用基本不等式求最值六种方法

一．配项

例1：设x>2,求函数y=x+的最小值

解析：y=x-2++2≥8  当x-2=时，即x=5时等号成立

例2：已知a,b是正数，满足ab=a+b+3,求ab的最小值

法1：ab=a+b+3≥2+3当a=b时等号成立，解得≥3即ab≥9当a=b=3时等号成立。

法2:已知可化为（a-1）(b-1)=4.又ab=(a-1)+（b-1）+5≥9当a-1=b-1=2时等号成立，即a=b=3

二．配系数

例3:设0解析：y=(x)≤×2=当x=时等号成立

三．重复使用不等式

例4：已知a>b>0，求+的最小值

解析：+=+≥4(a-b)b+≥2=16  当a-b=b=时，等号成立。

四．平方升次

例5：当x>0时，求函数y=x+的最大值。

解析：y=x+2x+4-x=4+2x≤4+［x+()］=8  当x=，即x=时，y取得最大值2.

五．待定系数法

例6：求y=2sinx(sinx+cosx)的最大值。

解析：y=2sinx+2sinxcosx

       =2 sinx+ (a>0)

       ≤2 sinx+

       =a+  若为定值，则=0，a=+1,

所以y≤+1,sinx=,cosx=时成立。

六．常值代换

例7：已知x>0,y>0,且x+2y=3,求+的最小值

解析：+=(x+2y)( +)=1+(+)≥1+

当且仅当=，且x+2y=3，即x=3(-1),y=(2-)时，取得最小值为1+