考研 概率统计

第二章　随机变量及其分布

　　一、一维离散随机变量

　　定义4：如果随机变量的取值为一列离散的点，我们就称 为一个离散随机变量，并称，为随机变量的分布列.

　　分布列的性质：（1）；（2）

　　1.一维离散

　　2.一维连续

　　3.一维函数的分布

　　是random variable的缩写

　　二、随机变量的分布函数

　　定义5：设为一个随机变量，我们称为随机变量的分布函数.

　　分布函数的性质：

　　（1）为的右连续函数

　　（2）为的不减函数

　　（3）

　　三、一维连续型随机变量

　　定义6：如果随机变量的分布函数可以写成

　　则称为一个连续型随机变量，称为的密度函数.

　　密度函数的性质：（1），（2）.

　　连续型随机变量求概率：设为连续型随机变量的密度函数，，那么

　　（1）；

　　质量=

　　①不是概率，有可能大于1

　　②

　　【例21·解答题】设随机变量的分布列为，求的分布函数.

　　【答疑编号911302101】

　　解：

　　【例22·解答题】设为曲线与x轴所围成的区域，在中等可能地投点，该点到轴的距离为，求的分布函数.

　　【答疑编号911302102】

　　解：

　　的取值范围

　　当时，

　　当时，

　　当时，

　　【例23·选择题】下列四个函数，哪个是分布函数

　　（A）

　　（B）

　　（C）

　　（D）

　　【答疑编号911302103】

　　答案：（D）

　　【例24·选择题】设函数，则

　　（A）是随机变量的分布函数；（B）不是分布函数；

　　（C）离散型分布函数；　　　　　　 （D）连续型分布函数.

　　【答疑编号911302104】

　　不是右连续的，所以不是分布函数

　　答案：（B）

　　是随机变量的的分布函数，是既不离散也不连续的随机变量

　　【例25·选择题】设随机变量的概率密度是偶函数，是其分布函数，则对于任意实数，有（　）

　　（A）；

　　（B）；

　　（C）；

　　（D）.

　　【答疑编号911302105】

　　分析：

　　答案：（C）

　　【例26·选择题】下列论断正确的是

　　（A）连续型随机变量密度是连续函数；

　　（B）连续型随机变量等于0的概率是0；

　　（C）连续型随机变量密度；

　　（D）两连续型随机变量之和是连续型的.

　　【答疑编号911302106】

　　分析：

　　不是连续函数，所以（A）错

　　设是连续的，令，也是连续的，但它们的和为0，不是连续型，所以（D）错误.两个相互的连续型随机变量之和是连续型的.

　　答案：（B）

　　【例27·选择题】假设是只有两个可能值的离散型随机变量，是连续型随机变量，且和相互，则随机变量的分布函数

　　（A）是阶梯函数；

　　（B）恰好有一个间断点；

　　（C）是连续函数；

　　（D）恰好有两个间断点.

　　【答疑编号911302107】

　　答案：（C）

　　常见的离散随机变量：

　　【例28·解答题】在重试验中，假设事件在每一次试验中发生的概率均为，令表示在这次试验当中发生的次数，求的分布列.

　　【答疑编号911302108】

　　解：

　　， 

　　【例29·解答题】假设某人对一目标进行连续射击，每次击中目标的概率均为，令表示首次击中目标时的射击次数，求的分布列.

　　【答疑编号911302109】

　　解：

　　的取值范围：

　　，

　　如果令表示第三次命中时的射击次数，则

　　，

　　1.二项分布：如果随机变量的分布列为：

　　，

　　我们称随机变量服从参数为 的二项分布，记为

　　2.0－1分布：我们把时的二项分布称为0－1分布

　　3.泊松分布：如果随机变量的分布列为：

　　，

　　我们称随机变量服从参数为的泊松分布，记为

　　4.几何分布：如果随机变量的分布列为：

　　， 

　　我们称随机变量服从参数为的几何分布.

　　5.超几何分布：如果随机变量的分布列为：

　　，

　　我们称随机变量服从参数为的超几何分布，记为.

　　常见的连续型随机变量

　　1.均匀分布：若随机变量X的密度函数为，，则称随机变量X服从区间上的均匀分布，记为.

　　2.指数分布：若随机变量X的密度函数为则称随机变量X服从参数为的指数分布，记为.

　　3.正态分布：若随机变量X的密度函数为

　　则称随机变量X服从参数为的正态分布，记为.

　　特别，当时，称为标准正态分布，其密度函数记为，分布函数记为.

　　正态分布的基本性质：

　　1.若，则.

　　2.正态分布的标准化性质：若，则.

　　例题：

　　，求P（1＜X＜5）的概率

　　解：P（1＜X＜5）=P（-1＜＜1）

　　【例30·解答题】设，现对X进行四次重复观测，求至少有3次观测值小于4的概率.

　　【答疑编号911302201】

　　解：

　　A={X＜4} 

　　【例32·选择题】设随机变量X与Y服从正态分布，，，记，，则（　）

　　（A）对任何，都有；　　　　　　 （B）对任何实数，都有；

　　（B）只有的个别值，才有；　　　 （D）对任何实数，都有.

　　【答疑编号911302202】

　　答案：A

　　【例33·选择题】设随机变量，则随的增大，概率

　　（A）单调增大；　　　（B）单调减小；　　（C）保持不变；　　（D）增减不定.

　　【答疑编号911302203】

　　答案：C

　　【例31·填空题】设，且，则　　　　　.

　　【答疑编号911302204】

　　∴0.25+0.25+0.25=0.75

　　四、一维随机变量函数的分布

　　问题的提法：已知连续随机变量X的密度函数为f（x），令Y=G（X），其中G（X）为一个实函数.求随机变量Y=G（X）的密度或分布函数.

　　【例34·解答题】设随机变量X的密度为f（x）=3x2，0＜x＜1，求Y=eX的密度函数.

　　【答疑编号911302205】

　　f（x）=3x2，0＜x＜1 　　X:[0，1]

　　Y的取值范围[1，e]

　　　　当y＜1时，FY（y）=0

　　　　当y≥e时，FY（y）=1

　　　　当1≤y＜e时，FY（y）=P（Y≤y）=P（eX≤y）=P（X≤lny）

　　Y=eX

　 　=（lny）3

　　∴fY（y） 　（1＜y＜e）

　　【例35·解答题】设随机变量X服从参数=2的指数分布，令Y=1-e-2X，求随机变量Y的分布函数FY（y）与概率密度fY（y）.

　　【答疑编号911302206】

　　Y的取值范围：[0，1]

　　当y＜0时，FY（y）=0，y≥1时，FY（y）=1

　　当0≤y＜1时，FY（y）=P（Y≤y）=P（1-e-2X≤y）=P（X≤ln（1-y））

　　=

　　=

　　∴fY（y）=1　　 0＜y＜1 　　Y～U（0，1）

　　【例36·解答题】设连续型随机变量X有严格单调增加的分布函数F（x），试求Y=F（X）的分布函数与密度函数.

　　【答疑编号911302207】

　　Y=F（X） 0≤F（x）≤1

　　Y：[0，1]

　　当0≤y＜1时，FY（y）=P（Y≤y）=P（F（X）≤y）=P（X≤F-1（y））

　　=F（F-1（y））=y

　　∴fY（y）=1　　0＜y＜1

　　【例37·解答题】设随机变量X的分布函数FX（x）为

　　令Y＝X2，求Y的分布函数FY（y）

　　【答疑编号911302208】

　　解：要求Y＝X2 的分布函数必须知道X的取值范围

　　X：[-1，1]

　　Y的取值范围[0，1]

　　y＜0时，FY（y）=0

　　y≥1时，FY（y）=1

　　0≤y＜1时，FY（y）=P（Y≤y）= P（X2≤y）

　　【例38·解答题】设随机变量X服从指数分布，EX=5，令Y=min（X，2），求随机变量Y的分布函数F（y）

　　【答疑编号911302209】

　　解：X～e（） Y=min（X，2）

　　Y：[0，2]

　　时，

　　FY（y）=P（Y≤y）=P（min{X，2}≤y）

　　　　　 =P（X≤y）

　　　　　 =

　　则随机变量Y的分布函数为