(理数)珠海一中2013届高二上学期期中考试

数学（理科）试卷

一、选择题（每小题5分，共40分）

1、“”是“”的（       ）

 A．充分不必要条件  B．必要不充分条件  C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

2、两条直线与垂直的充分不必要条件是（     ）

（A）            （B）

（C）                 （D）

3、若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，则该圆的标准方程是（     ）

A．        B． 

C．        D． 

4、已知是以为焦点的椭圆上的一点，若

，则此椭圆的离心率为（     ）

（A）            （B）           （C）             （D）

5、方程表示双曲线，则的取值范围是（     ）

（A）  （B）  （C）或  （D）或

6、过原点且与双曲线只有一个公共点的直线的条数是（     ）

（A）3          （B）2          （C）1          （D）0

7、已知圆和直线相交于P,Q两点，则的值为（O为坐标原点）（   ）

（A）12         （B）16          （C）21         （D）25

8、已知抛物线上一定点和两动点，当时，点的横坐标的取值范围是（       ）

（A）    （B）   （C）[，1]   （D）

二、填空题（每小题5分，共20分）

9、如果三点在同一条直线上，那么的值是       。

10、圆上到直线的距离为的共有        个。11、椭圆的两个焦点为，点为其上的动点，当为钝角时，点          横坐标的取值范围是              ；

12、双曲线的渐近线方程为，两顶点间的距离为6，则它的方程是           ；

13、已知A（4，0），B（2，2），M为椭圆上的点，则的最小值为                      。

14、设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为_____                  。

三、解答题

15、（本题满分10分）已知三角形的顶点坐标为，是边上的中点。（1）求中线所在的直线方程；（2）求中线的长

16、（本题满分14分）设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．求：

（Ⅰ）求实数的取值范围；

（Ⅱ）求圆C 的方程；

（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与无关）？请证明你的结论．

17、(本题满分14分）设为抛物线的焦点，为抛物线上任意一点，以为圆心，为半径画圆，与轴负半轴交于点，试判断过的直线与抛物线的位置关系，并证明。

18、（本题满分14分）设为椭圆上的动点，为定点，已知的最小值为1，求的值.

19、（本题满分14分）设双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线相交于两点，直线的斜率为，且;

（1）求双曲线的离心率；

（2）如果为双曲线的左焦点，且到的距离为，求双曲线的方程。

20、（本题满分14分）如图，椭圆：，a，b为常数)，动圆，。点分别为的左，右顶点，与相交于A，B，C，D四点。

 (Ⅰ)求直线与直线交点M的轨迹方程;

 (Ⅱ)设动圆与相交四点，其中，。若矩形与矩形的面积相等，证明：为定值。

参

一、选择题（每小题5分，共40分）

1、“”是“”的（   B    ）

 A．充分不必要条件  B．必要不充分条件  C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

2、两条直线与垂直的充分不必要条件是（  C   ）

（A）            （B）

（C）                 （D）

3、若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，则该圆的标准方程是（ A ）

A．        B． 

C．        D． 

4、已知是以为焦点的椭圆上的一点，若

，则此椭圆的离心率为（  D   ）

（A）            （B）           （C）             （D）

5、方程表示双曲线，则的取值范围是（  C   ）

（A）  （B）  （C）或  （D）或

6、过原点且与双曲线只有一个公共点的直线的条数是（   D  ）

（A）3          （B）2          （C）1          （D）0

7、已知圆和直线相交于P,Q两点，则的值为（O为坐标原点）（  C ）

（A）12         （B）16          （C）21         （D）25

8、已知抛物线上一定点和两动点，当时，点的横坐标的取值范围是（    D   ）

（A）    （B）   （C）[，1]   （D）

二、填空题（每小题5分，共20分）

9、如果三点在同一条直线上，那么的值是       。

10、圆上到直线的距离为的共有    3    个。11、椭圆的两个焦点为，点为其上的动点，当为钝角时，点          横坐标的取值范围是              ；

12、双曲线的渐近线方程为，两顶点间的距离为6，则它的方程是           ；

13、已知A（4，0），B（2，2），M为椭圆上的点，则的最小值为                      。

14、设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为_____                  。

三、解答题

15、（本题满分10分）已知三角形的顶点坐标为，是边上的中点。（1）求中线所在的直线方程；（2）求中线的长

解：（1）M(1,1)， 

(2)  

16、（本题满分14分）设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．求：

（Ⅰ）求实数的取值范围；

（Ⅱ）求圆C 的方程；

（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与无关）？请证明你的结论．

解：（Ⅰ）由题意可知，方程有两不等3根， 

（Ⅱ）设圆C 的方程为： 

圆C与轴的交点和二次函数的图象与轴的交点相同，

所以在圆的方程中令，得

应为，所以；

因为圆C过点，在圆的方程中令，得

方程有根，代入得：，

所求圆C的方程为： 

（Ⅲ）圆C的方程可改写为：，所以圆恒过点（0,1）。

17、(本题满分14分）设为抛物线的焦点，为抛物线上任意一点，已为圆心，为半径画圆，与轴负半轴交于点，试判断过的直线与抛物线的位置关系，并证明。

解：设

    ，即

18、（本题满分14分）设为椭圆上的动点，为定点，已知的最小值为1，求的值.

解： 

   当

   当

   综上， 

19、（本题满分14分）设双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线相交于两点，直线的斜率为，且;

（1）求双曲线的离心率；

（2）如果为双曲线的左焦点，且到的距离为，求双曲线的方程。

解：可用第二定义及平面几何知识求解，亦可用常规方法求解，

（1）双曲线的离心率；

（2）双曲线的为。

20、（本题满分14分）如图，椭圆：，a，b为常数)，动圆，。点分别为的左，右顶点，与相交于A，B，C，D四点。

 (Ⅰ)求直线与直线交点M的轨迹方程;

 (Ⅱ)设动圆与相交四点，其中，。若矩形与矩形的面积相等，证明：为定值。