2019-2020学年辽宁省辽南协作体高一(上)期末数学试卷

一、选择题（12小题，每小题5分）

1．（5分）设集合，，．则阴影部分表示的集合为　　

A．，， B．，

C． D．，，

2．（5分）假设要考察某企业生产的袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表法抽取样本时，先将500袋牛奶按000，001，，499进行编号，如果从随机数表第8行第4列的数开始，按三位数连续向右读取．到达行末后，接着从下一行第一个数继续，则最先检验的5袋牛奶的号码是　　（下面摘取了某随机数表第7行至第9行）

84421  75331  57245  50688  77047  44767  21763

35025  83921  20676  63016  47859  16955  56719

98105  07185  12867  35807  44395  23879  33211

A．206  301  169  105  071 B．1  199  105  071  286

C．478  169  071  128  358 D．258  392  120  1  199

3．（5分）已知，为实数，则“”是“”的　　

A．．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分且必要条件 D．．既不充分也不必要条件

4．（5分）下列三个不等式中　　

①；

②；

③

恒成立的个数为　　

A．3 B．2 C．1 D．0

5．（5分）从，2，3，4，中随机选取一个数为，从，2，中随机选取一个数为，则的概率是　　

A． B． C． D．

6．（5分）已知幂函数为奇函数，则　　

A．1 B．4 C．1或4 D．2

7．（5分）某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计，得到如图所示的样本茎叶图，则该样本的中位数和众数分别是　　

A．46，45 B．45，46 C．45，45 D．47，45

8．（5分）函数的大致图象是　　

A． B．

C． D．

9．（5分）若，则的最小值是　　

A． B． C． D．

10．（5分）函数的零点个数为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

11．（5分）已知在中，点在线段的延长线上，若，点在线段上，若，则实数的取值范围　　

A． B． C． D．

12．（5分）设，关于的方程，给出下列四个命题，其中假命题的个数是　　

①存在实数，使得方程恰有3个不同的实根；

②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；

③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；

④存在实数，使得方程恰有6个不同的实根．

A．0 B．1 C．2 D．3

二、填空题（本题有4小题．每小题5分）

13．（5分）已知：，，用，表示　　．

14．（5分）某次调查的200个数据的频率分布直方图如图所示，则在，内的数据大约有　　个．

15．（5分）如图，已知，，，，，若，则　　．

16．（5分）已知实数，，满足，，则的取值范围是　　．

三、简答题（本题共6小题，共70分，解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（10分）已知集合，．

（1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；

（2）设命题，，若命题为假命题，求实数的取值范围．

18．（12分）地震是一种自然现象，地震的震级是震波最大振幅来确定的震级单位是“里氏”，通常用字母表示，其计算公式为：，其中是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差），例如：用和分别表示震级为8.0和9.0的最大振幅．

（1）若一次地震中的最大振幅是50，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到；（2）2008年5月12日，我国汶川发生了8.0级地震；2011年3月11日在日本东北部太平洋海城发生了9.0级地震．试计算9.0级地震的最大振幅是8.0级地震的最大振幅的多少倍？（以下数据供参考：

19．（12分）平面内给定三个向量，，．

（1）求满足的实数，；

（2）设，满足，且，求向量．

20．（12分）某中学为了丰富学生的业余生活，开展了一系列文体活动，其中一项是同学们最感兴趣的3对3篮球对抗赛，现有甲乙两队进行比赛，甲队每场获胜的概率为．且各场比赛互不影响．

（1）若采用三局两胜制进行比赛，求甲队获胜的概率；

（2）若采用五局三胜制进行比赛，求乙队在第四场比赛后即获得胜利的概率．

21．（12分）已知函数．

（1）若，求的值；

（2）若对于，恒成立，求实数的取值范围．

22．（12分）已知是的反函数．

（1）若在区间，上存在使得方程成立，求实数的取值范围；

（2）设，若对，函数在区间，上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围．

2019-2020学年辽宁省辽南协作体高一（上）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题（12小题，每小题5分）

1．（5分）设集合，，．则阴影部分表示的集合为　　

A．，， B．，

C． D．，，

【解答】解：，或，

阴影部分表示的是，而或，

故．

故选：．

2．（5分）假设要考察某企业生产的袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表法抽取样本时，先将500袋牛奶按000，001，，499进行编号，如果从随机数表第8行第4列的数开始，按三位数连续向右读取．到达行末后，接着从下一行第一个数继续，则最先检验的5袋牛奶的号码是　　（下面摘取了某随机数表第7行至第9行）

84421  75331  57245  50688  77047  44767  21763

35025  83921  20676  63016  47859  16955  56719

98105  07185  12867  35807  44395  23879  33211

A．206  301  169  105  071 B．1  199  105  071  286

C．478  169  071  128  358 D．258  392  120  1  199

【解答】解：找到第8行第4列的数开始向右读，

第一个符合条件的是258，

第二个数392，第三个数120，

第四个数676大于499要舍去，第五个数630大于499要舍去，

第六个数1符合条件，

第七个数785，第八个数916第九个数955，第十个数567大于499要舍去，

第十一个数199，符合条件

故答案为：258，392，120，1，199．

故选：．

3．（5分）已知，为实数，则“”是“”的　　

A．．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分且必要条件 D．．既不充分也不必要条件

【解答】解：是；．

 “”是“”的必要不充分条件．

故选：．

4．（5分）下列三个不等式中　　

①；

②；

③

恒成立的个数为　　

A．3 B．2 C．1 D．0

【解答】解：①，

，，，，，①正确；

②，显然当时，不等式不成立，故②不正确；

③，，，，③正确．

故选：．

5．（5分）从，2，3，4，中随机选取一个数为，从，2，中随机选取一个数为，则的概率是　　

A． B． C． D．

【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，

试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有种结果，

而满足条件的事件是，；，；，共有3种结果，

由古典概型公式得到，

故选：．

6．（5分）已知幂函数为奇函数，则　　

A．1 B．4 C．1或4 D．2

【解答】解：函数为幂函数，

，解得：或4，

又函数为奇函数，

，

故选：．

7．（5分）某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计，得到如图所示的样本茎叶图，则该样本的中位数和众数分别是　　

A．46，45 B．45，46 C．45，45 D．47，45

【解答】解：根据茎叶图知，

样本中的30个数据从小到大排列，位于中间的两个数据是45，47，

该样本的中位数为：；

出现次数最多的数据是45，

该样本的众数是45．

故选：．

8．（5分）函数的大致图象是　　

A． B．

C． D．

【解答】解：令，易知，所以该函数是奇函数，排除选项；

又时，，容易判断，当时，，排除选项；

令，得，所以，即时，函数图象与轴只有一个交点，所以选项满足题意．

故选：．

9．（5分）若，则的最小值是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，

．

，

，，．

，

，

则，当且仅当取等号．

故选：．

10．（5分）函数的零点个数为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：由，得，

设和，作出两个函数的图象如图：

由图象可知，两个函数图象有两个交点，

即函数的零点个数为2个．

故选：．

11．（5分）已知在中，点在线段的延长线上，若，点在线段上，若，则实数的取值范围　　

A． B． C． D．

【解答】解：；

，点在线段上（与点、不重合），

，

，

．

故选：．

12．（5分）设，关于的方程，给出下列四个命题，其中假命题的个数是　　

①存在实数，使得方程恰有3个不同的实根；

②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；

③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；

④存在实数，使得方程恰有6个不同的实根．

A．0 B．1 C．2 D．3

【解答】解：令，则，则方程可化为，所以△，

当时，△，方程无解；当时，△，方程有一根，即或（舍；

当或时，△，方程有2根，，或．

作出函数的图象如图：

当时，根据图象可知，有3个不同的实根；这时，所以存在值恰好有3个不同的实数根，所以①正确；

当时，方程无解，

当且，所以，设，则，所以，且，解得，所以④正确，

所以不正确的②③，

故选：．

二、填空题（本题有4小题．每小题5分）

13．（5分）已知：，，用，表示　　．

【解答】解：由，，

由，，

，

故答案为：．

14．（5分）某次调查的200个数据的频率分布直方图如图所示，则在，内的数据大约有　140　个．

【解答】解：根据频率分布直方图，，的频率为，

由，

故答案为：140

15．（5分）如图，已知，，，，，若，则　　．

【解答】解：如图，连接，延长交的延长线于点，

，

，

，，且，，

，

为等边三角形，

，

即为边的中点，且，

，

，

又，

．

故答案为：．

16．（5分）已知实数，，满足，，则的取值范围是　，　．

【解答】解：，，

，得；

 又，，

即，整理得，；

故答案为，．

三、简答题（本题共6小题，共70分，解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（10分）已知集合，．

（1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；

（2）设命题，，若命题为假命题，求实数的取值范围．

【解答】解：（1），，

是的充分不必要条件，，解得；

（2）由题知：，为真命题，

设，则，解得，

，．

18．（12分）地震是一种自然现象，地震的震级是震波最大振幅来确定的震级单位是“里氏”，通常用字母表示，其计算公式为：，其中是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差），例如：用和分别表示震级为8.0和9.0的最大振幅．

（1）若一次地震中的最大振幅是50，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到；（2）2008年5月12日，我国汶川发生了8.0级地震；2011年3月11日在日本东北部太平洋海城发生了9.0级地震．试计算9.0级地震的最大振幅是8.0级地震的最大振幅的多少倍？（以下数据供参考：

【解答】解：（1）

因此，这次地震的震级约为里氏4.7级．

（2）由可得，

当时，地震的最大振幅为

当时，地震的最大振幅为

所以，两次地震的最大振幅之比是：

答：9.0级地震的最大振幅约为8.0级地震的最大振幅的10倍．

19．（12分）平面内给定三个向量，，．

（1）求满足的实数，；

（2）设，满足，且，求向量．

【解答】解：（1）由，，，

则，，，

即，

解得，；

（2）设，则，

；

又，

且，

所以，

解得或；

所以向量，或，．

20．（12分）某中学为了丰富学生的业余生活，开展了一系列文体活动，其中一项是同学们最感兴趣的3对3篮球对抗赛，现有甲乙两队进行比赛，甲队每场获胜的概率为．且各场比赛互不影响．

（1）若采用三局两胜制进行比赛，求甲队获胜的概率；

（2）若采用五局三胜制进行比赛，求乙队在第四场比赛后即获得胜利的概率．

【解答】解：设，2，3，4，表示甲队在第场比赛获胜，

（1）所求概率为：

，

（2）所求概率为：．

21．（12分）已知函数．

（1）若，求的值；

（2）若对于，恒成立，求实数的取值范围．

【解答】解：（1），，

，解得．

（2）当，时，，且，

，

设，任取，，，且，则

，

是增函数，，

又，，，，，

，在区间，上单调递增，

，在，上恒成立，

．

22．（12分）已知是的反函数．

（1）若在区间，上存在使得方程成立，求实数的取值范围；

（2）设，若对，函数在区间，上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围．

【解答】解：（1）由题知，

由得，

所以，，

，，

，．

（2）当时，，

所以，，

因为，

所以，在上单调递减．

，

即，对任意恒成立．

，的图象为开口向上，且对称轴为的抛物线．

在区间上单调递增．

时，，

由，得．