2012深圳二模试题及答案(理数)

           数学（理科）参及评分标准       2012.4

一、选择题：

（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题．

9．        10．        11．        12．        13．

（注：第9题答案也可以写成，如果写成，不扣分．）

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题．

14．（坐标系与参数方程选做题）        15．（几何证明选讲选做题）

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知函数，．

（1）求的最大值；

（2）设△中，角、的对边分别为、，若且，求角的大小．

解：（1）         ……………………2分

．（注：也可以化为） …4分

所以的最大值为．         …………………………………………………………6分

（注：没有化简或化简过程不全正确，但结论正确，给4分）

（2）因为，由（1）和正弦定理，得．………………7分

又，所以，即，         ………………9分

而是三角形的内角，所以，故，，  ………………11分

所以，，．   ……………………………………12分

17．（本小题满分12分）

深圳市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回．

（1）设第一次训练时取到的新球个数为，求的分布列和数学期望；

（2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．

解：（1）的所有可能取值为0，1，2．                ………………………………………1分

设“第一次训练时取到个新球（即）”为事件（0，1，2）．因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以

，                    ………………………………………3分

，                   ………………………………………5分

．                    ………………………………………7分

所以的分布列为（注：不列表，不扣分）

（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件．

则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件．

而事件、、互斥，

所以，．

由条件概率公式，得

，   …………………………………9分

，  …………………………………10分

．   …………………………………11分

所以，第二次训练时恰好取到一个新球的概率为

．          …………………………………12分

18．（本小题满分14分）

如图5，已知正方形在水平面上的正投影（投影线垂直于投影面）是四边形，其中与重合，且．

（1）证明平面，并指出四边形的形状；

（2）如果四边形中，，，正方形的边长为，

求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

证明：（1）依题意，平面，

平面，

平面，

所以．             ……………2分

（法1）在上取点，使得，

连结，，如图5－1．

因为，且，

所以是平行四边形，，且．

又是正方形，，且，

所以，且，故是平行四边形，      ………………………………4分

从而，又平面，平面，

所以平面．           ………………………………………………………………6分

四边形是平行四边形（注：只需指出四边形的形状，不必证明）．……7分

（法2）因为，平面，平面，

所以平面．

因为是正方形，所以，又平面，平面，

所以平面．           ………………………………………………………………4分

而平面，平面，，

所以平面平面，又平面，所以平面． …………6分

四边形是平行四边形（注：只需指出四边形的形状，不必证明）．……7分

解：（2）依题意，在Rt△中，，

在Rt△中，，

所以．

（注：或）    ………………………………………8分

连结，，如图5－2，

在Rt△中，．

所以，故．……10分

（法1）延长，相交于点，

则，而，所以．

连结，则是平面与平面

的交线．

在平面内作，垂足为，

连结．

因为平面，平面，所以．

从而平面，．

所以是平面与平面所成的一个锐二面角．  …………………………12分

在Rt△中，，

在Rt△中，．

所以，

即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．……………………14分

（法2）以为原点，为轴，为轴，为轴，

建立空间直角坐标系（如图5－3），

则平面的一个法向量．

设平面的一个法向量为，

因为，，，

所以，，

而，，

所以且，

即，

取，则，，所以平面的一个法向量为．

（注：法向量不唯一，可以是与共线的任一非零向量）……………………12分

．

所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为． …………………14分

（法3）由题意，正方形在水平面上的正投影是四边形，

所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值．  …………………12分

而，，所以，

所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为． …………………14分

19．（本小题满分14分）

已知数列满足：，，且，．

（1）求通项公式；

（2）设的前项和为，问：是否存在正整数、，使得？若存在，请求出所有的符合条件的正整数对，若不存在，请说明理由．

解：（1）当是奇数时，；当是偶数时，．

所以，当是奇数时，；当是偶数时，． ……………………2分

又，，所以，，，…，，…是首项为1，公差为2的等差数列；

，，，…，，…是首项为2，公比为3的等比数列．        ……………………4分

所以，．          ………………………………………………6分

（2）由（1），得

，

．        ………………………8分

所以，若存在正整数、，使得，则

． ………………9分

显然，当时，；

当时，由，整理得．

显然，当时，；

当时，，

所以是符合条件的一个解．                  ……………………………11分

当时，

．       …………………………12分

当时，由，整理得，

所以是符合条件的另一个解．

综上所述，所有的符合条件的正整数对，有且仅有和两对． ……14分

（注：如果仅写出符合条件的正整数对和，而没有叙述理由，每得到一组正确的解，给2分，共4分）

20．（本小题满分14分）

如图6，已知动圆过定点且与轴相切，点关于圆心的对称点为，动点的轨迹为．

（1）求曲线的方程；

（2）设是曲线上的一个定点，过点任意作两条倾斜角互补的直线，分别与曲线相交于另外两点、．

① 证明：直线的斜率为定值；

② 记曲线位于、两点之间的那一段为．若点在上，且点到直线的距离最大，求点的坐标．

解：（1）（法1）设，因为点在圆上，

且点关于圆心的对称点为，

所以，               …………1分

且圆的直径为．…………2分

由题意，动圆与轴相切，

所以，两边平方整理得：，

所以曲线的方程为．             ………………………………………………5分

（法2）因为动圆过定点且与轴相切，所以动圆在轴上方，

连结，因为点关于圆心的对称点为，所以为圆的直径．

过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为（如图6－1）．

在直角梯形中，，

即动点到定点的距离比到轴的距离大1． …………………………………………3分

又动点位于轴的上方（包括轴上），

所以动点到定点的距离与到定直线的距离相等．

故动点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线．

所以曲线的方程为．             ………………………………………………5分

（2）①（法1）由题意，直线的斜率存在且不为零，如图6－2．

设直线的斜率为（），则直线的斜率为．  ……………………………6分

因为是曲线：上的点，

所以，直线的方程为．

由，

解之得或，

所以点的坐标为，

以替换，得点的坐标为．       ………………………………8分

所以直线的斜率为定值．………………10分

（法2）因为是曲线：上的点，所以，．

又点、在曲线：上，所以可设，，     …………6分

而直线，的倾斜角互补，

所以它们的斜率互为相反数，即，整理得．   …………8分

所以直线的斜率为定值．      ………………10分

②（法1）由①可知，，，

，所以直线的方程为，

整理得．                     ……………………………………11分

设点在曲线段上，因为、两点的横坐标分别为和，

所以点的横坐标在和之间，即，

所以，从而．

点到直线的距离

． ………12分

当时，．

注意到，所以点在曲线段上．

所以，点的坐标是． ……………………………………………………………14分

（法2）由①可知，，结合图6－3可知，

若点在曲线段上，且点到直线的距离最大，

则曲线在点处的切线．   ………………11分

设：，由方程组，

消去，得．

令△，整理，得．……12分

代入方程组，解得，．

所以，点的坐标是． ……………………………………………………………14分

（法3）因为抛物线：关于轴对称，

由图6－4可知，当直线的倾斜角大于且趋近于时，直线的倾斜角小于且趋近于，即当直线的斜率大于0且趋近于0时，直线的斜率小于0且趋近于0．

从而、两点趋近于点关于轴的对称点． ………………11分

由抛物线的方程和①的结论，

得，． 

所以抛物线以点为切点的切线．

……………………12分

所以曲线段上到直线的距离最大的点就是点，

即点、点重合．

所以，点的坐标是． ……………14分

21．（本小题满分14分）

已知函数，，其中表示函数在处的导数，为正常数．

（1）求的单调区间；

（2）对任意的正实数，且，证明：

；

（3）对任意的，且，证明：．

解：（1），，

．         ……………………………………2分

所以，时，，单调递增；

         时，，单调递减．

所以，的单调递增区间为，单调递减区间为．  ……………………4分

（2）（法1）对任意的正实数，且，

取，则，由（1）得，

即，

所以，……①；                     ………………………6分

取，则，由（1）得，

即，

所以，……②．

综合①②，得．  ………………………8分

（法2）因为，

所以，当时，；当时，．

故在上单调递增，在上单调递减．

所以，对任意的正实数，且，有，． ……………6分

由，得，即，

所以．

故．……①； 

由，同理可证．……②．

综合①②，得．  ………………………8分

（3）对，令（），则

，

显然，，所以，

所以，在上单调递减．

由，得，即．

所以，．        ……………………………10分

所以

．    ………………………………12分

又由（2）知，所以．

．

所以，．……………………14分