2020年湖南省中考数学模拟试卷(及答案)

及答案

1．﹣2的相反数的倒数是（　　） 

A． B．   C．﹣2  D．2

【考点】倒数；相反数． 

【专题】存在型． 

【分析】先根据相反数的定义求出﹣2的相反数，再根据倒数的定义进行解答即可． 

【解答】解：∵﹣2＜0， 

∴﹣2的相反数是2； 

∵2×=1， 

∴2的相反数是，即﹣2的相反数的倒数是． 

故选B． 

【点评】本题考查的是相反数及倒数的定义，熟练掌握相反数及倒数的定义是解答此题的关键． 

2．下列计算正确的是（　　） 

A．a2•a3=a6 B．（x3）2=x6 C．3m+2n=5mn    D．y3•y3=y

【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法． 

【分析】利用同底数幂的乘法，幂的乘方与合并同类项的知识求解，即可求得答案．注意排除法在解选择题中的应用． 

【解答】解：A、a2•a3=a5，故本选项错误； 

B、（x3）2=x6，故本选项正确； 

C、3m+2n≠5mn，故本选项错误； 

D、y3•y3=y6，故本选项错误． 

故选B． 

【点评】此题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与合并同类项的知识．此题比较简单，注意掌握指数的变化是解此题的关键． 

3．在坐标平面内，若点P（x﹣2，x+1）在第二象限，则x的取值范围是（　　） 

A．x＞2 B．x＜2 C．x＞﹣1   D．﹣1＜x＜2

【考点】点的坐标． 

【分析】根据点的坐标满足第二象限的条件是横坐标＜0，纵坐标＞0可得到一个关于x的不等式组，求解即可． 

【解答】解：因为点P（x﹣2，x+1）在第二象限，所以x﹣2＜0，x+1＞0，解得﹣1＜x＜2． 

故选D． 

【点评】解答此题的关键是熟记平面直角坐标系中各个象限内点的符号，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 

4．一个不透明的口袋中装有3个红球和12个黄球，这些球除了颜色外，无其他差别，从中随机摸出一个球，恰好是红球的概率为（　　） 

A．   B．   C．   D．

【考点】概率公式． 

【分析】由一个不透明的口袋中装有3个红球和12个黄球，直接利用概率公式求解即可求得答案． 

【解答】解：∵一个不透明的口袋中装有3个红球和12个黄球，这些球除了颜色外无其他差别， 

∴从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率为： =． 

故选C． 

【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 

5．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为（　　） 

A．  B．2    C．3    D．2

【考点】角平分线的性质；垂线段最短． 

【分析】首先过点P作PB⊥OM于B，由OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=3，根据角平分线的性质，即可求得PB的值，又由垂线段最短，可求得PQ的最小值． 

【解答】解：过点P作PB⊥OM于B， 

∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=3， 

∴PB=PA=3， 

∴PQ的最小值为3． 

故选：C． 

【点评】此题考查了角平分线的性质与垂线段最短的知识．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 

6．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ABD=53°，则∠BCD为（　　） 

A．37° B．47° C．45° D．53°

【考点】圆周角定理． 

【分析】连接AC，由AB是直径，可得直角，根据同弧所对的圆周角相等，可得∠ACD的度数，利用两角差可得答案． 

【解答】解：连接AC， 

∵AB是圆的直径， 

∴∠BCA=90°， 

又∠ACD=∠ABD=53°， 

∴∠BCD=∠ACB﹣∠ACD=90°﹣53°=37°． 

故选A． 

【点评】本题考查了圆周角定理；直径在题目已知中出现时，往往要利用其所对的圆周角是直角这一结论，做题时注意应用，连接AC是正确解答本题的关键． 

7．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（　　） 

A．长方体   B．正方体   C．圆柱 D．三棱柱 

【考点】由三视图判断几何体． 

【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状． 

【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱． 

故选：D． 

【点评】此题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 

8．抛物线y=ax2+bx+c图象如图所示，则一次函数y=﹣bx﹣4ac+b2与反比例函数y=在同一坐标系内的图象大致为（　　） 

A． B．  C． D．

【考点】二次函数图象与系数的关系；反比例函数的图象． 

【专题】压轴题． 

【分析】首先观察抛物线y=ax2+bx+c图象，由抛物线的对称轴的位置由其开口方向，即可判定﹣b的正负，由抛物线与x轴的交点个数，即可判定﹣4ac+b2的正负，则可得到一次函数y=﹣bx﹣4ac+b2的图象过第几象限，由当x=1时，y=a+b+c＜0，即可得反比例函数y=过第几象限，继而求得答案． 

【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c开口向上， 

∴a＞0， 

∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧， 

∴x=﹣＞0， 

∴b＜0， 

∴﹣b＞0， 

∵抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点， 

∴△=b2﹣4ac＞0， 

∴一次函数y=﹣bx﹣4ac+b2的图象过第一、二、三象限； 

∵由函数图象可知，当x=1时，抛物线y=a+b+c＜0， 

∴反比例函数y=的图象在第二、四象限． 

故选D． 

【点评】此题考查了一次函数、反比例函数与二次函数的图象与系数的关系．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意函数的图象与系数的关系． 

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 

9．总理强调，“十二五”期间，将新建保障性住房36000000套，用于解决中低收入和新参加工作的大学生住房的需求．把36000000用科学记数法表示应是　3.6×107　． 

【考点】科学记数法—表示较大的数． 

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 

【解答】解：36000000=3.6×107． 

故答案为：3.6×107． 

【点评】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 

10．在函数y=中，自变量x的取值范围是　x≥﹣1且x≠0　． 

【考点】函数自变量的取值范围． 

【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围． 

【解答】解：根据题意得：x+1≥0且x≠0， 

解得：x≥﹣1且x≠0． 

故答案为：x≥﹣1且x≠0． 

【点评】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑： 

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； 

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； 

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 

11．已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为　3π　． 

【考点】弧长的计算． 

【分析】根据弧长公式L=求解． 

【解答】解：L===3π． 

故答案为：3π． 

【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式L=． 

12．如图，这是一个长方体的主视图和俯视图，由图示数据（单元：cm）可以得出该长方体的体积是　18　cm3． 

【考点】由三视图判断几何体． 

【分析】首先确定该几何体为立方体，并说出其尺寸，直接计算其体积即可． 

【解答】解：观察其视图知：该几何体为立方体，且立方体的长为3，宽为2，高为3， 

故其体积为：3×3×2=18， 

故答案为：18． 

【点评】本题考查了由三视图判断几何体，牢记立方体的体积计算方法是解答本题的关键． 

13．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，若AB=8cm，OC=3cm，则⊙O的半径为　5　cm． 

【考点】垂径定理；勾股定理． 

【分析】根据垂径定理可将AC的长求出，再根据勾股定理可将⊙O的半径求出． 

【解答】解：由垂径定理OC⊥AB，则AC=BC=AB=4cm

在Rt△ACO中，AC=4，OC=3， 

由勾股定理可得AO==5（cm）， 

即⊙O的半径为5cm． 

故答案为：5． 

【点评】本题综合考查了圆的垂径定理与勾股定理． 

14．如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△BnCnMn的面积为Sn，则Sn=　　．（用含n的式子表示） 

【考点】相似三角形的判定与性质． 

【专题】压轴题；规律型． 

【分析】由n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，即可求得△B1C1Mn的面积，又由BnCn∥B1C1，即可得△BnCnMn∽△B1C1Mn，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得答案． 

【解答】解：∵n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点， 

∴S1=×B1C1×B1M1=×1×=， 

S△B1C1M2=×B1C1×B1M2=×1×=， 

S△B1C1M3=×B1C1×B1M3=×1×=， 

S△B1C1M4=×B1C1×B1M4=×1×=， 

S△B1C1Mn=×B1C1×B1Mn=×1×=， 

∵BnCn∥B1C1， 

∴△BnCnMn∽△B1C1Mn， 

∴S△BnCnMn：S△B1C1Mn=（）2=（）2， 

即Sn： =， 

∴Sn=． 

故答案为：． 

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及直角三角形面积的公式．此题难度较大，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．

三、解答题（本大题共10小题，共58分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 

15．计算：（﹣2016）0+|﹣2|+（）﹣2+3tan30°． 

【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 

【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简求出答案． 

【解答】解：原式=1+2﹣+4+， 

=7． 

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 

16．÷（x﹣），再从1、0、中选一个你所喜欢的数代入求值． 

【考点】分式的化简求值． 

【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值代入进行计算即可． 

【解答】解：原式=﹒

=， 

当x=时，原式=+2． 

【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 

17．某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务．若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积． 

【考点】分式方程的应用． 

【分析】设每人每小时的绿化面积为x平方米，根据施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务，列方程求解． 

【解答】解：设每人每小时的绿化面积为x平方米，根据题意得： 

﹣=3， 

解得：x=， 

经检验x=是原方程的解； 

答：每人每小时的绿化面积是平方米． 

【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程求解． 

18．某小学三年级到六年级的全体学生参加“礼仪”知识测试，试题共有10题，每题10分．从中随机抽取了部分学生的成绩进行统计，发现抽测的学生每人至少答对了6题，现将有关数据整理后绘制成如下“年级人数统计图”和尚未全部完成的“成绩情况统计表”． 

                   成绩情况统计表

（1）测试学生中，成绩为80分的学生人数有　36　名；众数是　90　分；中位数是　90　分； 

（2）若该小学三年级到六年级共有1800名学生，则可估计出成绩为70分的学生人数约有　270　名． 

【考点】众数；用样本估计总体；频数（率）分布表；条形统计图；中位数． 

【专题】数形结合． 

【分析】（1）先由直方图得到调查的学生总数，然后计算出各成绩的人数或频率，再根据众数、中位数的定义求解即可． 

（2）利用成绩为70分的学生所占百分数乘以1800即可． 

【解答】解：（1）学生总人数=28+30+26++36=120（人）， 

21÷120=0.175，40÷120≈0.333，5÷120≈0.04，0.3×120=36，即成绩为80分的学生人数有36人，120﹣21﹣40﹣36﹣5=18，18÷120=0.15， 

90出现的次数最多，所以众数为90（分）， 

第60和第61个数都是90分，所以中位数为90分； 

（2）1800×0.15=270名． 

估计成绩为70分的学生人数约有270名． 

故答案为36，18，0.175，0.333，0.15，0.04；36，90，90；270． 

【点评】本题考查了众数和中位数的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握众数和中位数的定义． 

19．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为 

A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）． 

（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； 

（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）． 

【考点】作图-旋转变换；作图-轴对称变换． 

【专题】作图题． 

【分析】（1）根据题意画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1即可； 

（2）根据题意画出△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，线段BC旋转过程中扫过的面积为扇形BCC2的面积，求出即可． 

【解答】解：（1）如图所示，画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； 

（2）如图所示，画出△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2， 

线段BC旋转过程中所扫过得面积S==． 

【点评】此题考查了作图﹣旋转变换，对称轴变换，以及扇形面积，作出正确的图形是解本题的关键． 

20．如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为2m，台阶AC的倾斜角∠ACB为30°，且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（测倾器的高度忽略不计）． 

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 

【分析】先根据直角三角形的性质得出AC的长，再由锐角三角函数的定义得出DC的长，进而可得出结论． 

【解答】解：∵∠B=90°，∠ACB=30°，AB=2m， 

∴AC=2AB=4． 

又∵∠DCE=60°， 

∴∠ACD=90°． 

∵AF∥BE， 

∴∠CAF=∠ACB=30°， 

∴∠DAC=60°． 

在Rt△ACD中， 

∵tan∠DAC=， 

∴DC=． 

在Rt△DCE中， 

∵∠DCE=60°，tan∠DCE=， 

∴DE=4×=6． 

答：树DE的高度为6米． 

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键． 

21．如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC边上，点F在BC延长线上，且∠CDF=∠BAE． 

（1）求证：四边形AEFD是平行四边形； 

（2）若DF=3，DE=4，AD=5，求CD的长度． 

【考点】平行四边形的判定；矩形的性质． 

【分析】（1）直接利用矩形的性质结合全等三角形的判定与性质得出BE=CF，进而得出答案； 

（2）利用勾股定理的逆定理得出∠EDF=90°，进而得出•ED•DF=EF•CD，求出答案即可． 

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， 

∴AB=DC，∠B=∠DCF=90°， 

∵∠BAE=∠CDF， 

在△ABE和△DCF中， 

， 

∴△ABE≌△DCF（ASA）， 

∴BE=CF， 

∴BC=EF， 

∵BC=AD， 

∴EF=AD， 

又∵EF∥AD， 

∴四边形AEFD是平行四边形；

（2）解：由（1）知：EF=AD=5， 

在△EFD中，∵DF=3，DE=4，EF=5， 

∴DE2+DF2=EF2， 

∴∠EDF=90°， 

∴•ED•DF=EF•CD， 

∴CD=． 

【点评】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理的逆定理，得出BC=EF是解题关键． 

22．如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于C点，AC平分∠DAB． 

（1）求证：AD⊥CD； 

（2）若AD=2，，求⊙O的半径R的长． 

【考点】切线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质． 

【专题】证明题． 

【分析】（1）连接OC，由题意得OC⊥CD．又因为AC平分∠DAB，则∠1=∠2=∠DAB．即可得出AD∥OC，则AD⊥CD； 

（2）连接BC，则∠ACB=90°，可证明△ADC∽△ACB．则=，从而求得R． 

【解答】（1）证明：连接OC，∵直线CD与⊙O相切于C点，AB是⊙O的直径，∴OC⊥CD．（1分） 

又∵AC平分∠DAB，∴∠1=∠2=∠DAB． 

又∠COB=2∠1=∠DAB， 

∴AD∥OC，∴AD⊥CD．（4分）

（2）解：连接BC，则∠ACB=90°， 

在△ADC和△ACB中∵∠1=∠2，∠3=∠ACB=90°，（6分） 

∴△ADC∽△ACB．（7分） 

∴=（9分） 

∴R==．（10分） 

【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理以及相似三角形的判定和性质，是中档题，难度不大． 

23．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y=x﹣1，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数y=x﹣1的零点．已知y=x2+kx﹣4（k为常数）． 

（1）当k=0时，求该函数的零点； 

（2）证明：无论k取何值，该函数总有两个零点． 

【考点】二次函数图象上点的坐标特征；根的判别式． 

【专题】计算题． 

【分析】（1）根据函数的零点的定义，令y=0，解方程即可． 

（2）令y=0，可得x2+kx﹣4=0．只要证明△=k2﹣4×（﹣4）=k2+16＞0即可． 

【解答】解：（1）当k=0时，y=x2﹣4． 

令y=0，x2﹣4=0，解得x=2或x=﹣2

∴当k=0时，该函数的零点是2和﹣2．

（2）证明：因为y=x2+kx﹣4，令y=0，可得x2+kx﹣4=0． 

∵△=k2﹣4×（﹣4）=k2+16＞0， 

∴无论k取何值，方程x2+kx﹣4=0总有两个不相等的实数根， 

∴无论k取何值，该函数总有两个零点． 

【点评】本题考查二次函数图象上点的特征、根的判别式、一元二次方程的解等知识，解题的关键是理解题意，用转化的思想思考问题． 

24．已知抛物线y=﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n），其中m、n是方程x2﹣6x+5=0的两个实数根，且m＜n． 

（1）求抛物线的解析式； 

（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，求C、D点的坐标和△BCD的面积； 

（3）P是线段OC上一点，过点P作PH⊥x轴，交抛物线于点H，若直线BC把△PCH分成面积相等的两部分，求P点的坐标． 

【考点】二次函数综合题． 

【专题】压轴题． 

【分析】（1）通过解方程可求出m、n的值，也就求出了点A、B的坐标，将它们代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值，从而确定该抛物线的解析式． 

（2）抛物线的解析式中，令y=0可求得C点坐标，利用公式法可求出抛物线顶点D的坐标；由于△BCD的面积无法直接求得，可过D作x轴的垂线，设垂足为E，分别求出△CDE、梯形DEOB、△BCO的面积，那么△CDE、梯形DEOB的面积和减去△BCO的面积，即可得到△BCD的面积． 

（3）若直线BC平分△PCH的面积，那么直线BC必过PH的中点，因为只有这样平分所得的两个三角形才等底等高，可设出点P的坐标，根据抛物线的解析式可表示出点H的坐标，进而可求得PH中点的坐标，由于PH中点在直线BC上，可将其代入直线BC的解析式中，由此求出点P的坐标． 

【解答】解：（1）解方程x2﹣6x+5=0， 

得x1=5，x2=1， 

由m＜n，知m=1，n=5， 

∴A（1，0），B（0，5）， 

∴

即； 

所求抛物线的解析式为y=﹣x2﹣4x+5．

（2）由﹣x2﹣4x+5=0， 

得x1=﹣5，x2=1， 

故C的坐标为（﹣5，0）， 

由顶点坐标公式，得D（﹣2，9）； 

过D作DE⊥x轴于E，得E（﹣2，0）， 

∴S△BCD=S△CDE+S梯形OBDE﹣S△OBC==15． 

（注：延长DB交x轴于F，由S△BCD=S△CFD﹣S△CFB也可求得）

（3）设P（a，0），则H（a，﹣a2﹣4a+5）； 

直线BC把△PCH分成面积相等的两部分，须且只须BC等分线段PH，亦即PH的中点， 

（）在直线BC上， 

易得直线BC方程为：y=x+5； 

∴． 

解之得a1=﹣1，a2=﹣5（舍去）， 

故所求P点坐标为（﹣1，0）． 

【点评】此题考查了一元二次方程的解法、二次函数解析式的确定、图形面积的求法、函数图象上点的坐标意义等基础知识，难度不大．