎩⎩

，将1,1x y ==代入（2）得''(1)10y =-<将1,0x y =-=代入（2）得''(1)20

y -=>故1x =为极大值点，(1)1y =；1x =-为极小值点，(1)0

y -=（19）（本题满分10分）设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且0

()

(1)0,lim 0x f x f x

+

→><，证明：()I 方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根；

()∏方程2''()()(())0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。

【答案】【解析】

（I ）()f x 二阶导数，0

()

(1)0,lim 0x f x f x

+

→><解：1）由于0()

lim 0x f x x

+

→<，根据极限的保号性得

0,(0,)x δδ∃>∀∈有()

0f x x

<，即()0

f x <进而()0(0,)0

x f δδ∃∈<有又由于()f x 二阶可导，所以()f x 在[0,1]上必连续

那么()f x 在[,1]δ上连续，由()0,(1)0f f δ<>根据零点定理得：至少存在一点(,1)ξδ∈，使()0f ξ=，即得证

（II ）由（1）可知(0)0f =，(0,1),()0f ξξ∃∈=使，令()()'()F x f x f x =，则(0)()0

f f ξ==

由罗尔定理(0,),'()0f ηξη∃∈=使，则(0)()()0F F F ηξ===，对()F x 在(0,),(,)ηηξ分别使用罗尔定理：

12(0,),(,)ηηηηξ∃∈∈且1212,(0,1),ηηηη∈≠，使得12'()'()0F F ηη==，即()2

'()()''()'()0F x f x f x f x =+=在(0,1)至少有两个不同实根。

得证。

（20）（本题满分11分）已知平面区域(){}22,|2,D x y x y y =

+≤计算二重积分()2

1D

x dxdy +⎰⎰。

【答案】

54

π

【解析】

()()2

2sin 2

22220

51122cos 4

D

D

D

D

x dxdy x

dxdy x dxdy dxdy d r d πθπθθθπ+=+=+=+=

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

（21）（本题满分11分）设()y x 是区间30,

2⎛

⎫

⎪⎝

⎭

内的可导函数，且(1)0y =，点P 是曲线L:()y y x =上任意一点，L 在点P 处的切线与y 轴相交于点()

0,p Y ，法线与x 轴相交于点()

,0p X ，若p p X Y =，求L 上点的坐标(),x y 满足的方程。【答案】

【解析】设(),()p x y x 的切线为()()()Y y x y x X x '-=-，令0X =得()()p Y y x y x x '=-，法线

()1

()()

Y y x X x y x -=-

-',令0Y =得()()p X x y x y x '=+。由p p X Y =得()()y xy x x yy x ''-=+，即1()1y y y x x x ⎛⎫'

+=- ⎪

⎝⎭。令y u x =，则y ux =，按照齐次微分方程的解法不难解出21

ln(1)arctan ln ||u u x C x

++=-+,（22）（本题满分11分）设3阶矩阵()123,,A ααα=有3个不同的特征值，且3122ααα=+。

()I 证明：()2

r A =()∏若123βααα=++，求方程组Ax β=的通解。

【答案】（I ）略；（II ）通解为1121,11k k R ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪

+∈ ⎪ ⎪

⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

【解析】

（I ）证明：由3122ααα=+可得12320ααα+-=，即123,,ααα线性相关，因此，1230A ααα==，即A 的特征值必有0。

又因为A 有三个不同的特征值，则三个特征值中只有1个0，另外两个非0.

且由于A 必可相似对角化，则可设其对角矩阵为1212,00λλλλ⎛⎫ ⎪

Λ=≠≠ ⎪ ⎪⎝

⎭

∴()()2

r A r =Λ=（II ）由（1）()2r A =，知3()1r A -=，即0Ax =的基础解系只有1个解向量，

由12320ααα+-=可得()12311,,22011A ααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则0Ax =的基础解系为121⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，又123βααα=++，即()12311,,1111A αααβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭，则Ax β=的一个特解为111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

，综上，Ax β=的通解为1121,11k k R ⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

（23）（本题满分11分）设二次型2

2

2

123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换

X QY =下的标准型221122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q .

【答案】22

122;0,36 a Q f x Qy y y ⎛ ==-

=-+ ⎝【解析】

123(,,)T f x x x X AX =，其中21411141A a -⎛⎫

⎪=- ⎪

⎪-⎝⎭

由于123(,,)T f x x x X AX =经正交变换后，得到的标准形为22

1122

y y λλ+，

故2

14

()2||01

11024

1

r A A a a

-=⇒=⇒-=⇒=-，将2a =代入，满足()2r A =，因此2a =符合题意，此时214111412A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭

，则123214

||11103,0,12

E A λλλλλλλ---=-+-=⇒=-==--，

由(3)0E A x --=，可得A 的属于特征值-3的特征向量为1111α⎛⎫

⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭；由(6)0E A x -=，可得A 的属于特征值6的特征向量为2101α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭由(0)0E A x -=，可得A 的属于特征值0的特征向量为3121α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

令()

123,,P ααα=，则1360P AP --⎛⎫ ⎪= ⎪

⎪⎝⎭

，由于123,,ααα彼此正交，故只需单位化即可

：

)

))

1231,1,1,1,0,1,1,2,1,T

T

T

βββ=

-=

-=

，

则(

)1230Q βββ⎛ ==-

⎝，360T

Q AQ -⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

22

12312

(,,) 36x Qy f x x x y y =-+