2009年山东省高考文科数学真题及答案

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）集合A={0，2，a}，B={1，a2}，若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为（　　）

A．0    B．1    C．2    D．4

2．（5分）复数等于（　　）

A．1+2i    B．1﹣2i    C．2+i    D．2﹣i

3．（5分）将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（　　）

A．y=2cos2x    B．y=2sin2x    C．    D．y=cos2x

4．（5分）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A．2π+2    B．4π+2    C．2π+    D．4π+

5．（5分）在R上定义运算⊗：a⊗b=ab+2a+b，则满足x⊗（x﹣2）＜0的实数x的取值范围为（　　）

A．（0，2）    B．（﹣2，1）    C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）    D．（﹣1，2）

6．（5分）函数y=的图象大致为（　　）

A．    B．    C．    D．

7．（5分）定义在R上的函数f（x）满足，则f（2009）的值为（　　）

A．﹣1    B．0    C．1    D．2

8．（5分）设P是△ABC所在平面内的一点，，则（　　）

A．    B．    C．    D．

9．（5分）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（　　）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件

C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

10．（5分）设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（　　）

A．y2=±4x    B．y2=4x    C．y2=±8x    D．y2=8x

11．（5分）在区间[﹣，]上随机取一个数x，cosx的值介于0到之间的概率为（　　）

A．    B．    C．    D．

12．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x﹣4）=﹣f（x）且在区间[0，2]上是增函数，则（　　）

A．f（﹣25）＜f（11）＜f（80）    B．f（80）＜f（11）＜f（﹣25）    C．f（11）＜f（80）＜f（﹣25）    D．f（﹣25）＜f（80）＜f（11）

二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）

13．（4分）在等差数列{an}中，a3=7，a5=a2+6，则a6=　　．

14．（4分）若函数f（x）=ax﹣x﹣a（a＞0，且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是　　．

15．（4分）执行程序框图，输出的T=　　．

16．（4分）某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为　　元．

三、解答题（共6小题，满分74分）

17．（12分）已知函数f（x）=2sinxcos2+cosxsinθ﹣sinx（0＜θ＜π），在x=π处取最小值．

（Ⅰ）求θ的值；

（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f（A）=，求角C．

18．（12分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点，F为AB的中点．证明：

（1）EE1∥平面FCC1．

（2）平面D1AC⊥平面BB1C1C．

19．（12分）汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）；

（Ⅰ）求z的值；

（Ⅱ）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；

（Ⅲ）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．

20．（12分）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点（n，Sn），均在函数y=bx+r（b＞0）且b≠1，b，r均为常数）的图象上．

（1）求r的值；

（2）当b=2时，记bn=（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．

21．（12分）已知函数，其中a≠0．

（1）当a，b满足什么条件时，f（x）取得极值？

（2）已知a＞0，且f（x）在区间（0，1]上单调递增，试用a表示出b的取值范围．

22．（14分）设m∈R，在平面直角坐标系中，已知向量a=（mx，y+1），向量b=（x，y﹣1），a⊥b，动点M（x，y）的轨迹为E．

（Ⅰ）求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；

（Ⅱ）已知m=．证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB（O为坐标原点），并求该圆的方程；

（Ⅲ）已知m=．设直线l与圆C：x2+y2=R2（1＜R＜2）相切于A1，且l与轨迹E只有一个公共点B1．当R为何值时，|A1B1|取得最大值？并求最大值．

2009年山东省高考数学试卷（文科）

参与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）（2009•山东）集合A={0，2，a}，B={1，a2}，若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为（　　）

A．0    B．1    C．2    D．4

【分析】根据题意，由并集的计算方法，结合a与a2的关系，易得，即可得答案．

【解答】解：∵A={0，2，a}，B={1，a2}，A∪B={0，1，2，4，16}

∴

∴a=4，

故选D．

2．（5分）（2009•山东）复数等于（　　）

A．1+2i    B．1﹣2i    C．2+i    D．2﹣i

【分析】将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用两个向量的乘法法则化简．

【解答】解：复数===2+i，

故选C．

3．（5分）（2009•山东）将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（　　）

A．y=2cos2x    B．y=2sin2x    C．    D．y=cos2x

【分析】按照向左平移，再向上平移，推出函数的解析式，即可．

【解答】解：将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，

得到函数=cos2x的图象，

再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y=1+cos2x=2cos2x，

故选A．

4．（5分）（2009•山东）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A．2π+2    B．4π+2    C．2π+    D．4π+

【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个上部是四棱锥，下部是圆柱其高已知，底面是半径为1的圆，故分别求出两个几何体的体积，再相加即得组合体的体积．

【解答】解：此几何体为一个上部是正四棱锥，下部是圆柱

由于圆柱的底面半径为1，其高为2，故其体积为π×12×2=2π

棱锥底面是对角线为2的正方形，故其边长为，其底面积为2，又母线长为2，

故其高为

由此知其体积为=

故组合体的体积为2π+

故选C

5．（5分）（2009•山东）在R上定义运算⊗：a⊗b=ab+2a+b，则满足x⊗（x﹣2）＜0的实数x的取值范围为（　　）

A．（0，2）    B．（﹣2，1）    C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）    D．（﹣1，2）

【分析】根据规定的新定义运算法则先把不等式化简，然后利用一元二次不等式求解集的方法求出x的范围即可．

【解答】解：∵x⊙（x﹣2）=x（x﹣2）+2x+x﹣2＜0，

∴化简得x2+x﹣2＜0即（x﹣1）（x+2）＜0，

得到x﹣1＜0且x+2＞0①或x﹣1＞0且x+2＜0②，解出①得﹣2＜x＜1；解出②得x＞1且x＜﹣2无解．

∴﹣2＜x＜1．

故选B

6．（5分）（2009•山东）函数y=的图象大致为（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】欲判断图象大致图象，可从函数的定义域{x|x≠0}方面考虑，还可从函数的单调性（在函数当x＞0时函数为减函数）方面进行考虑即可．

【解答】解析：函数有意义，需使ex﹣e﹣x≠0，

其定义域为{x|x≠0}，排除C，D，

又因为，

所以当x＞0时函数为减函数，故选A

答案：A．

7．（5分）（2009•山东）定义在R上的函数f（x）满足，则f（2009）的值为（　　）

A．﹣1    B．0    C．1    D．2

【分析】本题考查的知识点是分段函数的性质及对数的运算性质，要求f（2009）的值，则函数的函数值必然呈周期性变化，由函数的解析式，我们列出函数的前若干项的值，然后归纳出函数的周期，即可求出f（2009）的值．

【解答】解：由已知得f（﹣1）=log22=1，f（0）=0，

f（1）=f（0）﹣f（﹣1）=﹣1，

f（2）=f（1）﹣f（0）=﹣1，

f（3）=f（2）﹣f（1）=﹣1﹣（﹣1）=0，

f（4）=f（3）﹣f（2）=0﹣（﹣1）=1，

f（5）=f（4）﹣f（3）=1，

f（6）=f（5）﹣f（4）=0，

所以函数f（x）的值以6为周期重复性出现．，所以f（2009）=f（5）=1，故选C．

故选C．

8．（5分）（2009•山东）设P是△ABC所在平面内的一点，，则（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】根据所给的关于向量的等式，把等式右边二倍的向量拆开，一个移项一个和左边移来的向量进行向量的加减运算，变形整理，得到与选项中一致的形式，得到结果．

【解答】解：∵，

∴，

∴

∴

∴

故选B．

9．（5分）（2009•山东）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（　　）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件

C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

【分析】判充要条件就是看谁能推出谁．由m⊥β，m为平面α内的一条直线，可得α⊥β；反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β．

【解答】解：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，且m⊥β，则α⊥β，反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β，

所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．

故选B．

10．（5分）（2009•山东）设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（　　）

A．y2=±4x    B．y2=4x    C．y2=±8x    D．y2=8x

【分析】先根据抛物线方程表示出F的坐标，进而根据点斜式表示出直线l的方程，求得A的坐标，进而利用三角形面积公式表示出三角形的面积建立等式取得a，则抛物线的方程可得．

【解答】解：抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F坐标为，

则直线l的方程为，

它与y轴的交点为A，

所以△OAF的面积为，

解得a=±8．

所以抛物线方程为y2=±8x，

故选C．

11．（5分）（2009•山东）在区间[﹣，]上随机取一个数x，cosx的值介于0到之间的概率为（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】求出所有的基本事件构成的区间长度；通过解三角不等式求出事件“cos x的值介于0到”构成的区间长度，利用几何概型概率公式求出事件的概率．

【解答】解：所有的基本事件构成的区间长度为

∵解得或

∴“cos x的值介于0到”包含的基本事件构成的区间长度为

由几何概型概率公式得

cos x的值介于0到之间的概率为P=

故选A．

12．（5分）（2009•山东）已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x﹣4）=﹣f（x）且在区间[0，2]上是增函数，则（　　）

A．f（﹣25）＜f（11）＜f（80）    B．f（80）＜f（11）＜f（﹣25）    C．f（11）＜f（80）＜f（﹣25）    D．f（﹣25）＜f（80）＜f（11）

【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化求解即可．

【解答】解：∵f（x﹣4）=﹣f（x），

∴f（x﹣8）=﹣f（x﹣4）=f（x），

即函数的周期是8，

则f（11）=f（3）=﹣f（3﹣4）=﹣f（﹣1）=f（1），

f（80）=f（0），

f（﹣25）=f（﹣1），

∵f（x）是奇函数，且在区间[0，2]上是增函数，

∴f（x）在区间[﹣2，2]上是增函数，

∴f（﹣1）＜f（0）＜f（1），

即f（﹣25）＜f（80）＜f（11），

故选：D

二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）

13．（4分）（2009•山东）在等差数列{an}中，a3=7，a5=a2+6，则a6=　13　．

【分析】根据等差数列的性质可知第五项减去第二项等于公差的3倍，由a5=a2+6得到3d等于6，然后再根据等差数列的性质得到第六项等于第三项加上公差的3倍，把a3的值和3d的值代入即可求出a6的值．

【解答】解：由a5=a2+6得到a5﹣a2=3d=6，

所以a6=a3+3d=7+6=13

故答案为：13

14．（4分）（2009•山东）若函数f（x）=ax﹣x﹣a（a＞0，且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是　（1，+∞）　．

【分析】根据题设条件，分别作出令g（x）=ax（a＞0，且a≠1），h（x）=x+a，分0＜a＜1，a＞1两种情况的图象，结合图象的交点坐标进行求解．

【解答】解：令g（x）=ax（a＞0，且a≠1），h（x）=x+a，分0＜a＜1，a＞1两种情况．

在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图，若函数f（x）=ax﹣x﹣a有两个不同的零点，则函数g（x），h（x）的图象有两个不同的交点．根据画出的图象只有当a＞1时符合题目要求．

故答案为：（1，+∞）

15．（4分）（2009•山东）执行程序框图，输出的T=　30　．

【分析】本题首先分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量T的值，模拟程序的运行，运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．

【解答】解：按照程序框图依次执行为S=5，n=2，T=2；

S=10，n=4，T=2+4=6；S=15，n=6，T=6+6=12；

S=20，n=8，T=12+8=20；S=25，n=10，T=20+10=30＞S，输出T=30．

故答案为：30．

16．（4分）（2009•山东）某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为　2300　元．

【分析】本题考查的知识点是简单的线性规划的应用，根据已知条件中甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，我们可以列出满足条件的约束条件，及目标函数，然后利用线性规划，求出最优解．

【解答】解：设需租赁甲种设备x天，乙种设备y天，

则

目标函数为z=200x+300y．

作出其可行域，易知当x=4，y=5时，z=200x+300y有最小值2300元．

三、解答题（共6小题，满分74分）

17．（12分）（2009•山东）已知函数f（x）=2sinxcos2+cosxsinθ﹣sinx（0＜θ＜π），在x=π处取最小值．

（Ⅰ）求θ的值；

（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f（A）=，求角C．

【分析】（Ⅰ）把函数解析式中第一项利用二倍角的余弦函数公式化简后，利用两角和的正弦函数公式化简，由函数在x=π处取最小值，把x=π代入到化简后的式子中并令f（x）等于﹣1，得到sinθ的值，然后利用θ的范围及特殊角的三角函数值即可求出θ的度数；

（Ⅱ）把θ的值代入到f（x）中化简可得f（x）的解析式，然后把x等于A代入解析式，利用其值等于，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，然后由a，b和sinA的值，利用正弦定理即可求出sinB的值，根据B的范围和特殊角的三角函数值即可求出B的度数，根据三角形的内角和定理即可求出C的度数．

【解答】解：（Ⅰ）f（x）=2sinx

=sinx+sinxcosθ+cosxsinθ﹣sinx

=sin（x+θ）．

因为　f（x）在x=π时取最小值，

所以　sin（π+θ）=﹣1，

故　sinθ=1．

又　0＜θ＜π，所以θ=；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=sin（x+）=cosx．

因为f（A）=cosA=，

且A为△ABC的角，

所以A=．

由正弦定理得　sinB==，

又b＞a，

所以　B=时，，

当B=时，C=π﹣A﹣B=π﹣．

18．（12分）（2009•山东）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点，F为AB的中点．证明：

（1）EE1∥平面FCC1．

（2）平面D1AC⊥平面BB1C1C．

【分析】（1）法一：由EE1∥A1D⇒EE1∥F1C⇒EE1∥平面FCC1．即用利用线线平行来推线面平行．

法二：由平面ADD1A1∥平面FCC1⇒EE1∥平面FCC1．即用利用面面平行来推线面平行．

（2）先证AC⊥BC，又由AC⊥CC1⇒AC⊥平面BB1C1C⇒平面D1AC⊥平面BB1C1C．即利用线线垂直来推线面垂直再推2面面垂直．

【解答】证明：（1）证法一：取A1B1的中点为F1，

连接FF1，C1F1，

由于FF1∥BB1∥CC1，

所以F1∈平面FCC1F1，

因为平面FCC1F1即为平面C1CFF1，

连接A1D，F1C，

由于A1F1和D1C1和CD平行且相等．

所以　四边形A1DCF1为平行四边形，

因为　A1D∥F1C．

又　EE1∥A1D，

得EE1∥F1C，

而　EE1⊄平面FCC1F1，F1C⊂平面FCC1F1，

故　EE1∥平面FCC1F1．

证法二：因为F为AB的中点，CD=2，AB=4，AB∥CD，

所以CD∥AF，

因此　四边形AFCD为平行四边形，

所以　AD∥FC．

又　CC1∥DD1，FC∩CC1=C，

FC⊂平面FCC1，CC1⊂平面FCC1F1，

所以　平面ADD1A1∥平面FCC1F1，

又　EE1⊂平面ADD1A1，

所以　EE1∥平面FCC1．

（ 2）证明：连接AC，连△FBC中，FC=BC=FB，

又　F为AB的中点，

所以　AF=FC=FB，

因此∠ACB=90°，

即　AC⊥BC．

又　AC⊥CC1，且CC1∩BC=C，

所以　AC⊥平面BB1C1C，

而　AC⊂平面D1AC，

故　平面D1AC⊥平面BB1C1C．

19．（12分）（2009•山东）汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）；

（Ⅰ）求z的值；

（Ⅱ）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；

（Ⅲ）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．

【分析】（Ⅰ）根据用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆，得每个个体被抽到的概率，列出关系式，得到n的值

（Ⅱ）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，可以通过列举数出结果，根据古典概型的概率公式得到结果．

（Ⅲ）首先做出样本的平均数，做出试验发生包含的事件数，和满足条件的事件数，根据古典概型的概率公式得到结果．

【解答】解：（Ⅰ）设该厂这个月共生产轿车n辆，

由题意得=，

∴n=2000，

∴z=2000﹣（100+300）﹣150﹣450﹣600=400．

（Ⅱ）设所抽样本中有a辆舒适型轿车，

由题意，得a=2．

因此抽取的容量为5的样本中，

有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．

用A1，A2表示2辆舒适型轿车，

用B1，B2，B3表示3辆标准轿车，

用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，

则基本事件空间包含的基本事件有：

（A1，A2），（A1B1），（A1B2），

（A1，B3，），（A2，B1），（A2，B2）（A2，B3），

（B1B2），（B1，B3，），（B2，B3），共10个，

事件E包含的基本事件有：

（A1A2），（A1，B1，），（A1，B2），（A1，B3），

（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），共7个，

故　P（E）=，

即所求概率为．

（Ⅲ）样本平均数=（9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2）=9．

设D表示事件“从样本中任取一数，

该数与样本平均数之差的绝对不超过0.5”，

则基本事件空间中有8个基本事件，

事件D包括的基本事件有：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6个，

∴P（D）=，即所求概率为．

20．（12分）（2009•山东）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点（n，Sn），均在函数y=bx+r（b＞0）且b≠1，b，r均为常数）的图象上．

（1）求r的值；

（2）当b=2时，记bn=（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．

【分析】（1）由“对任意的n∈N+，点（n，Sn），均在函数y=bx+r（b＞0，且b≠1，b，r均为常数）的图象上”可得到Sn=bn+r，依次求出a1、a2、a3，由等比数列的性质（a2）2=a1×a3，解可得答案．

（2）结合（1）可知an=（b﹣1）bn﹣1=2n﹣1，从而bn=，符合一个等差数列与等比数列相应项之积的形式，用错位相减法求解即可．

【解答】解：（1）因为对任意的n∈N+，点（n，Sn），均在函数y=bx+r（b＞0，且b≠1，b，r均为常数）的图象上．

所以得Sn=bn+r，

当n=1时，a1=S1=b+r，

a2=S2﹣S1=b2+r﹣（b1+r）=b2﹣b1=（b﹣1）b，

a3=S3﹣S2=b3+r﹣（b2+r）=b3﹣b2=（b﹣1）b2，

又因为{an}为等比数列，所以（a2）2=a1×a3，则[（b﹣1）b]2=（b﹣1）b2×（b+r）

解可得r=﹣1，

（2）当b=2时，an=（b﹣1）bn﹣1=2n﹣1，bn=

则Tn=

Tn=

相减，得Tn=

+=

所以Tn=

21．（12分）（2009•山东）已知函数，其中a≠0．

（1）当a，b满足什么条件时，f（x）取得极值？

（2）已知a＞0，且f（x）在区间（0，1]上单调递增，试用a表示出b的取值范围．

【分析】（1）对函数求导，由题意可得f′（x）=0有解，由a≠0，分a＞0，a＜0讨论可求解

（2）f（x）在区间（0，1]上单调递增，可得f′（x）≥0在[0，1]上恒成立，从而转化为求函数的最值，可求解．

【解答】解：（1）由已知得f′（x）=ax2+2bx+1，

令f′（x）=0，得ax2+2bx+1=0，

f（x）要取得极值，方程ax2+2bx+1=0，必须有解，

所以△=4b2﹣4a＞0，即b2＞a，

此时方程ax2+2bx+1=0的根为

x1==，x2==，

所以f′（x）=a（x﹣x1）（x﹣x2）

当a＞0时，

当a＜0时，

综上，当a，b满足b2＞a时，f（x）取得极值．

（2）要使f（x）在区间（0，1]上单调递增，需使f′（x）=ax2+2bx+1≥0在（0，1]上恒成立．

即b≥﹣﹣，x∈（0，1]恒成立，

所以b≥﹣

设g（x）=﹣﹣，g′（x）=﹣+=﹣，

令g′（x）=0得x=或x=﹣（舍去），

当a＞1时，0＜＜1，当x∈（0，]时g′（x）＞0，g（x）=﹣﹣单调增函数；

当x∈（，1]时g′（x）＜0，g（x）=﹣﹣单调减函数，

所以当x=时，g（x）取得最大，最大值为g（）=﹣．

所以b≥﹣

当0＜a≤1时，≥1，

此时g′（x）≥0在区间（0，1]恒成立，

所以g（x）=﹣﹣在区间（0，1]上单调递增，当x=1时g（x）最大，最大值为g（1）=﹣，

所以b≥﹣

综上，当a＞1时，b≥﹣；

0＜a≤1时，b≥﹣；

22．（14分）（2009•山东）设m∈R，在平面直角坐标系中，已知向量a=（mx，y+1），向量b=（x，y﹣1），a⊥b，动点M（x，y）的轨迹为E．

（Ⅰ）求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；

（Ⅱ）已知m=．证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB（O为坐标原点），并求该圆的方程；

（Ⅲ）已知m=．设直线l与圆C：x2+y2=R2（1＜R＜2）相切于A1，且l与轨迹E只有一个公共点B1．当R为何值时，|A1B1|取得最大值？并求最大值．

【分析】（1）由a⊥b，所以a•b=0，代入坐标化简整理即得轨迹E的方程mx2+y2=1．

此为二元二次曲线，可分m=0、m=1、m＞0且m≠1和m＜0四种情况讨论；

（2）当m=时，轨迹E的方程为=1，表示椭圆，设圆的方程为x2+y2=r2（0＜r＜1），

当切线斜率存在时，可设圆的任一切线方程为y=kx+t，由直线和圆相切可得k和t的关系，

由OA⊥OB，所以x1x2+y1y1=0，只需联立直线和圆的方程，消元，维达定理，又可以得到k和t的关系，这样就可解出r．

当切线斜率不存在时，代入检验即可．

（3）因为l与圆C相切，故△OA1B1为直角△，故|A1B1|2=|OB1|2﹣|OA1|2，只需求出OB1和OA1的长度即可，

直线l与圆C相切，且与椭圆相切找出关系，将|A1B1|表示为R的函数，转化为函数求最值．

【解答】解：（Ⅰ）因为a⊥b，

所以a•b=0，即（mx，y+1）•（x，y﹣1）=0，

故mx2+y2﹣1=0，即mx2+y2=1．

当m=0时，该方程表示两条直线；

当m=1时，该方程表示圆；

当m＞0且m≠1时，该方程表示椭圆；

当m＜0时，该方程表示双曲线．

（Ⅱ）当时，轨迹E的方程为，

设圆的方程为x2+y2=r2（0＜r＜1），当

切线斜率存在时，可设圆的任一切线方程为y=kx+t，

A（x1，y1），B（x2，y2），

所以，

即t2=r2（1+k2）．①

因为OA⊥OB，

所以x1x2+y1y1=0，

即x1x2+（kx1+t）（kx2+t）=0，

整理得（1+k2）x1x2+kt（x1+x2）+t2=0．②

由方程组

消去y得

（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0．③

由韦达定理

代入②式并整理得

（1+k2），

即5t2=4+4k2．

结合①式有5r2=4，r=，

当切线斜率不存在时，x2+y2=也满足题意，

故所求圆的方程为x2+y2=．

（Ⅲ）显然，直线l的斜率存在，

设l的方程y=k1x+t1，B1（x3，y3）

轨迹E的方程为．

由直线l与圆相切得t12=R2（1+k12），

且对应③式有△=（8k1t1）2﹣4（1+4k12）（4t12﹣4）=0，

即t12=1+4k12，

由方程组，

解得

当l与轨迹E只有一个公共点时，对应的方程③应有两个相等的．

由韦达定理x32===，

又B1在椭圆上，

所以，

因为l与圆C相切，

所以|A1B1|2=|OB1|2﹣|OA1|2=x32+y32﹣R2

=

=

=≤，

其中，等号成立的条件

，

．

即故当时，|A1B1|的最大值为1．