探索图形规律(含解析)

一、单选题

1.观察下列一组图形，其中图形①有2颗星，图形②有6颗星，图形③有11颗星，图形④有17颗星，…，按此规律，图形⑦中星星的颗数是（）

A. 24

B. 32

C. 41

D. 51

2.如图，是用火柴棒摆出的一系列三角形图案（当r=1时，火柴棒为3根）按这种方法摆下去，当每边上摆10根（即r﹦10）时，需要火柴棒总数为（）

A. 55

B. 110

C. 165

D. 220

3.观察下列一组图形，其中图1有6个小黑点，图2有16个小黑点，图3有31个小黑点，…，按此规律，图5中小黑点的个数是（）

A. 46

B. 51

C. 61

D. 76

4.如图，小桥用黑白棋子组成的一组图案，第1个图案由1个黑子组成，第2个图案由1个黑子和6个白子组成，第3个图案由13个黑子和6个白子组成，按照这样的规律排列下去，则第8个图案有（）和黑子．

A. 37

B. 42

C. 73

D. 1215.如图，下面是按照一定规律画出的“树形图”，经观察可以发现：图A2比图A1多出2个“树枝”，图A3比图A2多出4个“树枝”，图A4比图A3多出8个“树枝”，…，照此规律，图A6比图A2多出“树枝”（）

A. 28个

B. 56个

C. 60个

D. 124个

6.如图图形是不同大小的三角形按一定的规律所组成的，其中第①个图形中一共有5个三角形，第②个图形中一共有17个三角形，第③个图形中一共有53，…，按此规律排列下去，第④图形中三角形个数为（）

A. 121

B. 131

C. 151

D. 161

7.如图①，四边形ABCD中，BC∥AD，∠A=90°，点P从A点出发，沿折线AB→BC→CD运动，到点D时停止，已知△PAD的面积s与点P运动的路程x的函数图象如图②所示，则点P从开始到停止运动的总路程为（）

A. 4

B. 2+

C. 5

D. 4+

8.如图，观察图形，找出规律，确定第四个图形是（）

A. B. C.

D.

9.用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去．则第n个图形需要棋子（）

A. 4n枚

B. 4n﹣1枚

C. 3n+1枚

D. 3n﹣1枚

10.如图是一个沿3×3正方形方格纸的对角线AB剪下的图形，一质点P由A点出发，沿格点线每次向右或向上运动1个单位长度，则点P由A点运动到B点的不同路径共有（）

A. 4条

B. 5条

C. 6条

D. 7条

11.下列图形都是由圆和几个黑色围棋子按一定规律组成，图①中有4个黑色棋子，图②中有7个黑色棋子，图③中有10个黑色棋子，…，依次规律，图⑨中黑色棋子的个数是（）

A. 23

B. 25

C. 26

D. 28

12.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数1007应标在（）

A. 第252个正方形的左上角

B. 第252个正方形的右下角

C. 第251个正方形的左上角

D. 第521个正方形的右下角二、填空题

13.如图，是用火柴棍摆出的一系列三角形图案，按这种方式摆下去，摆第5个图形时，需要的火柴棍为________根．

14.探索规律：用棋子按如图所示的方式摆正方

形．

按照这种方式摆下去，摆第20个正方形需要________个棋子．

15.如图，在平面直角坐标系中，.把一条长为2016个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按

A→B→C→D→A 的规律紧绕在四边ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是

________ .

16.“皮克定理”是用来计算顶点在整点的多边形面积的公式，公式表达式为S=a+﹣1，孔明只记得公式中的S表示多边形的面积，a和b中有一个表示多边形边上（含顶点）的整点个数，另一个表示多边形内部的整点个数，但不记得究竟是a还是b表示多边形内部的整点个数，请你选择一些特殊的多边形（如图1）进行验证，得到公式中表示多边形内部的整点个数的字母是a，并运用这个公式求得图2中多边形的面积是________ ．

17.如图，在图1中，互不重叠的三角形共有4个，在图2中，互不重叠的三角形共有7个，在图3中，互不重叠的三角形共有10个，…，则在第n个图形中，互不重叠的三角形共有个________（用含n的代数式表示）

18.图为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B，C，D.请你按图中箭头所指方向（即

A→B→C→D→C→B→A→B→C → … 的方式）从A 开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到时，对应的字母是________；当字母C第次出现时，恰好数到的数是________；当字母C第次出现时（为正整数），恰好数到的数是________（用含的代数式表示）.

三、解答题

19.如图所示，已知前两个天平两端保持平衡.要使第三个天平两端保持平衡，天平的右边应放几个圆形？请写出你的思路.

20.两条平行线上共有k个点，用这k个点恰可以连接1309个三角形，那么k是多少？

四、综合题

21.观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：

（1）认真观察，并在④后面的横线上写出相应的等式．

①1=1 ②1+2= =3 ③1+2+3= =6 ④________

（2）结合（1）观察下列点阵图，并在⑤后面的横线上写出相应的等式．

1=12②1+3=22③3+6=32④6+10=42⑤________

（3）通过猜想，写出（2）中与第n个点阵相对应的等式________．

22.将图1中的菱形剪开得到图2，则图2有4个菱形；将图2中的一个菱形剪开得到图3，则图3有7个菱形，…如此剪下去，请结合图形解决问题

（1）按图示规律填写下表：

（2）按照这种方式剪下去，则第n个图有________个菱形．

（3）按照这种方式剪下去，则第2017个图有________个菱形．

答案解析部分

一、单选题

1.观察下列一组图形，其中图形①有2颗星，图形②有6颗星，图形③有11颗星，图形④有17颗星，…，按此规律，图形⑦中星星的颗数是（）

A. 24

B. 32

C. 41

D. 51

【答案】C

【考点】探索图形规律

【解析】【解答】解：设图形n中星星的颗数是a n（n为正整数），

∵a1=2=1+1，a2=6=（1+2）+3，a3=11=（1+2+3）+5，a4=17=（1+2+3+4）+7，

∴a n=1+2+…+n+（2n﹣1）= +（2n﹣1）= + n﹣1，

∴a7= ×72+ ×7﹣1=41．

故选C．

【分析】设图形n中星星的颗数是a n（n为正整数），列出部分图形中星星的个数，根据数

据的变化找出变化规律“ + n﹣1”，依此规律即可得出结论．

2.如图，是用火柴棒摆出的一系列三角形图案（当r=1时，火柴棒为3根）按这种方法摆下去，当每边上摆10根（即r﹦10）时，需要火柴棒总数为（）

A. 55

B. 110

C. 165

D. 220

【答案】C

【考点】探索图形规律

【解析】

【分析】图形从上到下可以分成几行，第n行中，斜放的火柴有2n根，下面横放的有n根，因而图形中有n排三角形时，火柴的根数是：斜放的是2+4+…+2n=2（1+2+…+n)，横放的是：1+2+3+…+n，则每排放n根时总计有火柴数是：3（1+2+…+n)=．把n=10代入就可以求出．

【解答】根据题意得出规律每排放n根时总计有火柴数是：3（1+2+…+n)=，

当每边摆10根（即n=10)时，需要的火柴棒总数为．

故选C．

3.观察下列一组图形，其中图1有6个小黑点，图2有16个小黑点，图3有31个小黑点，…，按此规律，图5中小黑点的个数是（）

A. 46

B. 51

C. 61

D. 76

【答案】D

【考点】探索图形规律

【解析】【解答】解：由图形1、2、3可以看出，

第1个图形小黑点的个数：5×1+1=6；

第2个图形小黑点的个数：5×（1+2）+1=16；

第3个图形小黑点的个数：5×（1+2+3）+1=31；

所以第5个图形小黑点的个数：5×（1+2+3+4+5）+1=76．

故选：D．

【分析】第1个图形小黑点的个数：5×1+1=6；第2个图形小黑点的个数：5×（1+2）+1=16；第3个图形小黑点的个数：5×（1+2+3）+1=31；找出规律即可得到图5中小黑点的个数．4.如图，小桥用黑白棋子组成的一组图案，第1个图案由1个黑子组成，第2个图案由1个黑子和6个白子组成，第3个图案由13个黑子和6个白子组成，按照这样的规律排列下去，则第8个图案有（）和黑子．

A. 37

B. 42

C. 73

D. 121

【答案】C

【考点】探索图形规律

【解析】【解答】解：第1、2图案中黑子有1个，第3、4图案中黑子有1+2×6=13个，

第5、6图案中黑子有1+2×6+4×6=37个，

第7、8图案中黑子有1+2×6+4×6+6×6=73个，

故答案为：C．

【分析】这是一道寻求规律的题，观察图形得到1、2图案中黑子有一个，第三第四个图案中黑子有13个，第5、6图案中黑子有37个，利用规律可知第7、8图案中黑子有73个。

5.如图，下面是按照一定规律画出的“树形图”，经观察可以发现：图A2比图A1多出2个“树枝”，图A3比图A2多出4个“树枝”，图A4比图A3多出8个“树枝”，…，照此规律，图A6比图A2多出“树枝”（）

A. 28个

B. 56个

C. 60个

D. 124个【答案】C

【考点】探索图形规律

【解析】【解答】图A2比图A1多出2个“树枝”，图A3比图A2多出4个“树枝”，图A4比图

A3多出8个“树枝”，…，A6比图A2多出“树枝”4+8+16+32=60个，

故选C．

【分析】通过观察已知图形可以发现：图A2比图A1多出2个“树枝”，图A3比图A2多出4

个“树枝”，图A4比图A3多出8个“树枝”，…，以此类推可得：A6比图A2多出“树枝”4+8+16+32个此题考查了平面图形，主要培养学生的观察能力和空间想象能力．

6.如图图形是不同大小的三角形按一定的规律所组成的，其中第①个图形中一共有5个三

角形，第②个图形中一共有17个三角形，第③个图形中一共有53，…，按此规律排列下去，第④图形中三角形个数为（）

A. 121

B. 131

C. 151

D. 161

【答案】D

【考点】探索图形规律

【解析】【解答】解：∵第①个图形中一共有5个三角形，第②个图形中三角形数17=2+3×5，第③个图形中三角形数53=2+3×17，∴第④个图形中三角形数为2+3×53=161，

故选：D．

【分析】根据第②个图形中三角形数17=2+3×5，第③个图形中三角形数53=2+3×17，可得第④个图形中三角形的个数为2+3×53．

7.如图①，四边形ABCD中，BC∥AD，∠A=90°，点P从A点出发，沿折线AB→BC→CD运动，到点D时停止，已知△PAD的面积s与点P运动的路程x的函数图象如图②所示，则点P从开始到停止运动的总路程为（）

A. 4

B. 2+

C. 5

D. 4+

【答案】D

【考点】探索图形规律

【解析】【解答】解：作CE⊥AD于点E，如下图所示，

由图象可知，点P从A到B运动的路程是2，当点P与点B重合时，△ADP的面积是5，由B到C运动的路程为2，

∴，

解得，AD=5，

又∵BC∥AD，∠A=90°，CE⊥AD，

∴∠B=90°，∠CEA=90°，

∴四边形ABCE是矩形，

∴AE=BC=2，

∴DE=AD﹣AE=5﹣2=3，

∴CD= ，

∴点P从开始到停止运动的总路程为：AB+BC+CD=2+2+ =4+ ，

故选D．

【分析】根据函数图象可以直接得到AB、BC和三角形ADB的面积，从而可以求得AD的长，作辅助线AE⊥AD，从而可得CD的长，进而求得点P从开始到停止运动的总路程，本题得以解决．

8.如图，观察图形，找出规律，确定第四个图形是（）

A. B. C.

D.

【答案】C

【考点】探索图形规律

【解析】【解答】解：观察图形，发现（1）（2）（3）每次逆时针方向旋转90°，依次规律第四个图形应为C．

故选：C．

【分析】根据（1）（2）（3）可以看出图形每次逆时针方向旋转90°，按此规律不难作出判断．

9.用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去．则第n个图形需要棋子（）

A. 4n枚

B. 4n﹣1枚

C. 3n+1枚

D. 3n﹣1枚【答案】C

【考点】探索图形规律

【解析】【解答】解：第1个图形需要棋子数为1+3，

第2个图形需要棋子数为1+3×2，

第3个图形需要棋子数为1+3×3，

…

所以第n个图形需要棋子数为1+3•n，即3n+1．

故选C．

【分析】易得：第1个图形需要棋子数为1+3，观察发现后面每个图形比它前面的图形多3个黑色棋子，然后找出3的倍数与序号数的关系即可得到第n个图形需要棋子数．10.如图是一个沿3×3正方形方格纸的对角线AB剪下的图形，一质点P由A点出发，沿格点线每次向右或向上运动1个单位长度，则点P由A点运动到B点的不同路径共有（）

A. 4条

B. 5条

C. 6条

D. 7条【答案】B

【考点】探索图形规律

【解析】【解答】解：如图，将各格点分别记为1、2、3、4、5、6、7，

画树状图如下：

由树状图可知点P由A点运动到B点的不同路径共有5种，

故答案为：B．

【分析】如图，将各格点分别记为1、2、3、4、5、6、7，根据题意用树状图形象的表示出点P由A点运动到B点的不同路径，由图即可得出答案。

11.下列图形都是由圆和几个黑色围棋子按一定规律组成，图①中有4个黑色棋子，图②中有7个黑色棋子，图③中有10个黑色棋子，…，依次规律，图⑨中黑色棋子的个数是（）

A. 23

B. 25

C. 26

D. 28

【答案】D

【考点】探索图形规律

【解析】【解答】解：∵图①中有3+1=4个黑色棋子，

图②中有3×2+1=7个黑色棋子，

图③中有3×3+1=10个黑色棋子，

…

图n中黑色棋子的个数是3n+1，

由此图⑨中黑色棋子的个数是3×9+1=28．

故选：D．

【分析】由题意可知：图①中有3+1=4个黑色棋子，图②中有3×2+1=7个黑色棋子，图③中有3×3+1=10个黑色棋子，…，依次规律，图n中黑色棋子的个数是3n+1，由此进一步求得答案即可．

12.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数1007应标在（）

A. 第252个正方形的左上角

B. 第252个正方形的右下角

C. 第251个正方形的左上角

D. 第521个正方形的右下角

【答案】C

【考点】探索图形规律

【解析】【分析】观察发现：去掉第一个图后，从第2个图形开始，正方形的左下角是4的倍数，左上角是4的倍数余3，右下角是4的倍数余1，右上角是4的倍数余2．

【解答】通过观察发现：正方形的左下角是4的倍数，左上角是4的倍数余3，右下角是4的倍数余1，右上角是4的倍数余2

∵1007÷4=251…3，

∴数1007应标在第251个正方形的左上角．

故选C．

【点评】此题主要考查学生对图形的变化类这一知识点的理解和掌握，根据前面的数值发现正方形的每个角的规律，这是解答此题的关键，然后再进一步计算．

二、填空题

13.如图，是用火柴棍摆出的一系列三角形图案，按这种方式摆下去，摆第5个图形时，需要的火柴棍为________根．

【答案】45

【考点】探索图形规律

【解析】【解答】解：当n=1时，需要火柴3×1=3；当n=2时，需要火柴3×（1+2）=9；当n=3时，需要火柴3×（1+2+3）=18，…，依此类推，第n个图形共需火柴3×（1+2+3+…+n）

= ．

当n=5时，原式=45．

【分析】结合图形计算前三个图形中的火柴数时，即可发现规律。

14.探索规律：用棋子按如图所示的方式摆正方

形．

按照这种方式摆下去，摆第20个正方形需要________个棋子．

【答案】80

【考点】探索图形规律

【解析】【解答】解：设n表示第n个正方形，当n=1时，共需要棋子4个，

当n=2时，共需要棋子（4+4）个，

当n=3时，共需要棋子（4+4+4）个，

故第n个正方形共需要棋子4n个，

所以当n=20时，共需要80个棋子

故答案为：80

【分析】根据图形可知，每一个正方形所需要的棋子比前一个多4个．

15.如图，在平面直角坐标系中，.把一条长为2016个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按

A→B→C→D→A 的规律紧绕在四边ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是

________ .

【答案】（0，－2）

【考点】探索图形规律

【解析】【解答】解：∵A(1，1)，B(−1，1)，C(−1，−2)，D(1，−2)，

∴AB=1−(−1)=2，BC=1−(−2)=3，CD=1−(−1)=2，DA=1−(−2)=3，

∴绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3=10，

2016÷10=201余6，

∴细线另一端在绕四边形第202圈的第6个单位长度的位置，即CD中间的位置，

∴细线另一端所在位置的点的坐标为(0，−2)，

故答案为：（0，－2）.

16.“皮克定理”是用来计算顶点在整点的多边形面积的公式，公式表达式为S=a+﹣1，孔明只记得公式中的S表示多边形的面积，a和b中有一个表示多边形边上（含顶点）的整点个数，另一个表示多边形内部的整点个数，但不记得究竟是a还是b表示多边形内部的整点个数，请你选择一些特殊的多边形（如图1）进行验证，得到公式中表示多边形内部的整点个数的字母是a，并运用这个公式求得图2中多边形的面积是________ ．

【答案】17.5

【考点】探索图形规律

【解析】【解答】解：如图1，

∵三角形内由1个格点，边上有8个格点，面积为4，即4=1+﹣1；

矩形内由2个格点，边上有10个格点，面积为6，即6=2+﹣1；

∴公式中表示多边形内部整点个数的字母是a；

图2中，a=15，b=7，故S=15+﹣1=17.5．

故答案为：a，17.5．

【分析】分别找到图1中图形内的格点数和图形上的格点数后与公式比较后即可发现表示图上的格点数的字母，图2中代入有关数据即可求得图形的面积．

17.如图，在图1中，互不重叠的三角形共有4个，在图2中，互不重叠的三角形共有7个，在图3中，互不重叠的三角形共有10个，…，则在第n个图形中，互不重叠的三角形共有个________（用含n的代数式表示）

【答案】3n+1

【考点】探索图形规律

【解析】【解答】解：根据题意，结合图形，显然后一个图总比前一个图多3个三角形．则在第n个图形中，互不重叠的三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1．

【分析】结合图形进行观察，发现前后图形中三角形个数的关系．

18.图为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B，C，D.请你按图中箭头所指方向（即

A→B→C→D→C→B→A→B→C → … 的方式）从A 开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到时，对应的字母是________；当字母C第次出现时，恰好数到的数是________；当字母C第次出现时（为正整数），恰好数到的数是________（用含的代数式表示）.

【答案】B；603；

【考点】探索图形规律

【解答】由题意可得，一个循环为A→B→C→D→C→B，即六个数一个循环，∵12÷6=2，【解析】

∴当数到12时，对应的字母是B；由题意可得，一个循环中C出现两次，∴201÷2=100…1，∴当字母C第201次出现时，恰好数到的数是：6×100+3=603，∵（2n+1）÷2=n…1，∴当字母C第2n+1次出现时（为正整数），恰好数到的数是：6n+3，故答案是：B，603，6n+3．【分析】由题意可得，一个循环为A→B→C→D→C→B，即六个数一个循环，当数到12时，对应的字母是B；由题意可得，一个循环中C出现两次，当字母C第201次出现时，恰好数到的数是6×100+3，当字母C第2n+1次出现时，恰好数到的数是6n+3.

三、解答题

19.如图所示，已知前两个天平两端保持平衡.要使第三个天平两端保持平衡，天平的右边应放几个圆形？请写出你的思路.

【答案】解：⑴由第一个天平可得3○＝□＋3▲①；

⑵由第二个天平可得2□＝○＋4▲②；

⑶3×②－4×①可消去▲，从而等到□与○的等量关系：3○=2□，进而求出第三个天平右边应放圆形的个数为3个.

【考点】探索图形规律

【解析】【分析】观察图形可得第一个天平可得3○＝□＋3▲ ①，第二个天平可得2□＝○＋4▲②；3×②－4×①可消去▲，从而等到□与○的等量关系，进而求出第三个天平右边应放圆形的个数为3个.

20.两条平行线上共有k个点，用这k个点恰可以连接1309个三角形，那么k是多少？【答案】24

【考点】探索图形规律

【解析】【解答】解：设一条直线上有a个点，则另一条线上有k-a个点，

由组合原理a(k-a)(k-a-1)/2+a(a-1)(k-a)/2=1309

即a(k-a)(k-2)=7×17×22

分析k-2=22，k=24

a=7 k-a=17

符合条件

故k为24

【分析】设一条直线上有a个点，则另一条线上有k-a个点，由组合原理得出

a(k-a)(k-2)=7×17×22，从而得出答案。

四、综合题

21.观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：

（1）认真观察，并在④后面的横线上写出相应的等式．

①1=1 ②1+2= =3 ③1+2+3= =6 ④________

（2）结合（1）观察下列点阵图，并在⑤后面的横线上写出相应的等式．

1=12②1+3=22③3+6=32④6+10=42⑤________

（3）通过猜想，写出（2）中与第n个点阵相对应的等式________．

【答案】（1）1+2+3+4==10

（2）10+15=52

（3）

【考点】探索图形规律

【解析】【解答】解：（1）根据题中所给出的规律可知：1+2+3+4＝＝10；

（2 ）由图示可知点的总数是5×5=25，所以10+15=52．

（3 ）由（1）（2）可知

【分析】（1）根据①②③观察会发现第四个式子的等号的左边是1+2+3+4，右边分子上是

，从而得到答案；

（2）通过观察发现左边是10+15，右边是25即5的平方；

（3）过对一些特殊式子进行整理、变形、观察、比较，归纳出一般规律．

22.将图1中的菱形剪开得到图2，则图2有4个菱形；将图2中的一个菱形剪开得到图3，则图3有7个菱形，…如此剪下去，请结合图形解决问题

（1）按图示规律填写下表：

（2）按照这种方式剪下去，则第n个图有________个菱形．

（3）按照这种方式剪下去，则第2017个图有________个菱形．

【答案】（1）10；13

（2）（3n﹣2）

（3）6049

【考点】探索图形规律

【解析】【解答】解：（1）按图示规律填写下表：

（2.）第1个图形有菱形1个，

第2个图形有菱形4=1+3个，

第3个图形有菱形7=1+3×2个，

第4个图形有菱形10=1+3×3个，

…，

第n个图形有菱形1+3（n﹣1）=（3n﹣2）个，

故答案为：（3n﹣2）．（3）第2017个图有菱形的个数为3×2017﹣2=6049，

故答案为：6049．

【分析】（1）观察图形可知，每剪开一次多出3个菱形，然后写出前4个图形中菱形的个数，

（3）将n=2017，（2）根据（1）中规律写出第n个图形中的菱形的个数的表达式；

进而得出答案；

代入求得问题即可．