《线性代数》考试大纲

一、考试基本要求：

第一部份：　行列式　

1.二阶、三阶行列式计算的对角线法则

2.排列与排列的逆序数的计算

3.奇排列与偶排列

4.n阶行列式的定义

5.n阶行列式的一般项的符号的确定

6.行列式的5条性质

7.简单的n阶行列式的计算

8.行列式的子式，余子式与代数余子式

9.行列式依行依列展开

10.掌握公式 Asj= Ait=

11.利用行列式性质计算行列式

12.理解拉菩拉斯定理n阶行列式计算依k行k列展开

13.掌握克莱姆法则

14.利用克莱姆法则解线性方程组

15.掌握n元n个方程的齐次线性方程组有非零解的充要条件

16.带有参数的齐次线性方程组的解的讨论

第二部份 矩阵

考核要求：

1.矩阵的定义

2.理解矩阵相等的定义与零矩阵

3.矩阵的线性运算（加法与数乘），负矩阵及其算律

4.矩阵与矩阵的乘法与算律

5.注意矩阵的乘法不满足交换律与相消律

6.方阵乘积的行列式等于方阵行列式的积

7.方阵的方幂运算

8.矩阵的转置及其算律

9.几种特殊的矩阵，行（列）矩阵，对角阵，数量矩阵，单位矩阵，上下三角阵，对称阵

10.掌握分块矩阵的方法

11.掌握分块矩阵的运算和对角分块矩阵上（下）三角形分块矩阵的运算特点

12.理解逆矩阵的定义与性质

13.方阵的伴随矩阵与性质

14.方矩阵可逆的充要条件

15.逆矩阵的伴随矩阵求法

16.逆矩阵的3条性质

17.应用逆矩阵解矩阵方程

18.掌握逆矩阵的基本证明方法

19.分块矩阵求逆矩阵的方法

20.掌握矩阵的初等行（列）变换

21.掌握三种初等矩阵与初等变换的关系

22.初等矩阵的性质

23.掌握行阶梯形矩阵与行最简阶梯形矩阵

24.运用矩阵的行初等变换化为最简阶梯形矩阵

25.理解方阵可逆的充要条件是它可以表成一系列初等矩阵之积

26.掌握用初等变换求逆矩阵的方法

27.矩阵的k阶子式

28.理解矩阵的秩的概念与满秩矩阵

29.理解矩阵的初等变换不改变矩阵的秩

30.掌握用初等变换求矩阵的秩的方法

31.掌握n阶方阵A的秩32.掌握若矩阵A是可逆矩阵则秩(AB)=秩B

第三部份　线性方程组　

考核要求：

1.线性方程组的增广矩阵与系数矩阵

2.对增广矩阵作行的初等变换求解线性方程组

3.线性方程组的一般解与自由未知量

4.非齐次线性方程组有解的判别方法

5.带有参数的线性方程组的解的个数的讨论

6.齐次线性方程组有非零解的充要条件

7.n元n个方程的齐次线性方程组有非零解的判别

8.理解n维向量及n维向量空间

9.掌握n维向量的线性运算及算律

10.知道向量由向量组1,2,…,m线性表出的含义

11.掌握判别可以由向量组1,2,…,m线性表出对具体方法

12.理解向量组线性相关与线性无关的定义

13.利用定义判断向量组的线性相关性

14.掌握向量组线性相关的充要条件是其中一个可由其余线性表示

15.掌握向量组线性相关性的矩阵判别法

16.理解用矩阵的秩来判别列向量组线性相关的定理

17.理解向量组线性相关性的一些常用性质

18.理解向量组的极大线性无关组的概念

19.理解向量组的极大线性无关组的充要条件

20.掌握用矩阵的行初等变换求最大无关组的方法

21.理解向量组的秩的概念

22.理解矩阵的列（行）秩的概念及矩阵的列秩等于矩阵的秩的定理

23.已知带有参数的向量组的秩求参数

24.齐次线性方程组的解向量的性质

25.理解齐次线性方程组的基础解系

26.基础解系中所含解向量的个数

27.利用化行初等变换求最简阶梯形矩阵得到基础解系

28.求齐次线性方程组的通解（用基础解系表示）

29.非齐次线性方程组的解向量与它的导出组的解向量之间的关系

30.非齐次线性方程组的解的结构定理

31.求非齐次线性方程组的通解（写成结构解的形式）

第四部份 向量空间的线性变换

考核要求：

1.理解向量关于基的坐标

2.掌握过渡矩阵的求法

3.掌握施密特正交化方法

第五部份　矩阵的特征值　

考核要求：

4.理解矩阵的特征值与相应的特征向量概念

5.理解矩阵的特征多项式与特征方程概念

6.掌握求矩阵特征值与特征向量的方法

7.A与AT有相同的特征值

8.理解不同特征值对应的特征向量线性无关

9.掌握相似矩阵的定义

10.掌握相似矩阵的基本性质

11.理解n阶矩阵A相似于对角矩阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量

12.掌握相似对角矩阵的具体算法

13.理解n阶矩阵A相似于对角阵的充要条件是对于A的每一个ni重特征值i，有秩(iI-A)=n-ni

14.理解约当形矩阵于约当块的基本概念

15.任一个矩阵与约当矩阵相似

16.理解向量的内积

17.掌握内积运算的基本性质

18.掌握向量的范数及其基本性质

19.掌握柯西-布涅可夫斯基不等式

20.理解正交向量与正交向量组的概念

21.掌握正交向量组必是线性无关的

22.掌握向量组正交单位化的方法

23.理解正交矩阵概念

24.掌握正交矩阵的基本性质

25.理解实对称矩阵的特征值都是实数

26.理解实对称矩阵的不同的特征值对应的特征向量是正交的

27.掌握实对称矩阵正交对角化的具体算法

第六部份　二次型

考核要求：

1.理解x1,x2,…,xn的一个n元二次型

2.掌握二次型的矩阵及其特点，二次型的矩阵乘积写法

3.理解变量x1,x2,…,xn到变量x1,x2,…,xn间的线性替换

4.掌握线性替换的矩阵及非退化的线性替换

5.理解二次型的标准形与二次型的秩

6.理解两个矩阵合同的定义

7.理解二次型通过非退化线性替换得到的二次型的矩阵是合同的

8.掌握用配方法将二次型化为标准形的具体方法，并能写出非退化线性替换的变换式

9.理解任何一个二次型与某个对角矩阵合同

10.掌握用初等变换方法将二次型化为标准形的具体过程

11.掌握用正交变换方法将二次型化为标准形的具体过程

12.理解任一个实对称矩阵A必存在一个正交矩阵Q使得QTAQ=D，其中D为对角矩阵

13.理解二次型与对称矩阵的规范形

14.理解二次型与对称矩阵的规范形是唯一的

15.掌握把二次型与对称矩阵化为规范形的方法

16.理解二次型的正、负惯性指标及惯性定理

17.理解正定、负定、半正定、半负定与不定二次型

18.理解正定、负定、半正定、半负定与不定的对称矩阵

19.理解实对称矩阵是正定的充要条件

20.掌握用顺序主子式判别对称矩阵为正定矩阵的方法

21.理解对称矩阵为正定的充要条件是它的特征值全大于零

22.带有参数的二次型的正定性的讨论方法

三、考试形式及试卷结构

1、考试形式为闭卷、笔试。考试时间为120分钟，试卷满分为100分。

2、试卷内容比例：试卷内容将覆盖全部教学内容。其中：第1、2、3、4、5、6等各部份所占比例为15-20%。

3、试卷难易比例：易、中、难分别为40%、40%和 20%。

4、试卷中了解、掌握、熟练掌握的知识点所占比例为1:3:6

5、试卷题型比例：

选择题（10题，每题2分），

填空题（10题，每题2分），

计算题（5题，每题8分），

证明题（2题，每题10分）。

四、 参考书目

 [1] 同济大学数学教研室编<<线性代数>>（第三版），高等教育出版社，1999年6月。

  [2] 线性代数（工程数学）/魏战线主编，辽宁大学出版社，2000年10月。

  [3] 线性代数全程学习指导与解题能力训练：同济·线性代数第四版/刘学生主编.--大连：大连理工大学出版社，2001.