中考复习1 中点专题

【类型一】见中线 可倍长

例1、如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC点F，AF=EF，求证：AC=BE.

变式、如下图所示，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，若AD为△ABC的角平分线，求证：BG＝CF.

例2、如图,在中, ,点D为BC中点,点E、F分别为AB、AC上的点,且.以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形?若能,请判断此三角形的形状.

变式1、 如图所示，已知M为△ABC中BC边上的中点，∠AMB、 ∠AMC 的平分线分别交AB、AC于点E、F，连接EF．求证：BE+CF>EF．

变式2、如图所示，在△ABC中，D是BC的中点，DM⊥DN，如果BM2+CN2=DM2+DN2，求证：AD2= (AB2+AC2)。

例3、已知:和是两个不全等的等腰直角三角形,其中, ,连接EC,取EC的中点M,连接BM和DM.

(1)如图1,如果点D、E分别在边AC、AB上,那么BM、DM的数量关系与位置关系是____________；

(2)将图1中的绕点A旋转到图2的位置,此时判断(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由.

检测1、在中,AD是边BC上的中线,已知, ,则中线AD的取值范围是___________。

检测2、如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF。①求证：BE＋CF＞EF。（4分）

【类型二】见等腰三角形，想“三线合一”

例4、如图所示:一幅三角板如图放置,等腰直角三角板ABC固定不动,另一块三角板的直角顶点放在等腰直角三角形的斜边中点D处,且可以绕点D旋转,在旋转过程中,两直角边的交点G、H始终在边AB、BC上.

(1)在旋转过程中线段BG和CH大小有何关系?证明你的结论.

(2)若,在旋转过程中四边形GBHD的面积是否改变?若不变,求出它的值;若改变,求出它的取值范围.

(3)若交点G、H分别在边AB、BC的延长线上,则(1)中的结论仍然成立吗?请画出相应的图形,直接写出结论.

例5、如图，点P是等腰RT△ABC底边BC上一点，过点P作BA、AC的垂线，垂足为E、F，设点D为BC中点，求证：△DEF是等腰直角三角形．

检测1、如图,是等腰直角三角形, ,是斜边的中点,分别是、边上的点,且.

(1)请说明:;

(2)请说明:;

(3)若, ,求的面积(直接写结果).

【类型三】见斜边 想中线

例6、如图,在中,若, ,E为BC边中点,求证:.

例7、 如图，在中, ,点D、E分别为AB、BC的中点,点F在AC的延长线上,.请问成立吗?试说明理由.(提示:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.)

检测1、在中, ,M是AB的中点,E、F分别是AC、BC延长线上的点,且,则的度数为_________。

检测2、如图在RT△ACB中，C为直角顶点，∠ABC=25°，O为斜边中点，将OA绕着点O逆时针旋转°（0＜＜180）至OP，当△BCP恰为轴对称图形时，的值为    .

【类型四】见多个中点，想中位线

例8、如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE(不需证明). 

(温馨提示：在图1中，连结BD，取BD的中点H，连结HE、HF，根据三角形中位线定理，证得HE=HF，从而∠1=∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME=∠CNE.) 

问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论. 

问题二：如图3，在△ABC中，AC>AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF交延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连结GD，判断△AGD的形状并证明. 

例9、如图,在中, ,E是AB的中,点,D为AB的延长线上一点,连接CD,CE.求证:.

检测1、如图,在中,点O是重心, ,连接AO并延长交BC于点D,连接BO并延长交AC于点E,.若, ,则AC的值为________。

检测2、如图,四边形ABCD中,AB与CD不平行,M,N分别是AD,BC的中点, , ,则MN的长不可能是(    )

A.3    B.2.5    C.2    D.1.5

【综合练习】

1、如图所示,在等腰梯形ABCD中, , ,AC与BD交于点0, ,P、Q、R分别是OA、BC、OD的中点.求证:是正三角形.

2、如图，在五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，∠BAC=∠EAD，点F为CD的中点，求证：BF=EF.

3、已知:和都是直角三角形,且.如图甲,连接DE,设M为DE的中点.

(1)说明:;

(2)设,固定,让绕顶点A在平面内旋转到图乙的位置,试问:是否还能成立?并证明其结论.

4、探究

问题1、已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE=KDF，则K的值为_______。

拓展 

问题2、已知：如图2，三角形ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC的内部，且∠MAC=∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF．求证：DE=DF． 

推广 

问题3、如图3，若将上面问题2中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论． 

【课后作业】

【类型一】

1、如图中, ,中线,则BC长为_________。

2、如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F，AF与EF相等吗？为什么？

3、四边形ABCD是正方形，△BEF是等腰直角三角形，∠BEF=90°，BE=EF，连接DF，G为DF的中点，连接EG，CG，EC． 

（1）如图1，若点E在CB边的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系及的值； 

（2）将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转至图2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； 

【类型二】

4、如图,在中, ,点D是BC边上的中点,DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F.求证:.

5、如图,点D、E在的BC边上, ,.求证:.

6、如图，,, ,求证：.

7、如图，在中，，，是的中点，，点分别在上，求证：。

【类型三】

8、如图,已知锐角中,CD、BE分别是AB、AC边上的高,M、N分别是线段BC、DE的中点.求证:;

9、如图，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点．求证：（1）BM=DM；（2）MN⊥BD。

10、如图,中,AD是边BC上的高,CF是边AB上的中线,且,于E,问E是CF的中点吗?试说明理由.

【类型四】

11、已知,如图,四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,试问,四边形EFGH是什么四边形?为什么?要使四边形EFGH是矩形,对角线AC,BD有何关系?

12、如图,D是中AB边的中点,和都是等边三角形,M、N分别是CE、CF的中点.

(1)求证:是等边三角形;

(2)连接EF,Q是EF中点,于点P.求证:.

同学们,如果你觉得解决本题有困难,可以阅读下面两位同学的解题思路作为参考:

小聪同学发现此题条件中有较多的中点,因此考虑构造三角形的中位线,添加出了一些辅助线;小慧同学想到要证明线段相等,可通过证明三角形全等,如何构造出相应的三角形呢?她考虑将绕顶点旋转到要证的对应线段的位置,由此猜想到了所需构造的三角形的位置.

13、如图,已知线段AC与BD相交于点O,连接AB、DC,E为OB的中点,F为OC的中点,连接EF.若, ,求证:.

【思维拓展】

14、已知是等腰直角三角形，，，，，连接，点是的中点。

（1）如图1，若点在边上，连接，当时，求的长。

（2）如图2，若点在的内部，连接，点是中点，连接，，求证：。

（3）如图3，将图2中的绕点逆时针旋转，使，连接，点是中点，连接，探索的值并直接写出结果。