24．1．2 垂直于圆的直径
授课题目：垂直于圆的直径 课型：新授课
授课对象：九年级学生 授课学时：1课时 （45分钟）
参考教材：义务教育课程标准实验教材书数学九年级上册（人民教育出版社）
一、教材分析
1、作为《圆》这章的第一个重要性质，它研究的是垂直于弦的直径和这弦的关系。
2、该性质是圆的轴对称性的演绎，也是今后证明圆中线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时为后面圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的作用。
二、教学目标
1、知识目标：
（1）充分认识圆的轴对称性。
（2）利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径定理。
（3）运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图。
2、能力目标：
让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究过程，培养学生动
手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力。
让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力。
3、情感目标：
通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和求知欲，同时
培养学生勇于探索的精神。
三、教学关键
圆的轴对称性的理解
四、教学重点
垂直于弦的直径的性质及其应用。
五、教学难点
1、垂径定理的证明。
2、垂径定理的题设与结论的区分。
六、教学辅助
多媒体、可折叠的圆形纸板。
七、教学方法
本节课采用的教学方法是“主体探究式”。整堂课充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，注重学生探究能力的培养，鼓励学生认真观察、大胆猜想、小心求证。令学生参与到“实验--观察--猜想--验证--归纳”的活动中，与教师共同探究新知识最后得出定理。学生不再是知识的接受者，而是知识的发现者，是学习的主人。
八、教学过程：
| 教学环节 | 创设情境 回顾旧识 | 引入新课 揭示课题 | 师生互动 探求新知 | 概念辨析 运用新知 | 拓展升华 快速判定 | 归纳小结 分层作业 | |||||
| 教学时间 | 3分钟 | 5分钟 | 9分钟 | 20分钟 | 4分钟 | 4分钟 | |||||
| 教学环节 | 教师活动 | 学生活动 | 设计目的 | ||||||||
情 景 创 设 | 情景创设（1分钟） 情景问题：赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（ppt） 把一些实际问题转化为数学问题 | 思考：若用直角三角形解决，那么E是否为AB中点？ | 从实际出发，充分发现问题的存在，再带着问题去思考它们之间的关系，有助于定理的得出。 | ||||||||
回 顾 旧 识 | 回顾旧识（2分钟） 我们已经学习过对称的有关概念，下面复习两道问题 1）什么是轴对称图形？ 2）我们学习过的轴对称图形有哪些？ （电脑上直观的动画演示，运用几何画板演示沿上述图形对称轴对折图形的动画） | 学生观察一些图形： 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。 如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形。 | 通过复习，强化学生本节课所需要的相关知识，为学生自主探索垂径定理做奠基。 | ||||||||
引 入 新 课 | 引入新课（4分钟） 问：（1）我们所学的圆是不是轴对称图形？ （2）如果是，它的对称轴是什么？ 拿出一张圆形纸片，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？： （1）圆是轴对称图形。 （2）对称轴是过圆点的直线（或任何一条直径所在的直线） （3）圆的对称轴有无穷多条 | 实验：把圆形纸片沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次 观察：两部分重合，发现得出圆的对称性的结论 | 培养学生的动手能力，观察能力，通过比较，运用旧知识探索新问题 | ||||||||
揭 示 课 题 | 揭示课题（1分钟） 电脑上用几何画板上作图： （1）做一圆 (2) 在圆上任意作一条弦 AB； (3) 过圆心作AB的垂线的直径CD且交AB于E。
（板书课题：垂直于弦的直径） | 在圆形纸片上作一条弦AB，过圆心作AB的垂线的直径CD且交AB于E | |||||||||
师 生 互 动 | 师生互动（4分钟） 运用几何画板展示直径与弦垂直相交时圆的翻折动画让学生观察，讨论 （1）图中圆可能会有哪些等量关系？ （2）弦AB与直径CD除垂直外还有什么性质？ | 实验：将圆沿直径CD对折 观察：图形重合部分，思考图中的等量关系 猜想： AE=EB、 弧AC=弧CB、 弧AD=弧DB (电脑显示))垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧？ | 引导学生通过“实验--观察--猜想”，获得感性认识，猜测出垂直于弦的直径的性质 | ||||||||
探 求 新 知 | 探求新知（5分钟） 提问：这个结论是同学们通过演示观察猜想出来的，结论是否正确还要从理论上证明它，下面我们试着来证明它 已知：CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD 证明：AE=EB、弧AC=弧CB、弧AD=弧DB （<板书及电脑显示>垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 <进一步也可推知>垂径定理的逆定理：平分弦的直径垂直于弦，并且垂直于弦所对的两条弧） | 探索： 证明：连结OA、OB，则OA＝OB，又OE⊥AB ∴△OAE≌△OBE 则AE=BE ∴CD所在的直线垂直平分弦AB 当把⊙O沿着直径CD折叠时， A点和B点重合 所以E=EB、弧AC=弧CB、弧AD=弧DB | 让学生自主探究，大胆求证猜想发展思维能力，归纳结果 | ||||||||
概 念 辨 析 | 概念辨析（2分钟） （电脑显示）练习1 AE=EB吗？ （1） （2） （3） 注意：直径，垂直于弦，缺一不可！ | 图（1）直径不垂直弦 图（2）垂直弦的不是直径 图（3）AB为弦，CD为直径，AB⊥CD满足垂径定理 | 运用定理变式练习揭示定理本质属性，强调垂径定理两个条件 | ||||||||
运 用 新 知 | 运用新知（18分钟） 练习1：（5分钟） 一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。 在学生发表见解的情况下总结归纳：（1）圆中有关弦、半径的计算问题通常利用垂径定理来解决。（2）重要的辅助线：过圆心做弦的垂线构造直角三角形，结合垂径定理与解直角三角形的有关知识解题。 总结口诀：半径半弦弦心距，化为勾股最容易，另外加上弓形高，Ｒｔ三角形少不了 | 学生总结归纳解题思路，在练习本作，电脑显示 解：:作OC⊥AB于C, 由垂径定理得: AC=BC= AB= ×16=8 由勾股定理得: 答:截面圆心O到水面的距离为6. | 这是一道计算题，是垂径定理的简单应用，可调动学生积极性，让学生通过归纳探究，使知识点有机的结合在一起，使其更深入地掌握定理的内涵，培养他们思维的严谨性和深刻性，提高分析和归纳的能力。 | ||||||||
| 练习2（5分钟） （情景问题）赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ | （练习本做、电脑显示） 解：如图，设半径为R 在Ｒt⊿AOD中，由勾股定理，得 解得 R≈27.9（m） 答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m | 练习上一结束后，返回情景问题，解决这道之前不能完成的题目，体会成功的乐趣，发展思维能力，富有成就感。 | |||||||||
| 练习3：（3分钟） 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。 求证：AC＝BD。 注意：作辅助线 | （学生识图、练习本做、电脑显示） 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。 AE－CE＝BE－DE。 所以，AC＝BD | 这是证明线段相等的变式题，增强学生的识图能力，揭示解决问题的方法——过圆心向弦做垂线，利用垂径定理来解决一系列类似问题。 | |||||||||
| 练习4（5分钟） 出示分层训练： １．如图1，已知AB、CD是圆O的两条弦，OE、OF分别为AB、CD的弦心距，如果AB=CD，则可得出什么结论（至少写出两个）？并证明。 ２．已知如图2：在⊙O中，AB、AC为互相垂直的两条相等的弦，OD⊥AB，OE⊥AC，D、E为垂足。求证：四边形ADOE为正方形。 ３．如图3，不过圆心的直线L交⊙O 于CD，AB是⊙O 直径。AE、BF分别垂直于L ，垂足是E、F。 ⑴求证：CE=DF ⑵若AB与CD相交，⑴的结论还成立吗？ 图1 图2 图3 | 全班同学分层完成，每组同学完成自己题目后可做高一层的题目 | 调整难度和梯度，让所有学生均有所收获，让学生充分认识到垂径定理是证明线段相等的依据。 | |||||||||
| 拓展升华（3分钟） 如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换或交换一条，命题是真命题吗？ （1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论 | 学生自主探证 | 通过问题，引导学生拓展思维，发现新目标 | |||||||||
快 速 判 断 | 快速判断（1分钟） （1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧………………………………………..( ) （2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心………………………………..( ) （3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分……………………………………...( ) （4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两 条弦………………………………………( ) （5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ） | 巩固拓展知识 | |||||||||
| 归 纳 小 结 | 归纳小结(3分钟) 由学生小结，电脑显示 知识总结： 这节课我们主要学习了两个问题：一是圆的轴对称性（学生回答），它是理解和证明定理的关键；二是垂径定理（学生回答），它是这节课的重点要求大家分清楚定理的条件和结论，并熟练掌握定理的简单应用，还推知它的里定理。另外它的其他推论级应用我们下节课探讨。 讲评总结： 1学习垂径定理后，你认为应该注意哪些问题？ 2应用垂径定理如何添辅助线？垂径定理有哪些应用 3这节课的学习你有什么疑问？ 4这节课的学习方式拟喜欢吗？你有什么好的建议？ | 讲评回答 | 回顾这节课的内容，加深学生对知识的印象，反馈学生这节课收获节疑问，使教学效果得到提高 | ||||||||
| 分 层 作 业 | 分层作业（1分钟） 1、.必做题:习题24.1—1,7,8 2.、选做题:习题24.1—13 | 作业题分层给出，调动学生学习积极性，提高学生思维的广度，培养学生良好的学习习惯及思维品质，让学有余力的学生进一步的提高 | |||||||||
（1）圆是轴对称图形。
（2）对称轴是过圆点的直线（或任何一条直径所在的直线）
| （3）圆的对称轴有无穷多条 | 24.1.2 垂直于 垂径定理： 垂径定理逆定理： | 弦的直径 垂径定理证明： | 方法归纳： 技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线。 重要思路： （由）垂径定理——构造Rt△——（结合）勾股定理——建立方程 构造Rt△的“七字口诀”：半径半弦弦心距 |
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