北师大版七年级数学上册chapter-03§3.6《探索规律:图形规律》

习

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1=n 2

=n 3

=n 七年级数学上册§ 3.6《探索规律: 图形规律》同步练习

【知识要点】

1、探索规律就是一种观察、归纳、猜想、验证的过程.是一个创新意识的培养过程，

体现了从特殊到一般的数学思想 2、探索规律主要是以下题型：

（1）棋牌规律 （2）图形规律（重点） （3）剪纸规律 （4）算式规律（重点）

【典例精析】

例1．把正方体摆放成如图（5）的形状，若从上至下依次为第1

层，第2层，第3层，……，则第6层有 个正方体. 例

2．木材加工厂堆放木料的方式如图所示：依此规律可得出第6

堆木料的根数是

。第n 堆木材的根数是

例3．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、

下面、左面、右面”表示.如右图（7

）,是一个正方体的平面展开图,若图中的“似”表示正方体的前面,

“锦”表示右面,

“程”表示下面

.则“祝”、“你”、“前”分别表示正方体的

例

4．观察下列由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律：

如图（8）①中：共有1个小立方体，其中1个看得见，0

个看不见；如图（8）②中：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图（8）③中：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见；……，则第⑥个图中，看见．．的小立方体有 个. 例5．在平面直角坐标系中，横坐标、

纵坐标都为整数的点称为整点．请

你观察图中正方形A

1B 1C 1D 1、A 2B 2C 2D 2、A 3B 3C 3D 3……每个正方形四条边上的整点的个数，推算出正方形A 10B 10C 10D 10四条边上的整点共有 个.

【基础巩固】

1． 图（1）是一个黑色的正三角形，顺次连结它的三边的中点，

得到如图（2）所示的第2个图形（它的中间为一个白色的正三角形）；在图（2）的每个黑色的正三角形中分别重复上述的作法，得到如图（3）所示的第3个图形。如此继续作下去，则在得到的第6个图形中，白色的正三角形的个数是

……

2．如图（6），都是由边长为1的正方体叠成的图形。

例如：第①个图形的表面积为6个平方单位，第②个图形的

表面积为18个平方单位，第③个图形的表面积是36个平方单位。依此规律，则第⑤个图形的表面积 个平方单位。

3．下图是用火柴棍摆出的一系列三角形图案，按这种方式摆下去

当每边上摆20（即n=20）根时，需要的火柴棍总数为 根。

4． 用火柴棒按如图的方式搭一行三角形，搭一个三角形需3支

火柴棒，搭2个三角形需5支火柴棒，搭3个三角形需7支火柴棒，照这样的规律搭下去，搭n 个三角形需要S 支火柴棒，那么S 关于n 的函数关系式是 (n 为正整数)． 6．下面是用棋子摆成的“上”字：

第一个“上”字 第二个“上”字 第三个“上”字 如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现 （1）第四、第五个“上”字分别需用 和 棋子； （2）第n 个“上”字需用 枚棋子．

7．为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”

比赛．如图所示：

按照上面的规律，摆n 个“金鱼”需用火柴棒的根数为（ ）

程 前

你

祝 似 锦

图（7）

① ②

③ 图

图（1） 图（2）

图（3） ……

①

②

③

(3)

(2)

(1)

第14题

n=1

n=2

n=3

……

第3个

第2个

第1个

C 3H 8

C 2H 6

CH 4

H

H H H

H H

H

H H

H

H H

H H

C C C C C H

H H

H C

A ．26n +

B ．86n +

C ．44n +

D ．8n

8．柜台上放着一堆罐头，它们摆放的形状见右图： 第一层有23⨯听罐头， 第二层有34⨯听罐头， 第三层有45⨯听罐头， ……

根据这堆罐头排列的规律，第n （n 为正整数）层 有 听罐头（用含n 的式子表示）． 9．按如下规律摆放三角形：

则第（4）堆三角形的个数为_____________；第(n)堆三角形

的个数为________________.

11．一串有黑有白，其排列有一定规律的

珠子，被盒子遮住一部分（如图4），

则这串珠子被盒子遮住的部分有____颗. 12．如图，图①，图②，图③，……是用围

棋棋子摆成的一列具有一定规律的“山”字．则第

n

个“山”字中的棋子个

数

是 ．

13．下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而

成。依次规律，第5个图案中白色正方形的个数为

14．

用同样大小的正方形按下列规律摆放，将重叠部分涂上颜色，

下面的图案中，第n 个图案中正方形的个数是 。

15．在边长为l 的正方形网格中，按下列方式得到“

L ”形图形第

1个“L ”形图形的周长是8，第2个“L ”形图形的周长是12， 则第n 个“L ”形图形的周长是

.

16．观察下列图形,按规律填空:

1 1+3 4+5 9+7 16+___ … 36+____ 17． 用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规

律拼成一列图案：

（1）第4个图案中有白色纸片 张； （2）第n 个图案中有白色纸片 张.

18． 观察下表中三角形个数变化规律，填表并回答下面问题。

问题：如果图中三角形的个数是102个，则图中应有___________条横截线。

19． 下列是三种化合物的结构式及分子式，如果按其规律，则后

一种化合物的分子式应该是 ．

20．下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成：

拼搭第1个图案需4根小木棒，拼搭第2个图案需10

根小木棒，……，依次规律，拼搭第8个图案需小木棒 根．

…

图图图图

第12题

第11题图

（图4）

…

第1

第2个

第3个

第13题

①

②

③

● ● ● ●

● ● ●

● ● ● ● ● ●

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

…

…

●

习

⑴ ⑵ ⑶

1

1

2

3

5

...

11

23

15

1

12

11

32

1④

③

②

①

【能力提高】

1． 如图是由大小相同的小立方体木块叠入而成的几何体，图⑴

中有1个立方体，图⑵中有4个立方体，图⑶中有9个立方体，……按这样的规律叠放下去，第8个图中小立方体个数是 .

2．下面的图形是由边长为l 的正方形按照某种规律排列而组成

的．

（1）观察图形，填写下表：

图形 ① ② ③ 正方形的个数 8 图形的周长

18

（2）推测第n 个图形中，正方形的个数为________，周长为______________(都用含n 的代数式表示)．

3． 如图（9），把一个正方形三次对折后沿虚线剪下则得到的图

形是（ ）

4．小强拿了一张正方形的纸如图（10）①，沿虚线对折一次得图

②，再对折一次得图③，然后用剪刀沿图③中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，再打开后的形状应是（ ）

5． 如图（11），将一张正方形纸片剪成四个小正方形，然后将

其中的一个正方形再剪成四个小正方形，再将其中的一个正方形剪成四个小正方形，如此继续下去，……，根据以上操

作方法，请你填写下表：

6． 已知n(n ≥2)个点P 1，P 2，P 3，…，P n 在同一平面内，且其中

没有任何三点在同一直线上. 设S n 表示过这n 个点中的任意2个点所作的所有直线的条数，显然，S 2=1，S 3=3，S 4=6，S 5=10，…，由此推断，S n =____________________

7． 将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n ，

m ）表示第n 排，从左到右第m 个数，如（4，2）表示实

数9，则表示实数17的有序实数对是 ．表示实数2012的有序实数对数

8．一个正方体的每个面分别标有数字1，2，3，4，5，6．根据

图1中该正方体A 、B 、C 三种状态所显示的数字，可推出“？”处的数字是 ．

9． 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有

这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，

其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两上数的和。现以这组数中的各个数作为正方形的长度构造如下正方形：

(1)再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个,正方形拼成如

下矩形并记为①、②、③、④.相应矩形的周长如下表所示：

(2)若按此规律继续作矩形，则序号为⑩的矩形周长是

操作次数N 1 2 3 4 5 … N … 正方形的个数

4 7 10

…

…

序号 ① ② ③ ④ 周长

6

10

16

26

10．观察图（13）的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：

（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；

（2）通过猜想写出与第n个点阵相对应的等式

11．图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由

这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下

去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是（）

A 25

B 66

C 91

D 120

12．如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第

2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，……，按照

这样的规律排列下去，则第9个图形由__________个圆组成。

13．观察下列由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律：如

图1中：共有1 个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；

如图2中：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不

见；如图3中：共有27个小立方体，其中有19个看得见，

8个看不见；…，则第6个图中，看见的小立方体有个。

14．图1是棱长为a的小正方体，图2、图3由这样的小正方体

摆放而成．按照这样的方法继续摆放，由上而下分别叫第一

层、第二层、…、第n层，第n层的小正方体的个数为s．解

答下列问题：

（1）按照要求填表：

（2）写出当n=10时，s= ．

15．下图是某同学在沙滩上用石于摆成的小房子．

观察图形的变化规律，写出第n个小房子用了块石子．

16．如图，都是由边长为1的正方体叠成的图形。例如第（1）个

图形的表面积为6个平方单位，第（2）个图形的表面积为

18个平方单位，第（3）个图形的表面积是36个平方单位。

依此规律。则第（5）个图形的表面积个平方单位

17．如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地

面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则

第n个几何体中只有两个面

．．．涂色的小立方体共有 __个．

18．如下图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小

正方形，然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四

个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，

如此循环进行下去；

（1）填表：

（2）如果剪n次，共剪出多少个小正方形？

（3）如果剪了100次，共剪出多少个小正方形？

（4）观察图形，你还能得出什么规律？

19．黑蚂蚁和红蚂蚁都认为自己跑得比对方快，刚好它们看到地

上的几个半圆（图1），于是它们决定比一比。黑蚂蚁沿着大半

圆从甲处跑到乙处；红蚂蚁沿着两个小半圆也从甲处跑到乙

处。两只蚂蚁同时起跑，说也奇怪，两只蚂蚁同时到达了乙

（1）两只蚂蚁请你帮助判断：谁跑得快？

（2）两只蚂蚁对你的判断结果很不满意，决定再到（图2）的几

个半圆处再比赛一次，请你猜一猜，哪一只蚂蚁先从甲处跑到

乙处？

n 1 2 3 4 …

s 1 3 6 …

剪的次数 1 2 3 4 5

正方形个数

…

…

①②③④⑤

……

(第13题

图1 图2 图3

(1)

(2)(3)

图①图②图③

…