函数.05幂函数、二次函数(A级).学生版

一、幂函数

1.幂的有关概念

正整数指数幂： 

零指数幂： 

负整数指数幂： 

分数指数幂：正分数指数幂的意义是： 

负分数指数幂的意义是： 

2.幂函数的定义

一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数(我们只讨论a是有理数的情况)．

3.幂函数的图象

幂函数

当时的图象见左图；当时的图象见右图：

由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质： 

有下列性质：

(1)时：

①图象都通过点，；

②在第一象限内，函数值随的增大而增大，即在上是增函数．

(2)时：

①图象都通过点；

②在第一象限内，函数值随的增大而减小，即在上是减函数；

③在第一象限内，图象向上与轴无限地接近，向右与轴无限地接近．

(3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点；

(4)任何幂函数图象都不经过第四象限；

(5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点．

【说明】由幂函数的概念和定义域决定了，我们研究幂函数一般只研究其在第一象限内的部分，更精确地说是研究幂函数的时候只讨论x≥0或者x＞0的时候．

4.幂函数的奇偶性

函数的定义域为,定义域关于原点对称,且

所以当为奇数时函数是奇函数,为偶数时函数是偶函数．

【说明】高中范围内一般不研究非整数指数的幂函数的奇偶性．

二、二次函数

1．二次函数：当0时，或称为关于的二次函数，其对称轴为直线，另外配方可得，其中，下同．

2．二次函数的性质：当时，的图象开口向上，在区间上随自变量增大函数值减小（简称递减），在上随自变量增大函数值增大（简称递增）．当时，情况相反．

3．当时，方程即…．①和不等式…②及…③与函数的关系如下（记）．

1）当时，方程①有两个不等实根，设，不等式②和不等式③的解集分别是和，二次函数图象与轴有两个不同的交点，还可写成．

2）当时，方程①有两个相等的实根,不等式②和不等式③的解集分别是和空集，的图象与轴有唯一公共点．

3）当时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是和．图象与轴无公共点．

当时，请读者自己分析．

4．二次函数的最值：若当时，取最小值,若，则当时，取最大值．对于给定区间上的二次函数，当时，在上的最小值为; 当时,在上的最小值为；当时，在上的最小值为（以上结论由二次函数图象即可得出）．

一、幂函数的定义与图像

【例1】（陕西2011文4） 函数的图像是  （   ）     

【例2】(安徽2011理) 函数在区间上的图像如图所示，则的值可能是  

A．     B．       C．         D． 

二、幂函数的性质与应用

【例3】（上海2011文）下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是（   ）

A．        B．         C．          D． 

【例4】已知，试比较的大小．

【例5】（山东2011理10）已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时,,则函数的图象在区间上与轴的交点的个数为（     ）

A．6         B．7           C．8             D．9

【例6】（天津2010文）设函数．对任意，恒成立，则实数的取值范围是　　　　．

【例7】已知函数对任意实数都有，且当时，．

（1）判断的奇偶性；

（2）判断在上的单调性，并给出证明；

（3）若且，求的取值范围．

【例8】已知函数对任意的都有＝，且时， <1, = 

（1）求证：  

（2）=  

（3）是否存在单调，说明理由． 

（4）若的解集为求

三、二次函数的性质与应用

【例9】（2010安徽理）设，二次函数的图象可能是

【例10】（天津2011文10）设函数，则的值域是（　　）．

　　Ａ．　　　　　Ｂ．， 

　　Ｃ．　　　　　　　　  Ｄ．

【例11】（湖南2011文）已知函数若有则的取值范围为（         ） 

A．        B．       C．        D．

【例12】（陕西2011理）设，一元二次方程有整数根的充要条件是      

【例13】（天津2010理）设函数．对任意，

恒成立，则实数的取值范围是　　

【例14】设变量满足，并且的最小值是，求的值．

【例15】已知有实数根，且在内有两个实数根，求证： 

【例16】已知的两根为若，试比较与的大小．

【例17】设二次函数方程的两根满足

（Ⅰ）当时，求证： 

（Ⅱ）设函数的图象关于对称，求证： 

【例18】（2009江苏卷） 设为实数，函数． 

(1)若求的取值范围； 

(2)求的最小值； 

(3)设函数直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集．

1.幂函数因幂指数不同而性质各异，图像更是多样，重在掌握图像在第一象限的部分．抓住特殊点，并注意把和进行比较，掌握它们的变化规律．

2.在区间上幂函数中指数越大，函数图像越靠近轴，在上幂函数中指数越大，函数图像越远离轴．

3.幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限内，如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点．

4.幂函数的定义域的求法可以分为5中情况，即：（1）为零；（2）为正整数；（3）为负整数；（4）为正分数；（5）为负分数．

5.作幂函数的图像要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，只要作出幂函数在第一象限内的图像，然后根据它的奇偶性就可以作出幂函数在定义域内完整的图像．

6.比较两个幂值的大小，首先要分清是底数相同还是指数相同，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；如果指数相同，可以转化为底数相同，也可借助于图像；如果指数不同，底数不同，则要利用中间量比较．

【习题1】 （2010陕西文）下列四类函数中，有性质“对任意的函数满足”的是（     ）                                        

A．幂函数            B．对数函数        C．指数函数        D．余弦函数

【习题2】 （2009辽宁卷文）已知函数满足则＝；当时＝，则＝（    ）

A．                B．            C．                 D．

【习题3】 已知定义域为R的函数是奇函数．

（1）求的值；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围．

【习题4】 (2009山东卷文)若函数有两个零点，则实数的取值范围是        ．