最新江苏省淮安市2018-2019年最新中考数学模拟试卷(含答案)

一.选择题

1.﹣6的相反数是（   ） 

A. ﹣6                                        B. ﹣                                         C.                                         D. 6

2.函数y= 中自变量x的取值范围是（   ） 

A. x＞﹣1                                B. x≥﹣1                                C. x＜﹣1                                D. x≤﹣1

3.下列运算正确的是（   ）            

A. 2a+3b=5ab                      B. a2•a3=a5                      C. （2a）3=6a3                      D. a6+a3=a9

4.用5个完全相同的小正方体组合成如图所示的立体图形，它的主视图为（   ）  

A.                         B.                         C.                         D. 

5.一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字﹣2，1，4．随机摸出一个小球（不放回），其数字为p，再随机摸出另一个小球其数字记为q，则满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率是（   ）            

A.                                           B.                                           C.                                           D. 

6.体育课上，某班两名同学分别进行了5次短跑训练，要判断哪一名同学的成绩比较稳定，通常需要比较这两名学生成绩的（   ）            

A. 平均数                                B. 频数分布                                C. 中位数                                D. 方差

7.如图，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（   ）  

A. 15°                                       B. 20°                                       C. 25°                                       D. 30°

8.如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数y= （k＞0，x＞0）的图象上，⊙A与x轴相切，⊙B与y轴相切．若点B的坐标为（1，6），⊙A的半径是⊙B的半径的2倍，则点A的坐标为（   ）  

A. （2，2）                          B. （2，3）                          C. （3，2）                          D. （4， ）

二.填空题

9.据有关资料显示，长江三峡工程电站的总装机容量是18200000千瓦，请你用科学记数法表示电站的总装机容量，应记为________千瓦．    

10.因式分解：9x2﹣y2﹣4y﹣4=________．    

11.关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣1=0的两实数根为x1  ， x2  ， 且x12+x22=3，则m=________．    

12.已知实数m，n满足m﹣n2=1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于________．    

13.一个圆锥的高为4cm，底面圆的半径为3cm，则这个圆锥的侧面积为________．    

14.如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内弧OB上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径为________．

15.已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：  

16.如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是________（结果保留π）．  

17.如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切于点E，F，与AB分别交于点G，H，且EH的延长线和CB的延长线交于点D，则CD的长为________．

18.如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=2，则DF的长为________．  

三.解答题

19.计算题    

(1)20180﹣|﹣sin45°|cos45°+ ﹣（﹣ ）﹣1    

(2)．    

20.先化简，再求值： ÷ +1，在0，1，2三个数中选一个合适的，代入求值．    

21.如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．

求证：    

(1)△APB≌△DPC；    

(2)∠BAP=2∠PAC．    

22.甲、乙两校分别有一男一女共4名教师报名到农村中学支教．    

(1)若从甲、乙两校报名的教师中分别随机选1名，则所选的2名教师性别相同的概率是________．    

(2)若从报名的4名教师中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名教师来自同一所学校的概率．    

23.为了解“数学思想作为对学习数学帮助有多大？”一研究员随机抽取了一定数量的高校大一学生进行了问卷调查，并将调查得到的数据用下面的扇形图和下表来表示（图、表都没制作完成）． 

(1)请问：这次共有多少名学生参与了问卷调查？    

(2)算出表中a、b的值．  （注：计算中涉及到的“人数”均精确到1）    

24.如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距100（ +1）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．

(1)分别求出A与C，A与D间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．    

(2)已知距离观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触礁的危险？（参考数据： ≈1.41， ≈1.73）    

25.如图，AD是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦．过点B作BC∥AD，交⊙O于点C，连接AC，过点C作CD∥AB，交AD于点D．连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD．

(1)判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；    

(2)若AB=9，BC=6．求PC的长．    

26.水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克．    

(1)现在实际购进这种水果每千克多少元？    

(2)王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系．  ①求y与x之间的函数关系式；

②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？（利润=销售收入﹣进货金额）

27.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），直线l：y=﹣1．动点P满足条件：

①P在这个平面直角坐标系中；

②P到A的距离和P到l的距离相等；    

(1)求点P所经过的轨迹方程，并在网格中绘制这个图象．（提示：平面直角坐标系中两点之间的距离可以通过勾股定理来求得）    

(2)已知直线y=kx+1，小明同学说，这条直线与（1）中所绘的图象有两个交点？你能说明小明为什么这么说吗？    

(3)经过了上述的计算、绘图，小明发现，如果第（2）问的两个交点分别为B、C，那么，过BC的中点M作直线l的垂线，垂足为H，连接BH、CH，所得到的三角形BCH是个特殊的三角形，你能说明它是什么三角形吗？为什么？    

28.如图①，正方形ABCD中，点A，B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D→A匀速运动，同时动点Q以相同的速度在x轴正半轴上运动，当点P到达A点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．

(1)当P点在边AB上运动时点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；

(2)求正方形边长及顶点C的坐标；    

(3)在（1）中，设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式并写出自变量的取值范围．    

(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等？若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．    

答案解析部分

一.选择题  

1.【答案】D                    

【考点】相反数                

【解析】【解答】解：根据概念，与﹣6只有符号不同的数是6．即﹣6的相反数是6．  故选D．

【分析】相反数就是只有符号不同的两个数．    

2.【答案】B                    

【考点】函数自变量的取值范围                

【解析】【解答】解：由题意，得  x+1≥0，

解得x≥﹣1，

故选：B．

【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．    

3.【答案】B                    

【考点】同类项、合并同类项                

【解析】【解答】解：A、2a 与5b不是同类项不能合并，故本项错误；

B、a2•a3=a5  ， 正确；

C、（2a）3=8a3  ， 故本项错误；

D、a6与a3不是同类项不能合并，故本项错误．

故选：B．

【分析】根据合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方法则计算后判断即可．    

4.【答案】A                    

【考点】简单组合体的三视图                

【解析】【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层右边一个小正方形，  故选：A．

【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．    

5.【答案】D                    

【考点】根的判别式，列表法与树状图法                

【解析】【解答】解：列表如下：  

则P= = ．

故选：D

【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的情况数，即可求出所求的概率．    

6.【答案】D                    

【考点】方差                

【解析】【解答】解：由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两名学生了5次短跑训练成绩的方差．  故选D．

【分析】根据方差的意义：是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．故要判断哪一名学生的成绩比较稳定，通常需要比较这两名学生了5次短跑训练成绩的方差．    

7.【答案】C                    

【考点】平行线的性质                

【解析】【解答】解：∵直尺的两边平行，∠1=20°，  ∴∠3=∠1=20°，

∴∠2=45°﹣20°=25°．

故选：C．

【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠3，再求解即可．    

8.【答案】C                    

【考点】切线的性质，反比例函数图象上点的坐标特征                

【解析】【解答】解：把B的坐标为（1，6）代入反比例函数解析式得：k=6，  则函数的解析式是：y= ，

∵B的坐标为（1，6），⊙B与y轴相切，

∴⊙B的半径是1，

则⊙A是2，

把y=2代入y= 得：x=3，

则A的坐标是（3，2）．

故选：C．

【分析】把B的坐标为（1，6）代入反比例函数解析式，根据⊙B与y轴相切，即可求得⊙B的半径，则⊙A的半径即可求得，即得到B的纵坐标，代入函数解析式即可求得横坐标．    

二.填空题  

9.【答案】1.82×107                    

【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数                

【解析】【解答】解：18 200 000=1.82×107千瓦．  故答案为1.82×107 ． 

【分析】科学记数法就是将一个数字表示成（a×10的n次幂的形式），其中1≤|a|＜10，n表示整数．n为整数位数减1，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂．此题n＞0，n=7．    

10.【答案】（3x+y+2）（3x﹣y﹣2）                    

【考点】平方差公式                

【解析】【解答】解：9x2﹣y2﹣4y﹣4，

=9x2﹣（y2+4y+4），

=9x2﹣（y+2）2  ， 

=（3x+y+2）（3x﹣y﹣2）．

【分析】此题可用分组分解法进行分解，可以将后三项分为一组，即可写成平方差的形式，利用平方差公式分解因式．    

11.【答案】0                    

【考点】根的判别式，根与系数的关系                

【解析】【解答】解：∵方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣1=0的两实数根为x1  ， x2  ，   ∴x1+x2=2m﹣1，x1x2=m2﹣1，

∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（2m﹣1）2﹣2（m2﹣1）=3，

解得：m1=0，m2=2，

∵方程有两实数根，

∴△=（2m﹣1）2﹣4（m2﹣1）≥0，

即m≤ 

∴m2=2（不合题意，舍去），

∴m=0；

故答案为：0．

【分析】根据方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣1=0的两实数根为x1  ， x2  ， 得出x1+x2与x1x2的值，再根据x12+x22=3，即可求出m的值．    

12.【答案】4                    

【考点】完全平方公式                

【解析】【解答】解：∵m﹣n2=1，即n2=m﹣1≥0，m≥1，

∴原式=m2+2m﹣2+4m﹣1=m2+6m+9﹣12=（m+3）2﹣12，

则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于（1+3）2﹣12=4．

故答案为：4．

【分析】已知等式变形后代入原式，利用完全平方公式变形，根据完全平方式恒大于等于0，即可确定出最小值．    

13.【答案】15πcm2                    

【考点】圆锥的计算                

【解析】【解答】解：这个圆锥的母线长= =5，  所以这个圆锥的侧面积= •2π•3•5=15π（cm2）．

故答案为15πcm2 ． 

【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的母线长，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．    

14.【答案】3                    

【考点】坐标与图形性质，含30度角的直角三角形，圆内接四边形的性质                

【解析】【解答】解：∵点A的坐标为（0，3），  ∴OA=3，

∵四边形ABMO是圆内接四边形，

∴∠BMO+∠A=180°，又∠BMO=120°，

∴∠A=60°，则∠ABO=30°，

∴AB=2OA=6，

则则⊙C的半径为3，

故答案为：3．

【分析】根据圆内接四边形的对角互补求出∠A的度数，得到∠ABO的度数，根据直角三角形的性质求出AB的长，得到答案．    

15.【答案】：0＜x＜4                    

【考点】二次函数与不等式（组）                

【解析】【解答】解：由表可知，二次函数的对称轴为直线x=2，  所以，x=4时，y=5，

所以，y＜5时，x的取值范围为0＜x＜4．

故答案为：0＜x＜4．

【分析】根据表格数据，利用二次函数的对称性判断出x=4时，y=5，然后写出y＜5时，x的取值范围即可．    

16.【答案】

【考点】扇形面积的计算                

【解析】【解答】解：根据图示知，∠1+∠2=180°﹣90°﹣45°=45°，  ∵∠ABC+∠ADC=180°，

∴图中阴影部分的圆心角的和是90°+90°﹣∠1﹣∠2=135°，

∴阴影部分的面积应为：S= = ．

故答案是： ．

【分析】阴影部分可看成是圆心角为135°，半径为1的扇形．    

17.【答案】

a                    

【考点】切线的性质                

【解析】【解答】解：如图，连接OE、OF，

∵由切线的性质可得OE=OF=⊙O的半径，∠OEC=∠OFC=∠C=90°，

∴OECF是正方形，

∵由△ABC的面积可知 ×AC×BC= ×AC×OE+ ×BC×OF，

∴OE=OF= a=EC=CF，BF=BC﹣CF=0.5a，GH=2OE=a，

∵由切割线定理可得BF2=BH•BG，

∴ a2=BH（BH+a），

∴BH= a或BH= a（舍去），

∵OE∥DB，OE=OH，

∴△OEH∽△BDH，

∴ = ，

∴BH=BD，CD=BC+BD=a+ a= a．

故答案为： a．

【分析】连接OE、OF，由切线的性质结合结合直角三角形可得到正方形OECF，并且可求出⊙O的半径为0.5a，则BF=a﹣0.5a=0.5a，再由切割线定理可得BF2=BH•BG，利用方程即可求出BH，然后又因OE∥DB，OE=OH，利用相似三角形的性质即可求出BH=BD，最终由CD=BC+BD，即可求出答案．    

18.【答案】

【考点】等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理                

【解析】【解答】解：延长CF交AB于点G，  

∵AE平分∠BAC，

∴∠GAF=∠CAF，

∵AF垂直CG，

∴∠AFG=∠AFC，

在△AFG和△AFC中，

∵ ，

∴△AFG≌△AFC（ASA），

∴AC=AG，GF=CF，

又∵点D是BC中点，

∴DF是△CBG的中位线，

∴DF= BG= （AB﹣AG）= （AB﹣AC）= ．

故答案为： ．

【分析】延长CF交AB于点G，证明△AFG≌△AFC，从而可得△ACG是等腰三角形，GF=FC，点F是CG中点，判断出DF是△CBG的中位线，继而可得出答案．    

三.解答题  

19.【答案】（1）解：原式=1﹣ +3+4  =8﹣ 

= 

（2）解：原方程组化为 ①﹣②得：4x=﹣4

x=﹣1

将x=﹣1代入①中，y= 

解得： 

【考点】实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，解二元一次方程组，特殊角的三角函数值                

【解析】【分析】（1）根据特殊角的函数值即可求出答案．（2）先化简原方程组，然后根据二元一次方程组的解法即可    

20.【答案】解： ÷ +1  = ÷ +1

= × +1

= +1

= ，

当x=0或2时，分式无意义，

故x只能等于1，

原式= ．                    

【考点】分式的化简求值                

【解析】【分析】首先将原式能分解因式的分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，最后根据分式的性质，选出有意义的x的值，即可得到原式的值．    

21.【答案】（1））解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠DCB=90°．  ∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB． 

∴∠ABC﹣∠PBC=∠DCB﹣∠PCB，即∠ABP=∠DCP．

又∵AB=DC，PB=PC，

∴△APB≌△DPC．

（2））解：证明：∵四边形ABCD是正方形，  ∴∠BAC=∠DAC=45°．

∵△APB≌△DPC，∴AP=DP．

又∵AP=AB=AD，∴DP=AP=AD．

∴△APD是等边三角形．

∴∠DAP=60°．

∴∠PAC=∠DAP﹣∠DAC=15°．

∴∠BAP=∠BAC﹣∠PAC=30°．

∴∠BAP=2∠PAC．                    

【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质                

【解析】【分析】（1）AP=AB，PB=PC，∴∠ABC﹣∠PBC=∠DCB﹣∠PCB，即∠ABP=∠DCP，因此可证得两三角形全等．（2）有（1）∠CAD=45°，△PAD为等边三角形，可求得∠BAP=30°∠PAC=∠PAD﹣∠CAD=15°，因此可证的结论．    

22.【答案】（1）

（2）解：将甲、乙两校报名的教师分别记为甲1、甲2、乙1、乙2（注：1表示男教师，2表示女教师），树状图如图所示：  

所以P（两名教师来自同一所学校）= = ．                    

【考点】列表法与树状图法                

【解析】【解答】解：（1）根据题意画图如下：  

共有4种情况，其中所选的2名教师性别相同的有2种，

则所选的2名教师性别相同的概率是 = ；

故答案为： ；

【分析】（1）根据甲、乙两校分别有一男一女，列出树状图，得出所有情况，再根据概率公式即可得出答案；（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．    

23.【答案】（1）解：参与问卷调查的学生人数=543÷43.65%≈1244；

（2）解：a=1244×25.40%=316，  b=1244﹣316﹣543﹣269=1244﹣1128=116                    

【考点】统计表，扇形统计图                

【解析】【分析】（1）用“帮助较大”的人数除以所占的百分比计算即可得解；（2）用参与问卷调查的学生人数乘以“帮助很大”所占的百分比计算即可求出a，然后根据总人数列式计算即可求出b．    

24.【答案】（1）解：如图，作CE⊥AB于E，

由题意得：∠ABC=45°，∠BAC=60°，

设AE=x海里，

在Rt△AEC中，CE=AE•tan60°= x；

在Rt△BCE中，BE=CE= x．

∴AE+BE=x+ x=100（ +1），

解得：x=100．

AC=2x=200．

在△ACD中，∠DAC=60°，∠ADC=75°，则∠ACD=45°．

过点D作DF⊥AC于点F，

设AF=y，则DF=CF= y，

∴AC=y+ y=200，

解得：y=100（ ﹣1），

∴AD=2y=200（ ﹣1）．

答：A与C之间的距离AC为200海里，A与D之间的距离AD为200（ ﹣1）海里．

（2）解：由（1）可知，DF= AF= ×100（ ﹣1）≈126.3海里，

因为126.3＞100，所以巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险．                    

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题                

【解析】【分析】（1）作CE⊥AB于E，设AE=x海里，则BE=CE= x海里．根据AB=AE+BE=x+ x=100（ +1），求得x的值后即可求得AC的长；过点D作DF⊥AC于点F，同理求出AD的长；（2）根据（1）中的结论得出DF的长，再与100比较即可得到答案．    

25.【答案】（1）解：PC与圆O相切，理由为：  过C点作直径CE，连接EB，如图，

∵CE为直径，

∴∠EBC=90°，即∠E+∠BCE=90°，

∵AB∥DC，

∴∠ACD=∠BAC，

∵∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD．

∴∠E=∠BCP，

∴∠BCP+∠BCE=90°，即∠PCE=90°，

∴CE⊥PC，

∴PC与圆O相切；

（2）解：∵AD是⊙O的切线，切点为A，  ∴OA⊥AD，

∵BC∥AD，

∴AM⊥BC，

∴BM=CM= BC=3，

∴AC=AB=9，

在Rt△AMC中，AM= =6 ，

设⊙O的半径为r，则OC=r，OM=AM﹣r=6 ﹣r，

在Rt△OCM中，OM2+CM2=OC2  ， 即32+（6 ﹣r）2=r2  ， 解得r= ，

∴CE=2r= ，OM=6 ﹣ = ，

∴BE=2OM= ，

∵∠E=∠MCP，

∴Rt△PCM∽Rt△CEB，

∴ = ，

即 = ，

∴PC= ．                    

【考点】切线的判定与性质                

【解析】【分析】（1）过C点作直径CE，连接EB，由CE为直径得∠E+∠BCE=90°，由AB∥DC得∠ACD=∠BAC，而∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD，所以∠E=∠BCP，于是∠BCP+∠BCE=90°，然后根据切线的判断得到结论；（2）根据切线的性质得到OA⊥AD，而BC∥AD，则AM⊥BC，根据垂径定理有BM=CM= BC=3，根据等腰三角形性质有AC=AB=9，在Rt△AMC中根据勾股定理计算出AM=6 ；设⊙O的半径为r，则OC=r，OM=AM﹣r=6 ﹣r，在Rt△OCM中，根据勾股定理计算出r= ，则CE=2r= ，OM=6 ﹣ = ，利用中位线性质得BE=2OM= ，然后判断Rt△PCM∽Rt△CEB，根据相似比可计算出PC．    

26.【答案】（1）解：设现在实际购进这种水果每千克a元，则原来购进这种水果每千克（a+2）元，由题意，得  80（a+2）=88a，

解得a=20．

答：现在实际购进这种水果每千克20元；

（2）解：①设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，  将（25，165），（35，55）代入，

得 ，解得 ，

故y与x之间的函数关系式为y=﹣11x+440；

②设这种水果的销售单价为x元时，所获利润为w元，

则w=（x﹣20）y=（x﹣20）（﹣11x+440）=﹣11x2+660x﹣8800=﹣11（x﹣30）2+1100，

所以当x=30时，w有最大值1100．

答：将这种水果的销售单价定为30元时，能获得最大利润，最大利润是1100元．                    

【考点】一次函数的应用，二次函数的应用                

【解析】【分析】（1.）设现在实际购进这种水果每千克x元，根据原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克列出关于x的一元一次方程，解方程即可；  （2.）①设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，将（25，165），（35，55）代入，运用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；②设这种水果的销售单价为x元时，所获利润为w元，根据利润=销售收入﹣进货金额得到w关于x的函数关系式为w=﹣11（x﹣30）2+1100，再根据二次函数的性质即可求解．    

27.【答案】（1）解：设P的坐标为P（x，y），由题意得： =|y+1|，

两边平方得：x2+（y﹣1）2=（y+1）2  ， 

∴y= x2  ， 即P的轨迹为一抛物线，其图象如图1所示；

（2）解：抛物线直线方程联立得 ，消去y可得x2﹣4kx﹣4=0，

∴△=16k2+16＞0，

∴直线y=kx+1与抛物线有两个交点；

（3）解：如图2，过B作BB′⊥l于B′，过C作CC′⊥l于C′，

由（1）中的条件可得BB′=BA，CC′=CA，

∴BC=BA+AC=BB′+CC′，

又由题意可得MH是梯形BB′C′C的中位线，

∴MH= （BB′+CC′）= BC，

∴MB=MC=MH，

∴△BHC是以∠BHC为直角的直角三角形．                    

【考点】二次函数的图象，二次函数的性质，二次函数的应用                

【解析】【分析】（1）设出P点坐标，表示出P到A的距离和P到l的距离相等，可求得其轨迹方程，可画出图象；（2）联立直线与抛物线解析式利用一元二次方程的判别式可判断得出；（3）过B作BB′⊥l于B′，过C作CC′⊥l于C′，由条件可证明MH为梯形BB′C′C的中位线，可证得△BCH为直角三角形．    

28.【答案】（1）解：如图①，过B作BF⊥OA于F，

∵A（0，10），

∴OA=10，

∵B（8，4），

∴BF=8，OF=4，

∴AF=10﹣4=6，

∴AB=10，

由图②知：点P在边AB上运动时间为10秒，所以速度为：10÷10=1，

Q（1，0），

则点P运动速度为每秒1个单位长度；

（2）解：如图③，过B作BF⊥y轴于点F，BE⊥x轴于点E，则BF=8，OF=BE=4，

由（1）知：AF=6，AB=10；

过C作CG⊥x轴于点G，与FB的延长线交于点H，

∵∠ABC=90°，AB=BC，

∴△ABF≌△BCH，

∴BH=AF=6，CH=BF=8，

∴OG=FH=8+6=14，CG=8+4=12，

∴所求C点的坐标为（14，12）；

（3）解：过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N，

∴PM∥BF，

则△APM∽△ABF，

∴ ，

∴ = = ，

∴AM= ，PM= t，

∴PN=OM=10﹣ t，ON=PM= t，

∴S=S△OPQ= PN•OQ

= ×（10﹣ t）（1+t）=﹣ （0≤t≤10）；

（4）解：OP与PQ相等，组成等腰三角形，即当P点的横坐标等于Q点的横坐标的一半时，满足条件；

①当P在AB上时，如图③， t= （t+1），t= ，OP与PQ相等，

②当P在BC上时，如图④，则PB=t﹣10，

sin∠ABF=sin∠BPM= ，

∴ ，

∴BM= （t﹣10），

∴ON=BF+BM=8+ （t﹣10），

8+ （t﹣10）= （t+1），解得：t=﹣15（舍），

③当P在CD上时，如图⑤，则PC=t﹣20，

cos∠PCR=cos∠BCH= ，

∴ ，

∴CR=MH= （t﹣20），

∴ON=OG﹣NG=FH﹣MH=14﹣ （t﹣20），

14﹣ （t﹣20）= （t+1），解得：t= ，

即当t= 时，OP=PQ，

综上所述，当t= 或 时，OP与PQ相等．                    

【考点】全等三角形的性质，全等三角形的判定，相似多边形的性质，相似三角形的判定                

【解析】【分析】（1）由A和B两点的坐标求正方形边长AB，由图②得：P在边AB上运动10秒，Q开始运动时，横坐标为1；（2）由（1）知，正方形边长为10，根据三角形全等得：BH=AF=6，CH=BF=8，所以可得OG=14，CG=12，写出C点的坐标；（3）作辅助线，证明△APM∽△ABF，列比例式得：AM= ，PM= t，根据面积公式可得S与t的关系式；（4）OP与PQ相等，组成等腰三角形，即当P点的横坐标等于Q点的横坐标的一半；分三种情况进行讨论：点P分别在AB、BC、CD上时，根据这一等量关系列式可得t的值．