数学建模习题5

习  题   5

1．某工厂生产两种产品，产品每件可获利0.3元，产品每件可获利0.15元。如该厂只选择一种产品生产，每天最多可生产产品800个或产品1200个，但产品还需要某种特殊处理，每天最多处理600个，此外，工厂每天最多可包装A、B产品共1000个。问该厂应该如何安排生产计划，才能获利最大？

2．（饮食问题）一位家庭主妇正在菜场里买菜，该菜场共有n种食品可卖，单价分别为，，…,n；为了保证家里人的身体健康，购买的食品中必须包含m种营养成份，且第i种营养成份的含量不能少于；该妇女了解各种食品的营养含量，即她知道每单位重量的第j种食品中含有第i种营养成份（）。假定该妇女近期经济较为紧张，她希望在满足营养要求的前提下能做到花钱最少，试建立本问题的数学模型。

3．.求解运输问题：    （注：表中的数据为单位货物的运价）

  销地

5．要在雨中从一处沿直线跑到另一处，假设雨速为`常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，雨淋得越少。

6．报童每天要向报社定购报纸，已知每卖出一份报纸可赢利分，多出来未买完，每份将亏本分。每天买报人数不确定，报童定购报纸如果超出实际需要，就要受到供过于求的损失；反之，要受到供不应求的损失。设是售出份报纸的概率（可采用统计方法求其近似值），试为报童确定一个合理的订报份数，使其期望损失最小。

7．建立一个煤矿开采模型。假设开采对周围环境无破坏，时刻已经开采煤矿的数量为，生产率为，开采单位数量的煤矿可获利，其中为正常数，若煤矿资源有限，且不考虑折扣因素，试确定煤矿的最佳产量，使开采获利最大。

8．在上题中，如开采对周围环境会造成污染，损失函数为，构造采矿模型，确定，使开采获得最大利益。

9．观察鱼在水中的运动，发现它不是水平的游动，而是突发性的，锯齿状地向上游动或向下滑行。我们可以认为这是长期的进化使鱼类选择了消耗体能最小的运动方式。

（1）假设鱼总以常速运动，鱼在水中的净重为，向下滑行的阻力是在运动方向的分力，向上游动时付出的力是在运动方向的分力和游动所受阻力之和，而游动所受阻力是滑行阻力的倍，据此，请写出这些力。

（2）证明当鱼从点运动到点时，沿折线运动消耗的能量与沿水平线运动消耗的能量之比为（设向下滑行不消耗能量）

（3）由经验观察到试对不同值（如1.5，2，3），根据消耗能量最小的原则，估计最佳的值。

8．假设某工厂到时刻为止的产量为，时刻生产率为。单位时间的生产费用与生产率成正比，单位时间产品的储存费与产量平方成正比，工厂在内要生产的产品数量为，制定一个生产计划（它是产量与时间的函数），使生产与储存的总费用最小。