量子力学必考题

第2章 微扰理论

 3.5   一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是，L为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数：

(1)转子绕一固定轴转动：

(2)转子绕一固定点转动：（考一问）

解：(1)设该固定轴沿Z轴方向，则有

       哈米顿算符      

   其本征方程为  (无关，属定态问题)

        令  ，则

  取其解为            (可正可负可为零)

由波函数的单值性，应有

        即     

       ∴m= 0，±1，±2，…

转子的定态能量为         (m= 0，±1，±2，…)

可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。        定态波函数为       

A为归一化常数，由归一化条件

   ∴ 转子的归一化波函数为

  综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。

    (2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为

     无关，属定态问题，其本征方程为

     (式中设为的本征函数，为其本征值)

   令，则有

 此即为角动量的本征方程，其本征值为

 其波函数为球谐函数

        ∴ 转子的定态能量为

 可见，能量是分立的，且是重简并的。

第7章 自旋与全同粒子

7.3.求的本征值和所属的本征函数。（考的本征值和本证函数）

    解：的久期方程为

     ∴  的本征值为。

设对应于本征值的本征函数为 

 由本征方程    ，得

由归一化条件     ，得

即         ∴     

对应于本征值的本征函数为      

同理可求得的本征值为。其相应的本征函数分别为

7.5设氢的状态是  

①求轨道角动量z分量和自旋角动量z分量的平均值；

 ②求总磁矩 

的 z分量的平均值（用玻尔磁矩子表示）（必考）

解：ψ可改写成

从ψ的表达式中可看出的可能值为         0

相应的几率为         

    的可能值为       

  相应的几率为           

（以下的可能会考，最后一节课讲得）

第三章 量子力学中的力学量

1、动量算符的本征值方程：

2、两个表示力学量的算符之间的关系：

（1）对易：有组成完全系的共同本征态

（2）不对易：若ÔÛ ≠ ÛÔ，则称Ô 与 Û  不对易。

3、量子力学中的算符表示对波函数（量子态）的一种运算

如动量算符

能量算符

动能算符  动能平均值

角动量算符  角动量平均值

薛定谔方程

算符                    ，被称为哈密顿算符，（求算符的对易）

第五章 微扰理论

1、定态微扰理论

 适用范围：求分立能级及所属波函数的修正，适用条件

           （2分填空）

（1）非简并情况：

       （大题不会写公式4分）

  第七章   自旋与全同粒子

施特恩-格拉赫实验——证明电子具有自旋

2、光谱线精细结构：钠原子光谱中的一条亮黄线   53Å，用高分辨率的光谱仪观测，可以看到该谱线其实是由靠的很近的两条Æ×Ïß×é³É¡£ÆäËûÔ­×Ó¹âÆ×ÖÐÒ²¿ÉÒÔ·¢ÏÖÕâÖÖÆ×ÏßÓɸüϸµÄһЩÏß×é³ÉµÄÏÖÏ󣬳Æ֮Ϊ¹âÆ×Ïߵľ«Ï¸½á¹¹¡£¸ÃÏÖÏóÖ»Óп¼ÂÇÁ˵ç×ÓµÄ×ÔÐý²ÅÄܵõ½½âÊÍ¡££¨Ìî¿ÕorÑ¡Ôñ£©

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