初二数学 二次根式 知识点+练习题 详细

知识点一： 二次根式的概念

形如（）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。

知识点二：取值范围

1.    二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2.    二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。

知识点三：二次根式（）的非负性

（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。

注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。

知识点四：二次根式（）的性质

（）

文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.

知识点五：二次根式的性质

文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；

2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；

3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。

知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的， ，而

2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.

知识点七：同类二次根式

二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

 知识点八:二次根式的运算： 

（1）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．

（2）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．

=·（a≥0，b≥0）；  （b≥0，a>0）．

（3）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．

练习题     （做出正确选择 并写出题目的知识点）

1.下列二次根式中，的取值范围是的是（     ）

A.        B.         C.            D.

2. 要使式子  有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x＞0          B．x≥-2          C．x≥2               D．x≤2

3.下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ）

     A.         B.           C.               D.

4.若，则（     ）

A．＜        B.≤             C.＞             D. ≥

5.下列二次根式,不能与合并的是(      ) 

A.          B.             C.            D.

7. 如果最简二次根式与能够合并，那么的值为（     ）

 A. 2              B. 3               C. 4               D. 5

8.已知, 则的值为（     ）

A．        B．             C．            D.

9.下列各式计算正确的是（     ）

A.                    B.

C.                   D.

10.等式成立的条件是（     ）

A.         B.           C.≥            D.≤

11.下列运算正确的是（    ）

A.    B.   C.  D.

12.已知是整数，则正整数的最小值是（     ）

A.4                 B.5             C.6              D.2

14.化简:            ；  =             .

15.               .

16. 比较大小:     3； ______.

17．已知：一个正数的两个平方根分别是和，则的值是        ．

18.计算：________；          ．

19.已知、为两个连续的整数，且，则        ．

20.直角三角形的两条直角边长分别为 、，则这个直角三角形的斜边长为________，面积为________ .

21.若实数满足,则的值为          .

22. 已知实数x，y满足|x-4|+  =0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是          ．

24.（6分）计算：

（1） ；               （2） ；

(3) |-6|-  –；                 (4) - 

25.（6分）先化简，再求值：÷（2＋1），其中=－1.

26.（6分）先化简，后求值：，其中.

27.（6分）已知，求下列代数式的值： 

（1） ；(2).

28.( 08，济宁)若，则的取值范围是

A．        B．        C．        D．

29. 化简：（1）的结果是           ；（2）的结果是           ；

（3）=            （4））5-2=_____          _；

（5）＋（5－）=_________；   （6）           ；

（7）＝________；（8）                 ．